베르마 가군 문서 원본 보기

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[[리 대수]]의 [[표현론 (수학)|표현론]]에서 '''베르마 가군'''(वर्मा加群, {{llang|en|Verma module}})은 주어진 [[무게 (표현론)|무게]]에 대한 가장 “일반적인” [[최고 무게 가군]]이다.

== 정의 ==
다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.
* [[체 (수학)|체]] <math>K</math>
* <math>K</math> 위의 [[리 대수]] <math>\mathfrak g</math>
* <math>\mathfrak g</math>의 [[부분 리 대수]] <math>\mathfrak p\subset\mathfrak g</math>
* <math>\mathfrak p</math>의 [[리 대수의 표현|표현]] <math>V</math> (즉, <math>\operatorname U(\mathfrak p)</math>의 [[왼쪽 가군]])
그렇다면, 이에 대응되는 '''일반화 베르마 가군'''(一般化वर्मा加群, {{llang|en|generalized Verma module}})은 다음과 같다.
:<math>\operatorname U(\mathfrak g)\otimes_{\operatorname U(\mathfrak p)}V</math>
여기서
* <math>\operatorname U(-)</math>는 [[리 대수]]의 [[보편 포락 대수]]이다.
* <math>\operatorname U(\mathfrak g)</math>의 오른쪽 <math>\operatorname U(\mathfrak p)</math>-작용은 ([[푸앵카레-버코프-비트 정리]]에 의하여 <math>\operatorname U(\mathfrak p)\subseteq\operatorname U(\mathfrak g)</math>이므로) [[보편 포락 대수]]의 오른쪽 곱셈 연산이다.

특히, 다음과 같은 경우를 생각하자.
* <math>K</math>는 [[표수 0]]의 [[대수적으로 닫힌 체]]이다.
* <math>\mathfrak g</math>는 <math>K</math> 위의 [[반단순 리 대수]]이다.
* <math>\mathfrak p=\mathfrak b</math>는 [[보렐 부분 대수]]이다.
* <math>V=\mathbb C</math>는 <math>\mathfrak b</math>의 [[무게 (표현론)|무게]] <math>\lambda\colon\mathbb b\to\mathfrak b/[\mathfrak b,\mathfrak b]\to\mathbb C</math>를 이루는 1차원 표현이다.
이 경우를 '''베르마 가군'''이라고 한다.

=== 등급 ===
복소수체 위의 [[반단순 리 대수]] <math>\mathfrak g</math> 및 그 [[포물형 부분 대수]] <math>\mathfrak p</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, <math>\mathfrak g</math> 위에 자연스러운 등급
:<math>\mathfrak g=\bigoplus_{i=-k}^k\mathfrak g_i</math>
이 주어지며,
:<math>\mathfrak p=\bigoplus_{i=0}^k\mathfrak g_i</math>
:<math>\mathfrak h=\mathfrak g_0</math>
이다. 즉, <math>\operatorname U(\mathfrak g)</math>는 등급 <math>\{-k,-k+1,\dotsc,k-1,k\}</math>에 대한 [[복소수 등급 대수]]이며, <math>\operatorname U(\mathfrak p)</math>는 그 가운데 음이 아닌 등급만을 취한 부분 대수이다.

임의의 <math>\mathfrak p</math>의 표현 <math>V</math>에 대하여, <math>(\mathfrak g,\mathfrak p,V)</math>-일반화 베르마 가군은 ([[푸앵카레-버코프-비트 정리]]를 사용하면) 다음과 같다.
:<math>
\operatorname U(\mathfrak g)\otimes_{\operatorname U(\mathfrak p)}V
=\bigoplus_{i=-k}^{-1}\operatorname U(\mathfrak g_i)\otimes_KV</math>

== 성질 ==
베르마 가군은 다음과 같은 [[보편 성질]]을 만족시킨다. [[반단순 리 대수]] <math>\mathfrak g</math>의 [[카르탕 부분 대수]] <math>\mathfrak h</math>의 무게 <math>\lambda\in\mathfrak h^\vee</math>에 대응하는 <math>\mathfrak g</math>-[[최고 무게 가군]] <math>V</math>에 대하여, 유일한 [[전사 함수|전사]] <math>\mathfrak g</math>-표현 [[준동형]]
:<math>M_\lambda\twoheadrightarrow V</math>
가 존재한다.

