버코프-그로텐디크 정리 문서 원본 보기

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[[수학]]에서 '''버코프-그로텐디크 정리'''({{llang|en|Birkhoff–Grothendieck theorem}})는 복소 [[투영선|사영 직선]] 위의 [[정칙 벡터 다발]]을 분류한다. 특히 <math> \mathbb{CP}^1 </math> 위의 모든 정칙 벡터 다발은 정칙 [[선다발]]들의 직합이다. 정리는 [[알렉산더 그로텐디크]]가 1957년에 증명<ref>{{인용|first1=Alexander|last1=Grothendieck|authorlink=Alexander Grothendieck|title=Sur la classification des fibrés holomorphes sur la sphère de Riemann|journal=American Journal of Mathematics|volume=79|year=1957|issue=1|pages=121–138|doi=10.2307/2372388|jstor=2372388|s2cid=120532002|mode=cs1}}</ref>했다. 이는 조지 버코프가 1909에 도입한 [[버코프 인수분해]]와 거의 동일하다.<ref>{{인용|last1=Birkhoff|first1=George David|author1-link=George David Birkhoff|title=Singular points of ordinary linear differential equations|jstor=1988594|jfm=40.0352.02|year=1909|journal=[[Transactions of the American Mathematical Society]]|issn=0002-9947|volume=10|issue=4|pages=436–470|doi=10.2307/1988594|mode=cs1|doi-access=free}}</ref>

== 진술 ==
보다 정확하게 정리의 진술은 다음과 같다.

모든 <math> \mathbb{CP}^1 </math> 위의 [[정칙 벡터 다발]] <math> \mathcal{E} </math>는 선다발의 직합과 정칙 동형이다:

: <math> \mathcal{E}\cong\mathcal{O}(a_1)\oplus \cdots \oplus \mathcal{O}(a_n).</math>

표기법은 각 합이 [[올다발|자명한 다발]]의 [[보편 가역층|세르 꼬임]]임을 의미한다. 표현은 순열을 기준으로 유일하다.

== 일반화 ==
임의의 체 <math>k</math>에 대해 <math>\mathbb{P}^1_k</math> 위의 [[연접층|대수적 벡터 다발]]에 대한 대수 기하학에서도 동일한 결과가 성립한다.<ref>{{인용|first1=Michiel|last1=Hazewinkel|first2=Clyde F.|last2=Martin|title=A short elementary proof of Grothendieck's theorem on algebraic vectorbundles over the projective line|author1-link=Michiel Hazewinkel|journal=[[Journal of Pure and Applied Algebra]]|volume=25|issue=2|year=1982|pages=207–211|doi=10.1016/0022-4049(82)90037-8|url=https://ir.cwi.nl/pub/10153|mode=cs1|doi-access=free}}</ref> 그것은 또한 하나 또는 두 개의 오비폴드 점을 가진 <math>\mathbb{P}^1</math>에서도, 꼭지점을 따라 만나는 사영 직선 사슬에 대해서도 성립한다.<ref>{{인용|first1=Johan|last1=Martens|first2=Michael|last2=Thaddeus|title=Variations on a theme of Grothendieck|journal=Compositio Mathematica|year=2016|volume=152|pages=62–98|doi=10.1112/S0010437X15007484|arxiv=1210.8161|bibcode=2012arXiv1210.8161M|s2cid=119716554|mode=cs1}}</ref>

== 응용 ==
이 정리로부터 모든 <math>\mathbb{CP}^1</math>위의 연접층의 분류 할 수 있다.. 부분 다형체를 따라 지지되는 벡터 다발과 연접층 <math>\mathcal{O}(k), \mathcal{O}_{nx}</math>두 가지 경우가 있다. 여기서 n은 <math>x \in \mathbb{CP}^1</math>에서 두터운 점의 차수이다. 유일한 부분 다형체는 점이므로 연접층의 완전한 분류가 가능하다.

== 같이 보기 ==
* [[사영 공간의 대수 기하학]]
* 오일러 수열
* [[분할 원리]]
* [[K이론]]
* [[줄넘기]]

== 각주 ==
{{각주}}

== 추가 읽기 ==
* {{서적 인용|제목=Vector Bundles on Complex Projective Spaces|성=Okonek|이름=Christian|성2=Schneider|이름2=Michael|연도=1980|총서=Modern Birkhäuser Classics|출판사=Birkhäuser Basel|doi=10.1007/978-3-0348-0151-5|isbn=978-3-0348-0150-8|성3=Spindler|이름3=Heinz}}
* {{저널 인용|제목=Tournaments, Flags, and Harmonic Maps|저널=Mathematische Annalen|성=Salamon|이름=S. M.|성2=Burstall|이름2=F. E.|url=http://eudml.org/doc/164249|연도=1987|권=277|호=2|쪽=249–266|doi=10.1007/BF01457363}}

== 외부 링크 ==
* 로만 베즈루카브니코프. 18.725 [https://ocw.mit.edu/courses/18-725-algebraic-geometry-fall-2015/pages/lecture-notes/ 대수 기하학] ( [https://ocw.mit.edu/courses/18-725-algebraic-geometry-fall-2015/resources/mit18_725f15_lec24/ LEC # 24 Birkhoff–Grothendieck, Riemann-Roch, Serre Duality] ) 2015년 가을. 매사추세츠 공과대학: MIT OpenCourseWare Creative Commons [[크리에이티브 커먼즈 라이선스|BY-NC-SA]].

[[분류:복소기하학 정리]]
[[분류:대수기하학 정리]]
[[분류:사영기하학 정리]]
[[분류:벡터 다발]]