베스-추미노-위튼 모형 문서 원본 보기

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[[이론물리학]]과 [[수학]]에서 '''베스-추미노-위튼 모형'''({{llang|en|Wess-Zumino-Witten (WZW) model}}), 혹은 '''베스-추미노-노비코프-위튼 모형'''({{llang|en|Wess-Zumino-Novikov-Witten model}})은 간단한 [[2차원 등각 장론]]의 하나이다. 이는 비선형 [[시그마 모형]]의 일종이며, 그 과녁 공간(target space)은 (반)단순 [[리 군]]이다.

== 정의 ==
=== 리 군 위의 제르브 ===
다음이 주어졌다고 하자.
* [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[단일 연결]] [[단순 리 군]] <math>G</math>. 그 [[리 대수]]가 <math>\mathfrak g</math>라고 하자.
그렇다면, [[리 대수 코호몰로지]]에 의하여,
:<math>\operatorname H^3(G;\mathbb Z) \cong \mathbb Z</math>
임을 보일 수 있다. 그 생성원을 <math>[\mu]</math>라고 하자. 기하학적으로, 이는 <math>G</math> 위의 표준적인 [[제르브]]를 이룬다.

구체적으로, <math>\mathfrak g</math>의 [[킬링 형식]]
:<math>B \colon \operatorname{Sym}^2\mathfrak g \to \mathbb R</math>
및 3차 형식
:<math>\tilde\mu|_1 \in \bigwedge^3\mathfrak g^*</math>
:<math>\tilde\mu|_1 \colon x\wedge y\wedge z\mapsto B(x,[y,z])</math>
을 정의하고, 이를 이를 왼쪽 평형 이동을 통해 <math>G</math> 전체에 다음과 같이 정의할 수 있다.
:<math>\tilde\mu = B(\theta\wedge [\theta\wedge\theta]) \in \Omega^3(G)</math>
여기서 <math>\theta\in\Omega^1(G;\mathfrak g)</math>는 <math>G</math>의 [[마우러-카르탕 형식]]이다. 그렇다면, 3차 코호몰로지가 1차원이므로, 그 [[드람 코호몰로지]]는 항상 <math>[\mu]</math>에 비례한다.
:<math>[\mu]=\alpha [\tilde\mu]</math>
그렇다면, <math>[\mu]</math>의 표준적인 대표원인 [[3차 미분 형식]]을
:<math>\mu=\alpha\tilde\mu</math>
로 정의할 수 있다.

=== 베스-추미노-위튼 작용 ===
임의의 (경계가 없는) 콤팩트 [[리만 곡면]]([[세계면]]) <math>\Sigma</math> 및 [[매끄러운 함수]](스칼라장)
:<math>\phi\colon \Sigma\to G</math>
가 주어졌다고 하자. 이에 대하여, 다음과 같은 추가 데이터를 생각하자.
* <math>\partial M_3 = \Sigma</math>가 되는 3차원 [[유향 다양체|유향]] [[경계다양체]] <math>M_3</math>
* <math>f\restriction\sigma = \phi</math>가 되는 [[연속 함수]] <math>f\colon M_3\to G</math>
* <math>\mathrm d\omega = f^*\mu</math>가 되는 [[2차 미분 형식]] <math>\omega\in\Omega^2(M_3)</math>

물론, 위와 같은 데이터는 유일하지 않다. 그러나 두 개의 데이터 <math>(M_3,f,\omega)</math>, <math>(M_3',f',\omega')</math>가 주어졌을 때, [[방향 (다양체)|방향]]을 따라 이를 다음과 같이 이어붙일 수 있다.
:<math>\tilde M_3 = M_3\cup_\Sigma M_3'</math>
:<math>\tilde f\colon \tilde M_3\to G</math>
이에 따라, <math>\tilde M_3</math>은 경계가 없는 콤팩트 3차원 [[유향 다양체]]를 이룬다. 정의에 따라서, <math>\mu</math>가 정수 계수 코호몰로지에 속하므로,
:<math>\int_{\tilde M_3}\tilde f^*\mu = [\tilde M_3] \frown [\mu] \in\mathbb Z</math>
이다. (<math>\frown</math>은 호몰로지류와 코호몰로지류 사이의 [[교곱]]이다.) 이에 따라, [[스토크스 정리]]를 사용하여,
:<math>
\int_\Sigma(\alpha - \alpha')=\int_{M_3}\phi^*\mu - \int_{M_3'}\phi'^*\mu \in \mathbb Z</math>
임을 알 수 있다.

