뱀 완전열 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[호몰로지 대수학]]에서 '''뱀 완전열'''(-完全列, {{llang|en|snake exact sequence}})은 아벨 대상의 [[아벨 범주]] 속의 6개의 대상들 사이의 가환하는 사상으로부터, 사상들의 [[핵 (수학)|핵]]과 [[여핵]]들 사이를 연결하는 [[완전열]]이다.

== 정의 ==
[[아벨 범주]]에서, 다음과 같은 그림이 가환한다고 하자.
:[[파일:Snake lemma origin.svg]]
여기에서 각 행은 [[완전열]]이며 0은 [[영 대상]]이다. 이 경우, 세 사상 <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math>의 [[핵 (수학)|핵]]과 [[여핵]]들로 구성된 6항 [[완전열]]이 존재하며, 이를 '''뱀 완전열'''이라고 한다.<ref name="Weibel">{{서적 인용|성=Weibel|이름= Charles Alexander|날짜=1994|제목=An introduction to homological algebra|url=http://www.math.rutgers.edu/~weibel/Hbook-corrections.html|총서=Cambridge Studies in Advanced Mathematics |권=38|출판사=Cambridge University Press|isbn=978-0-52143500-0|oclc=36131259|mr=1269324|zbl=0797.18001|doi=10.1017/CBO9781139644136|언어=en}}</ref>{{rp|11, Lemma 1.3.2}}
:<math>\ker a\to\ker b\to\ker c\xrightarrow d\operatorname{coker}a\to\operatorname{coker}b\to\operatorname{coker}c</math>
이 완전열에서, <math>d</math>를 '''연결 사상'''(連結寫像, {{llang|en|connecting morphism}})이라고 한다.

연결 사상 <math>d</math>는 만약 <math>\mathcal A</math>가 [[아벨 군]] 범주의 부분 범주라고 할 경우 구체적으로 다음과 같다.
<div class="mw-collapsible mw-collapsed toccolours">
'''연결 사상의 구성:'''
<div class="mw-collapsible-content">
우선, 임의의 <math>\gamma\in\ker c\subseteq C</math>에 대하여 다음과 같은 원소들을 정의하자.
* <math>g(\beta)=\gamma</math>인 임의의 <math>\beta\in B</math> (이는 <math>g</math>가 [[전사 사상]]이므로 가능하다)
** <math>g'(b(\beta))=c(g(\beta))=c(\gamma)=0</math>이므로, <math>b(\beta)\in\ker g'\subseteq B'</math>가 된다.
* <math>0\to A'\to B'\to C'</math>가 완전열이므로, (다시 말해, <math>\operatorname{im}f' = \ker g'</math>이고 <math>f'</math>이 [[단사 사상]]이므로) <math>f'(\alpha')=b(\beta)</math>인 <math>\alpha'\in A'</math>이 유일하게 존재한다.
그렇다면, 연결 사상 <math>d</math>는 다음과 같다.
:<math>d\colon \gamma\mapsto \alpha'+\operatorname{im}a</math>
이는 <math>\beta\in B</math>의 선택에 의존하지 않으며, 또한 연결 사상을 통해 얻는 열이 [[완전열]]임을 보일 수 있다.
</div></div>
뱀 완전열의 존재는 다음과 같이 [[도롱뇽 정리]]를 사용하여 보일 수 있다.
<div class="mw-collapsible mw-collapsed toccolours">
'''증명:'''<ref name="Bergman">{{저널 인용|제목=On diagram-chasing in double complexes|이름=George Mark|성=Bergman|arxiv=1108.0958|bibcode=2011arXiv1108.0958B|zbl=1264.18018|저널=Theory and Applications of Categories|권=26|날짜=2012|쪽=60–96|url=http://www.tac.mta.ca/tac/volumes/26/3/26-03abs.html|issn=1201-561X|언어=en}}</ref>{{rp|Lemma 2.4}}
<div class="mw-collapsible-content">
그림의 위에 [[핵 (수학)|핵]]을, 밑에 [[여핵]]을 추가하여 다음과 같은 그림을 만들자.
:<math>\begin{matrix}
&& 0 && 0 && 0 \\
&& \downarrow && \downarrow && \downarrow \\
&& \ker a &\to & \ker b &\to & \ker c \\
&& \downarrow && \downarrow && \downarrow \\
&& A  & \to &  B &\to & C &\to &0\\
&& \downarrow && \downarrow && \downarrow \\
0&\to & A' &\to & B' &\to & B' \\
&& \downarrow && \downarrow && \downarrow \\
&& \operatorname{coker}a &\to & \operatorname{coker}b &\to & \operatorname{coker}c \\
&& \downarrow && \downarrow && \downarrow \\
&& 0 && 0 && 0
\end{matrix}
</math>

