범주의 동치 문서 원본 보기

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[[범주론]]에서, 두 [[범주 (수학)|범주]] 사이의 '''동치'''(同値, {{llang|en|equivalence (of categories)}})는 두 범주가 사실상 같은 구조를 지니게 하는 [[함자 (수학)|함자]]이다. 범주의 [[동형]]보다 더 약한 개념이며, 범주의 동형보다 더 널리 쓰인다.

== 정의 ==
두 [[범주 (수학)|범주]] <math>\mathcal C</math>와 <math>\mathcal D</math> 사이의 [[함자 (수학)|함자]] <math>F\colon\mathcal C\to\mathcal D</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[필요충분조건]]이며, 이 조건을 만족시키는 <math>F</math>를 <math>\mathcal C</math>와 <math>\mathcal D</math> 사이의 '''동치'''라고 한다.
* <math>F^{-1}F</math>와 <math>FF^{-1}</math>가 항등 함자와 [[자연 동형]]인 함자 <math>F^{-1}\colon\mathcal D\to\mathcal C</math>가 존재한다 (이러한 함자는 유일하지 않을 수 있다).
* [[충실충만한 함자]]이며, 본질적 전사 함자({{llang|en|essentially surjective functor}})이다 (즉, <math>\mathcal D</math>의 모든 원소는 적어도 하나의 <math>F</math>의 [[상 (수학)|상]]의 원소와 [[동형]]이다).

== 성질 ==
서로 동치인 두 범주는 [[범주론]]에서 다루는 거의 모든 성질이 같다. 예를 들어, 동치는 모든 [[극한 (범주론)|극한]]과 [[쌍대극한]]을 보존하며, 또한 [[전사 사상]] 및 [[단사 사상]]을 보존한다.

=== 작은 범주 ===
[[범주 (수학)|범주]] <math>\mathcal C</math>의 부분 범주 <math>\mathcal D</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[필요충분조건]]이며, 이를 만족시키는 <math>\mathcal D</math>를 <math>\mathcal C</math>의 '''뼈대'''({{llang|en|skeleton}})라고 한다.
* [[충만한 부분 범주]]이며, <math>\mathcal C</math>의 임의의 대상은 정확히 하나의 <math>\mathcal D</math>의 대상과 [[동형]]이다.
* 포함 함자 <math>\mathcal D\to\mathcal C</math>는 동치이며, 뼈대 범주({{llang|en|skeletal category}})이다 (즉, <math>\mathcal D</math>의 임의의 서로 다른 두 대상은 [[동형]]이 아니다).
모든 [[작은 범주]]는 뼈대를 가지며, 이는 범주의 동형 아래 유일하다. 이는 [[선택 공리]]와 동치이다. 또한, 두 [[작은 범주]] <math>\mathcal C</math>와 <math>\mathcal D</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[필요충분조건]]이다.
* <math>\mathcal C</math>와 <math>\mathcal D</math>는 서로 동치이다.
* <math>\mathcal C</math>와 <math>\mathcal D</math>의 뼈대는 서로 [[동형]]이다.

== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용| first = Saunders | last = Mac Lane|저자링크=손더스 매클레인| year = 1998 | title = Categories for the Working Mathematician | 기타 = Graduate Texts in Mathematics 5| edition = 2판 | publisher = Springer | isbn = 0-387-98403-8}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|제목=Equivalence of categories}}
* {{eom|제목=Skeleton of a category}}
* {{nlab|id=equivalence of categories|제목=Equivalence of categories}}
* {{nlab|id=equivalence|제목=Equivalence}}
* {{nlab|id=skeleton|제목=Skeleton}}

[[분류:수반 함자]]