따라서,
:<math>\exp(\mathrm iS_2) = \exp\left(2\pi\mathrm i\int_\Sigma\alpha\right)</math>
는 <math>(M_3,\phi,\alpha)</math>의 선택에 상관이 없음을 알 수 있다.

이제, <math>\Sigma</math>에 임의의 [[리만 계량]] <math>g</math>를 부여하자. <math>G</math>의 '''베스-추미노-위튼 작용'''은
:<math>\exp(\mathrm iS) = \exp(\mathrm iS_1+k\mathrm iS_2)\qquad(k\in\mathbb Z)
</math>
:<math>S_1 \propto \int_\Sigma -B(g^{-1}(\theta,\theta))</math>
이다. (<math>S_1</math>의 양의 실수 스칼라배는 <math>g</math>의 재정의로 흡수될 수 있다.) <math>k</math>는 '''준위'''({{llang|en|level}})라고 불리는 정수이다.

이를 작용으로 하는 고전 장론을 '''고전적 베스-추미노-위튼 모형'''이라고 한다.

이 작용은 지표로 다음과 같이 표기된다. 우선, 다음과 같은 지표를 정의하자.
* 리 대수 <math>\mathfrak g</math>의 지표 <math>a,b,c,\dots</math>
* <math>\Sigma</math>의 지표 <math>i,j,k,\dots</math>
* <math>M_3</math>의 지표 <math>I,J,K,\dots</math>
그렇다면, 베스-추미노-위튼 [[작용 (물리학)|작용]]은 다음과 같다.
:<math>S=S_1+S_2</math>
:<math>S_1=-\frac{k}{8\pi}\int_{S^2}d^2x\,(Dg)^2</math>
:<math>S_2=-\frac k{24\pi}\int_{B^3}d^3y\,\epsilon^{ijk}f_{abc}D_Ig^aD_Jg^bD_Kg^c</math>
여기서 <math>\epsilon^{IJK}</math>는 [[레비-치비타 기호]], <math>f_{abc}</math>는 [[리 대수]]의 구조 상수다.

물론, <math>S_2</math>로 인하여 오직 <math>\exp(\mathrm iS) \in \mathbb C</math>만이 잘 정의될 수 있다.

보다 일반적으로, 만약 세계면 <math>\Sigma</math>에 <math>n</math>개의 구멍이 존재한다고 하자. 구멍의 경계를 <math>C_1,\dotsc,C_n</math>이라고 할 때, 일반적으로 <math>\exp(\mathrm iS)</math>는 다음과 같은 1차원 [[복소수 힐베르트 공간]]의 원소이다.<ref name="Gawedzki"/>{{rp|§3.4}}
:<math>\exp(\mathrm iS) \in \bigotimes_{i=1}^n \mathcal L_{g\restriction C_i}</math>
여기서
* <math>\mathcal L</math>은 [[고리군]] <math>\mathcal LG = \mathcal C^\infty(\mathbb S^1,G)</math> 위의 특별한 복소수 [[선다발]]이며, 기하학적으로 이는 [[아핀 리 대수]] <math>\hat{\mathfrak g}</math>의 실수 형식에 대응하는 [[리 군]]이다. (이는 고리군의 U(1)에 의한 중심 확대이다.)
* <math>g \restriction C_i \colon \mathbb S^1 \cong C_i \to G</math>는 <math>g</math>의 경곗값이다. 이는 물론 고리군의 원소를 이룬다.
* <math>\mathcal L_x</math>는 선다발 <math>\mathcal L</math>의, <math>x\in\mathcal LG</math>에서의 올이다.
* <math>\mathcal L</math> 위에는 표준적인 에르미트 내적이 주어져 있어, 위 표현은 [[복소수 힐베르트 공간]]을 이룬다.

만약 <math>G</math>가 [[반단순 리 군]]일 경우에는 각 단순 성분에 다른 준위가 존재할 수 있다.