이제, 다음 세 명제를 증명하면 족하다.
* (가): <math>_= (\ker b) \cong 0</math>
* (나): <math>_=(\operatorname{coker}b) \cong 0</math>
* (다): <math>(\ker c)_\square \cong {}^\square (\operatorname{coker}a)</math>. 이는 <math>\operatorname{coker} (\operatorname{ker}b \to \ker c) = (\ker c)_\square</math>이며, <math>\ker (\operatorname{coker}a\to\operatorname{coker}b) = {}^\square (\operatorname{coker}a)</math>이기 때문이다. 이 [[동형 사상]]은 연결 사상에 해당한다.

이제, 완전성을 사용하여 다음 교외 사상들이 [[동형 사상]]임을 보일 수 있다.
:<math>\begin{matrix}
&& 0_\square && 0_\square && 0_\square \\
&& \swarrow && \swarrow && \swarrow \\
&& ^\square \bullet_\square &\nearrow & ^\square \bullet_\square &\nearrow & ^\square \bullet_\square \\
&& \swarrow && \swarrow && \swarrow \\
&& ^\square \bullet_\square & \nearrow & ^\square \bullet_\square &\nearrow &^\square \bullet_\square &\nearrow &^\square 0\\
&& \swarrow && \swarrow && \swarrow \\
0_\square &\nearrow & ^\square \bullet_\square &\nearrow & ^\square \bullet_\square &\nearrow & ^\square \bullet_\square \\
&& \swarrow && \swarrow && \swarrow \\
&& ^\square \bullet_\square &\nearrow & ^\square \bullet_\square &\nearrow & ^\square \bullet_\square \\
&& \swarrow && \swarrow && \swarrow \\
&& ^\square0 && ^\square0 && ^\square0
\end{matrix}
</math>
<math>\ker b\to \ker c</math>를 중심으로 하는 도롱뇽 완전열 및 <math>\operatorname{coker}b\to \operatorname{coker}c</math>를 중심으로 하는 도롱뇽 완전열을 사용하면, 아래 그림에 추가된 교내 사상이 추가로 [[동형 사상]]임을 알 수 있다.
:<math>\begin{matrix}
&& 0_\square && 0_\square && 0_\square \\
&& \swarrow && \color{Red}\swarrow && \swarrow \\
&& ^\square \bullet_\square &\nearrow & \overset\square{\underset={\scriptstyle\color{Red}\downarrow}} \underset\to\bullet_\square &\nearrow & ^\square \bullet_\square \\
&& \swarrow && \swarrow && \color{Green}\swarrow \\
&& ^\square \bullet_\square & \nearrow & ^\square \bullet_\square &\color{Green}\nearrow &^\square \bullet_\square &\nearrow &^\square 0\\
&& \swarrow && \color{Green}\swarrow && \swarrow \\
0_\square &\nearrow & ^\square \bullet_\square &\color{Green}\nearrow & ^\square \bullet_\square &\nearrow & ^\square \bullet_\square \\
&& \color{Green}\swarrow && \swarrow && \swarrow \\
&& ^\square \bullet_\square &\nearrow & \overset\square{\underset={\scriptstyle\downarrow}} \underset{\color{Cyan}\to}\bullet_\square &\nearrow & ^\square \bullet_\square \\
&& \swarrow && \color{Cyan}\swarrow && \swarrow \\
&& ^\square0 && ^\square0 && ^\square 0
\end{matrix}
</math>

