베로네세 매장 문서 원본 보기

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[[대수기하학]]에서 '''베로네세 매장'''(Veronese埋藏, {{llang|en|Veronese embedding}})은 [[사영 공간]]을 모든 가능한 동차 단항식을 통하여 더 높은 차원의 사영 공간에 [[매장 (수학)|매장]]하는 방법이다.

== 정의 ==
임의의 [[자연수]] [[등급환|등급]] [[가환환]]
:<math>R = \bigoplus_{i=0}^\infty R_i</math>
이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 임의의 양의 정수 <math>d\in\mathbb Z^+</math>에 대하여 [[자연수]] [[등급환|등급]] [[가환환]]
:<math>R^{[d]} = \bigoplus_{i=0}^\infty R_{di}</math>
:<math>R^{[d]}_i = R_{di}</math>
을 정의할 수 있다. '''베로네세 동형 사상'''은 다음과 같은 [[스킴 (수학)|스킴]]의 동형 사상이다.
:<math>\operatorname{Proj}R = \operatorname{Proj}R^{[d]}\qquad\forall d\in\mathbb Z^+</math>
여기서 <math>\operatorname{Proj}</math>는 [[사영 스펙트럼]]이다. 특히, 만약 <math>R^{[d]}</math>가 <math>R_0</math> 및 <math>R_d</math>만으로 생성된다고 하고, <math>R_d</math>의 <math>R_0</math>-[[가군]]으로서의 임의의 생성원 [[집합]]을 <math>S</math>라고 하자. 그렇다면, 몫 [[환 준동형]]
:<math>R_0[S] \to R^{[d]}</math>
이 존재하며, 이를 통하여 [[닫힌 몰입]]
:<math>\operatorname{Proj} R \cong \operatorname{Proj}R^{[d]} \hookrightarrow \operatorname{Proj}R_0[S]</math>
이 존재한다. 이를 '''베로네세 매장'''이라고 한다.

=== 사영 공간의 경우 ===
[[가환환]] <math>K</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, [[사영 공간]] <math>\mathbb P_K^n = \operatorname{Proj}K[x_0,\dotsc,x_n]</math>을 생각할 수 있다. 임의의 양의 정수 <math>d\in\mathbb Z^+</math>에 대하여,
:<math>(K[x_0,x_1,\dotsc,x_n])^{[d]}= K[x_0^d,x_0^{d-1}x_1,\dots,x_0x_1^{d-1},x_0x_1^{d-2}x_2,\dots,x_{n-1}x_n^{d-1},x_n^d]</math>
이다. 이러한 단항식의 수는
:<math>\binom{n+d}d</math>
이다. <math>R^{[d]}</math>는 이 다항식만으로 생성되므로, 이는 [[닫힌 몰입]]
:<math>\mathbb P_K^n \hookrightarrow \mathbb P_K^{\binom{n+d}d-1}</math>
을 정의한다. 이를 '''베로네세 매장'''({{lang|en|Veronese embedding}})라고 한다.

== 예 ==
=== 자명한 베로네세 사상 ===
차수 <math>d</math>가 0일 경우, 베로네세 사상 <math>\mathbb P^n\to\mathbb P^0</math>는 [[상수 함수]]이며, <math>d=1</math>일 경우 베로네세 사상 <math>\mathbb P^n\to\mathbb P^n</math>은 [[항등 함수]]이다.

=== 유리 정규 곡선 ===
[[파일:Twisted_cubic_curve.png|섬네일|오른쪽|뒤틀린 3차 곡선. 3차원 아핀 공간의 좌표를 <math>(X,Y,Z)</math>로 잡으면, 푸른 곡면은 <math>Y=Z^2</math>으로 정의되는 곡면이며, 붉은 곡면은 <math>X=Z^3</math>으로 정의되는 곡면이다. 뒤틀란 3차 곡선은 이 두 곡면의 교집합이다.]]
<math>n=1</math>일 영우, 베로네세 사상
:<math>\mathbb P^1\to\mathbb P^d</math>
은 <math>d</math>차원 사영 공간 속의 <math>d</math>차 [[유리 곡선]]을 정의하며, 이를 '''유리 정규 곡선'''(有理正規曲線, {{llang|en|rational normal curve}})이라고 한다. 낮은 차수의 경우 이는 다음과 같다.
* <math>d=1</math>인 경우 이는 항등 함수이다.
* <math>d=2</math>인 경우, <math>[X,Y,Z]=[x^2,xy,y^2]</math>라고 놓으면, <math>Y^2=XZ</math>가 된다. 이는 [[사영 평면]] 속의 [[원뿔 곡선]]을 정의한다.
* <math>d=3</math>인 경우, <math>[X,Y,Z,W]=[x^3,x^2y,xy^2,y^3]</math>라고 놓으면, <math>XZ-Y^2=XW-YZ=YW-Z^2=0</math>이며, 이는 '''뒤틀린 3차 곡선'''({{llang|en|twisted cubic}})이라고 한다. 이는 (아이디얼의) 완전 교차가 아닌 가장 간단한 대수다양체이다. 즉, 이를 정의하는 데 3개의 기약 동차다항식이 필요하며, 3개 가운데 하나를 생략하면 새 점들이 추가된다.
여기서 "정규"는 [[정규 스킴]]과는 상관없는 구식 용어이며, 매장을 정의하는 [[인자 (대수기하학)|인자]] 선형계가 완비 선형계임을 뜻한다.

=== 베로네세 곡면 ===
사영 평면 <math>\mathbb P^2</math>를 5차원 사영 공간 <math>\mathbb P^5</math>에 매장한 것을 '''베로네세 곡면'''(Veronese曲面, {{llang|en|Veronese surface}})이라고 한다.
:<math>(x,y,z)\mapsto(x^2,y^2,z^2,xy,yz,zx)</math>
베로네세 곡면에서, 임의의 5개의 점을 고르자. 그렇다면, 5차원 사영 공간 속에서 이 5개의 점을 지나는 (여차원 1의) 유일한 [[초평면]]이 존재한다. 이 초평면을 정의하는, <math>(x^2,y^2,z^2,xy,yz,zx)</math>에 대한 1차 동차다항식은 <math>(x,y,z)</math>에 대한 2차 동차다항식을 이루며, 따라서 원래 사영 평면에서의 [[원뿔 곡선]]을 이루며, 이 원뿔 곡선은 베로네세 곡면의 5개의 점들을 지나간다. 즉, 이를 통해 평면에서 5개의 점은 (일반적으로) 유일한 원뿔 곡선을 결정함을 알 수 있다.

== 역사 ==
이탈리아의 수학자 [[주세페 베로네세]]의 이름을 땄다.

== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용
 | 이름=Joe|성=Harris
 | 날짜 = 1995
 | title = Algebraic geometry: a first course
 | series=Graduate Texts in Mathematics|권=133|issn=0072-5285
 | publisher = Springer
 | isbn =978-0-387-97716-4
 | zbl = 0779.14001 | mr=1416564  | 언어=en
 | doi =10.1007/978-1-4757-2189-8
}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Veronese mapping}}
* {{매스월드|id=VeroneseSurface|title=Veronese surface}}
* {{웹 인용|url=https://rigtriv.wordpress.com/2008/01/14/the-veronese-embedding/|제목=The Veronese embedding|이름=Charles|성=Siegel| 웹사이트=Rigorous Trivialities|날짜=2008-01-14|언어=en}}

{{전거 통제}}

[[분류:대수기하학]]
[[분류:복소곡면]]
[[분류:대수곡면]]