=== 양자화 ===
베스-추미노-위튼 모형의 보존류(<math>h=1</math>인 일차장)들의 대수는 [[아핀 리 대수]]를 이룬다. 이에 따라, 베스-추미노-위튼 모형은 [[아핀 리 대수]]로 정의되는 [[2차원 등각 장론]]을 이룬다.

그 [[힐베르트 공간]]은 다음과 같다.
:<math>\mathcal H_k = \bigoplus_{R\in\operatorname{IrRep}(G,k)} \overline{
V_{R_k} \otimes_{\mathbb C} V_{\bar R_k}}</math>
여기서
* <math>\operatorname{IrRep}(G)</math>는 <math>G</math>의 복소수 유한 차원 [[유니터리 표현|유니터리]] [[기약 표현]]들의 동형류의 집합이다. 이는 일반적으로 [[가산 무한 집합]]이다.
* <math>\operatorname{IrRep}(G,k) \subsetneq \operatorname{IrRep}(G)</math>는 <math>G</math>의 표현 가운데, 이에 대응하는 무게 <math>\lambda_R\in\mathfrak h</math>가 <math>\langle\phi_{\mathfrak g},\lambda_R\rangle \le k</math>를 만족시키는 것이다.<ref name="Gawedzki"/>{{rp|(49)}} 여기서 <math>\phi_{\mathfrak g}</math>는 <math>\mathfrak g</math>의 근계의 [[부분 순서]]에 대한 (유일한) [[최대 원소]]이다. (즉, [[근계]] <math>\Delta</math>의 [[양근]]의 집합 <math>\Delta^+</math>에 대하여, <math>\forall\alpha\in\Delta^+\colon \alpha+\phi\}</math>이다.)
* <math>R\in\operatorname{IrRep}(G)</math> 및 <math>k\in\mathbb N</math>에 대하여, <math>R_k</math>는 [[아핀 리 대수]] <math>\hat{\mathfrak g}</math>의 유니터리 표현이며, 이 경우 중심 원소 <math>\mathsf k\in\hat{\mathfrak g}</math>의 값이 <math>k</math>가 된다.
* <math>\overline{\color{White}V}</math>는 [[복소수 내적 공간]]의, [[힐베르트 공간]]으로의 완비화이다.
이는 물론 [[아핀 리 대수]]의 [[리 대수의 표현|표현]]을 가지며, [[스가와라 구성]]을 통해 이는 [[비라소로 대수]]의 [[리 대수의 표현|표현]]을 갖는다. 이 경우
:<math>c = \frac{k\dim G}{k+h^\vee(G)}</math>
이다. 여기서 <math>h^\vee(G)</math>는 [[이중 콕서터 수]]이다.

이는 [[고리군]] <math>\mathcal LG</math>의, [[아핀 리 대수]]에 해당하는 복소수 [[선다발]]의 단면의 집합으로 해석할 수 있다.

예를 들어, 만약 <math>G = \operatorname{SU}(2)</math>일 때, 기약 표현은 스핀에 의하여 분류되므로
:<math>\operatorname{IrRep}(\operatorname{SU}(2)) = \{0,1/2,1,3/2,2,\dotsc\}</math>
:<math>\operatorname{IrRep}(\operatorname{SU}(2),k) = \{0,1/2,1,\dotsc,k/2\}</math>
이다.

== 성질 ==
=== 장방정식 ===
베스-추미노-위튼 이론의 [[오일러-라그랑주 방정식]]은
:<math>\partial(g^{-1}\bar\partial g) = 0</math>
이다.<ref name="Gawedzki"/>{{rp|(3.18)}} (편의상, <math>\Sigma</math> 위의 [[복소구조]]에 대한 미분을 사용하였다.)