== 예 ==
<math>\mathfrak{sl}(2;\mathbb C)</math>의 베르마 가군을 생각하자. 이는 기저
:<math>\mathfrak{sl}(2;\mathbb C) = \operatorname{Span}_{\mathbb C}\{a,a^\dagger,c\}</math>
:<math>[a^\dagger,a] = c</math>
:<math>[a^\dagger,c] = -2a^\dagger</math>
:<math>[a,c] = 2a</math>
로 표현될 수 있다. 여기서 <math>\mathfrak h=\operatorname{Span}_{\mathbb C}\{c\}</math>를 [[카르탕 부분 대수]]로, <math>\mathfrak b=\operatorname{Span}_{\mathbb C}\{c,a^\dagger\}</math>를 [[보렐 부분 대수]]로 잡자.

<math>\mathfrak h</math>의 [[무게 (표현론)|무게]]는 하나의 복소수 <math>\lambda\in\mathbb C</math>로 결정된다. 그 기저를 <math>|\lambda\rangle</math>로 적자. 즉,
:<math>c|\lambda\rangle = \lambda|\lambda\rangle</math>
:<math>a|\lambda\rangle = 0</math>
이다.

그렇다면, 이 무게의 베르마 가군은 다음과 같은 [[기저 (선형대수학)|기저]]를 갖는다.
:<math>W_\lambda = \operatorname{Span}_{\mathbb C} \left\{
|\lambda\rangle,
\alpha^\dagger|\lambda\rangle,
(\alpha^\dagger)^2|\lambda\rangle,
\dotsc
\right\}</math>
이 위의 <math>\mathfrak{sl}(2;\mathbb C)</math>의 작용은 구체적으로 다음과 같다.
:<math>c (a^\dagger)^n|\lambda\rangle = (\lambda - 2n)(a^\dagger)^n|\lambda\rangle</math>
:<math>a (a^\dagger)^n|\lambda\rangle = 
\begin{cases}
n(\lambda - n + 1) (a^\dagger)^{n-1}|\lambda\rangle & n > 0\\
0 & n = 0
\end{cases}</math>
만약 <math>\lambda\in\mathbb N</math> (음이 아닌 정수)일 경우,
:<math>a (a^\dagger)^{\lambda+1}|\lambda\rangle = 0</math>
이며, 따라서 베르마 가군 <math>W_\lambda</math>의 부분 공간
:<math>
\operatorname{Span}_{\mathbb C}
\{
(a^\dagger)^{\lambda+1}|\lambda\rangle,
(a^\dagger)^{\lambda+2}|\lambda\rangle,
\dotsc
\}
\subseteq W_\lambda
</math>
는 <math>W_\lambda</math>의 [[부분 가군]]을 이룬다. 이 경우, 위 [[부분 가군]]에 대한 몫을 취할 수 있으며, 이는 <math>\mathfrak{sl}(2;\mathbb C)</math>의 <math>n+1</math>차원 표현을 이룬다. 이 조건은 <math>\lambda</math>가 정수 [[우세 무게]]인 것에 해당한다.

== 역사 ==
[[다야난드 베르마]]가 도입하였다.<ref>{{저널 인용|저널=Bulletin of the American Mathematical Society|권=74|호=1|날짜=1968|쪽=160-166|제목=Structure of certain induced representations of complex semisimple Lie algebras|이름=Daya-Nand|성=Verma|저자링크=다야난드 베르마|issn=0273-0979|mr=0218417|언어=en}}</ref>

== 같이 보기 ==
* [[리 대수의 표현]]
== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Weyl module}}
* {{eom|title=BGG resolution}}
* {{nlab|id=Verma module}}
* {{nlab|id=BGG resolution}}

{{전거 통제}}

[[분류:리 대수]]
[[분류:표현론]]