=== 천-사이먼스 이론과의 관계 ===
[[천-사이먼스 이론]]은 3차원 [[위상 양자장론]]이다. 만약 천-사이먼스 이론을 경계가 있는 3차원 다양체 위에 정의하면, 그 경계에는 2차원 [[등각 장론]]인 베스-추미노-위튼 모형이 존재한다.<ref name="Gawedzki">{{저널 인용|제목=Conformal field theory: a case study|이름=Krzysztof|성=Gawędzki|날짜=1999-04-21|arxiv=hep-th/9904145|언어=en}}</ref>{{rp|§5}} 천-사이먼스 이론의 상태와 베스-추미노-위튼 모형의 상태들을 대응시킬 수 있다. 이는 [[AdS/CFT 대응성]]의 단순한 경우(AdS<sub>3</sub>/CFT<sub>2</sub>)로 생각할 수 있다.<ref>{{저널 인용|title=Chern–Simons gauge theory and the AdS(3)/CFT(2) Correspondence|arxiv=hep-th/0403225|언어=en}}</ref><ref>{{저널 인용|제목=Chiral anomalies and AdS/CMT in two dimensions|arxiv=1012.4831|언어=en}}</ref> 천-사이먼스/베스-추미노-위튼 대응성은 [[에드워드 위튼]]이 1989년에 발견하였다.<ref>{{저널 인용|mr=0990772|이름=Edward|성=Witten|저자링크=에드워드 위튼|doi=10.1007/BF01217730|url=https://projecteuclid.org/euclid.cmp/1104178138|zbl=0667.57005|제목=Quantum field theory and the Jones polynomial|저널=Communications in Mathematical Physics|권=121|호=3|날짜=1989|쪽=351–399|언어=en}}</ref>

=== D막 ===
위와 같은 보통 베스-추미노-위튼 모형은 닫힌 끈을 나타낸다. 이 대신, 열린 끈에 대한 모형을 정의할 수도 있다. 이 경우, 정칙 진동 모드와 반정칙 진동 모드 사이에 관계를 주어야 한다.

구체적으로, 대칭류
:<math>J = -\partial g g^{-1}</math>
:<math>\bar J= g^{-1}\bar\partial g</math>
를 생각하자. 이 경우, 조건
:<math>J = -\bar J</math>
은 풀어 쓰면
:<math>0 = (\partial g)g^{-1} - g^{-1}\bar\partial g
= \operatorname{Ad}(g) g^{-1}\partial g
- g^{-1} \bar\partial g</math>
이다. 이는
:<math>
(\operatorname{Ad}(g)+1)
g^{-1}(\partial-\bar\partial)g
+
(\operatorname{Ad}(g)-1)
g^{-1}(\partial+\bar\partial)g
=0
</math>
로 적을 수 있다. 이 경우, [[킬링 형식]]을 사용하여, <math>G</math>의 <math>g</math>에서의 접공간 <math>\mathrm T_gG</math>를 [[딸림표현]]의 궤도에 평행한 부분 공간 <math>\mathrm T^\parallel_gG</math>과 수직한 부분 공간 <math>\mathrm T^\perp_gG</math>으로 구분할 수 있다. 그렇다면, <math>\mathrm T^\perp_gG</math>에 제한하였을 때 <math>\operatorname{Ad}(g) = 1</math>이므로,
:<math>\left(g^{-1}(\partial-\bar\partial)g\right)^\perp = 0</math>
이 된다. 즉, 이는 접벡터 <math>g^{-1}(\partial-\bar\partial)g</math>의, [[딸림표현]] 궤도에 대하여 수직인 성분이 0이며, 따라서 이는 [[딸림표현]] 궤도([[리 군]]의 [[켤레류]])의 모양을 한 [[D막]]에 해당한다.<ref>{{저널 인용|arxiv=hep-th/9812193|제목=D-branes in the WZW model|이름1=Anton Yu.|성1=Alekseev|이름2=Volker|성2=Schomerus|날짜=1999|언어=en}}</ref>

이 경우, 양자 이론의 확률 진폭이 잘 정의되기 위해서는 [[켤레류]]에 대응되는 [[무게 (표현론)|무게]] <math>\lambda</math>가 [[정수 무게]]이어야 한다.<ref name="Gawedzki"/>{{rp|§7.1}} 즉, <math>G</math>의 [[극대 원환면]] <math>T \le G</math>을 고르고, 그 [[리 대수]]([[보렐 부분 대수]])가 <math>\mathfrak h</math>라고 하자. 그렇다면, 무게 <math>\lambda \in \mathfrak \mathfrak h^\vee</math>에 대하여, [[켤레류]]
:<math>\{g \exp(2\pi\lambda/k) g^{-1} \colon g \in G\}</math>
를 대응시킬 수 있다. D막이 이 [[켤레류]]에 존재할 수 있을 [[필요 충분 조건]]은 <math>\lambda</math>가 [[정수 무게]]인 것, 즉 <math>G</math>의 모든 [[근계|근]] <math>\alpha</math>에 대하여 <math>\langle\alpha,\lambda\rangle\in\mathbb Z</math>인 것이다.

== 역사 ==
[[율리우스 베스]]와 [[브루노 추미노]]<ref>{{저널 인용|성=Wess|이름=Julius|저자링크=율리우스 베스|공저자=[[브루노 추미노|Bruno Zumino]]|날짜=1971-11-01|제목=Consequences of anomalous Ward identities|저널=Physics Letters B|권=37|호=1|쪽=95–97|doi=10.1016/0370-2693(71)90582-X|bibcode=1971PhLB...37...95W|언어=en|issn=0370-2693}}</ref>, [[세르게이 노비코프 (수학자)|세르게이 노비코프]]<ref>{{저널 인용|이름=S.P.|성=Novikov|저자링크=세르게이 노비코프 (수학자)|제목=Multivalued functions and functionals: An analogue of Morse theory|저널=Soviet Mathematics Doklady|권=24|날짜=1981|쪽=222–226|zbl=0505.58011|issn=0197-6788|언어=en}}</ref>, [[에드워드 위튼]]<ref>{{저널 인용|저자링크=에드워드 위튼|이름=Edward|성=Witten|연도=1983|제목=Global aspects of current algebra|저널=Nuclear Physics B|권=223|호=2|쪽=422–421|doi=10.1016/0550-3213(83)90063-9|bibcode=1983NuPhB.223..422W|언어=en|issn=0550-3213}}</ref><ref>{{저널 인용|저자링크=에드워드 위튼|성=Witten|이름=Edward|연도=1984|제목=Non-abelian bosonization in two dimensions|url=https://archive.org/details/sim_communications-in-mathematical-physics_1984-02_92_4/page/455|저널=Communications in Mathematical Physics|권=92|호=4|쪽=455–472|doi=10.1007/BF01215276|issn=0010-3616|언어=en|zbl=0536.58012}}</ref>이 발견하였다. 비슷한 이름을 가진 [[베스-추미노 모형]](4차원 [[초대칭]] 양자장론)과는 (발견자가 같은 것을 제외하며) 관계없는 이론이다.

== 각주 ==
{{각주}}
* {{서적 인용|제목=Quantum field theory in condensed matter physics|이름= Alexei M.|성=Tsvelik |출판사=Cambridge University Press|isbn=978-0-521-82284-8|doi=10.1017/CBO9780511615832|언어=en|날짜=2010-05}}
* {{저널 인용|arxiv=hep-th/9911187|이름=Mark|성=Walton|제목=Affine Kac–Moody algebras and the Wess–Zumino–Witten model|url=https://archive.org/details/arxiv-hep-th9911187|날짜=1999-11-24|언어=en}}
* {{서적 인용|장=Lectures on conformal field theory and Kac–Moody algebras|이름=Jürgen|성=Fuchs|arxiv=hep-th/9702194|연도=1997|doi=10.1007/BFb0105277|제목=Conformal field theories and integrable models: lectures held at the Eötvös graduate course, Budapest, Hungary, 13–18 August 1996|isbn=978-3-540-63618-2|쪽=1–54|series=Lecture Notes in Physics|volume=498|출판사=Springer-Verlag|언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{nlab|id=Wess-Zumino-Witten model}}
* {{nlab|id=geometry of physics -- WZW terms|title=Geometry of physics — WZW terms}}
* {{웹 인용|url=http://mathoverflow.net/questions/16392/how-to-interpret-the-sugawara-construction-from-a-physical-or-mathematical-view|제목=How to interpret the Sugawara construction from a physical or mathematical viewpoint?|언어=en|출판사=Math Overflow}}

[[분류:등각 장론]]
[[분류:리 군]]
[[분류:수리물리학]]
[[분류:양자장론]]