이제, (가) ~ (다)의 증명은 다음과 같이 간단하다.
* (가): 위의 그림에서 붉게 칠한 [[동형 사상]] <math>0\cong 0_\square \to {}^\square(\ker b)\to {}_=(\ker b)</math>
* (나): 위의 그림에서 하늘색으로 칠한 [[동형 사상]] <Math>0\cong {}^\square 0\leftarrow (\operatorname{coker} b)_\square \leftarrow {}_=(\operatorname{coker}b)</math>
* (다): 위의 그림에서 녹색으로 칠한 [[동형 사상]] <math>(\ker c)_\square \to {}^\square C \leftarrow B_\square \to {}^\square B'\leftarrow A_\square \to {}^\square(\operatorname{coker}a)</math>
</div></div>

== 성질 ==
그림
:[[파일:Snake lemma origin.svg]]
에 대응하는 뱀 완전열에서, 다음이 성립한다.
* (가) 만약 <math>f</math>가 [[단사 사상]]이라면 <math>\ker a\to\ker b</math>도 [[단사 사상]]이다.
* (나) <math>g'</math>이 [[전사 사상]]인 경우 <math>\operatorname{coker}b\to\operatorname{coker}c</math>도 [[전사 사상]]이다.
이들은 서로 쌍대적이다. 즉, [[아벨 범주]] <math>\mathcal A</math>에서의 명제 (가)는 [[반대 범주]] <math>\mathcal A^{\operatorname{op}}</math>에서의 명제 (나)와 같다.
<div class="mw-collapsible mw-collapsed toccolours">
'''증명:'''
<div class="mw-collapsible-content">
편의상 (가)를 증명하자.

가환 그림
:<math>
\begin{matrix}
0&\to& \ker a& \to & \ker b\\
\downarrow && \downarrow && \downarrow\\
0& \to & A &\to &B
\end{matrix}
</math>
에서, <math>_=(\ker a) \cong 0</math>임을 보이면 족하다.

도롱뇽 정리로부터, 동형 사상을 이루는 두 교외 사상
:<math>
0_\square  \to {}^\square A \leftarrow {}^\square(\ker a)</math>
이 존재한다. 따라서 <math>^\square(\ker a) \cong 0</math>이다. 따라서, <math>\ker a\to \ker b</math>를 중심으로 하는 도롱뇽 완전열
:<math>
\begin{matrix}
{\color{White}_\square}0_\square \\
\swarrow \\
\underset ={\overset\square{\scriptstyle\downarrow}} \underset\to{(\ker a)}_\square &\nearrow &\overset \square{\underset ={\scriptstyle\downarrow}} \underset\to{(\ker b)}_\square \\
&& \swarrow \\
&& ^\square B\color{White}_\square
\end{matrix}
</math>
으로부터, <math>_=(\ker a) \cong 0</math>임을 알 수 있다.
</div></div>

=== 호몰로지 긴 완전열 ===
[[사슬 복합체]]의 [[짧은 완전열]]이 주어졌을 경우, 위와 같은 뱀 완전열들이 이어져 더 긴 완전열을 얻는다. 이를 짧은 완전열에 대응하는 '''호몰로지 긴 완전열'''({{llang|en|homology long exact sequence}})이라고 한다.

구체적으로, [[아벨 범주]]에서, [[사슬 복합체]] <math>A_\bullet</math>, <math>B_\bullet</math>, <math>C_\bullet</math>가 주어졌다고 하고, 이들이 다음과 같은 [[짧은 완전열]]을 이룬다고 하자.
:<math>0\to A_\bullet\xrightarrow\alpha B_\bullet\xrightarrow\beta C_\bullet\to0</math>
'''지그재그 정리'''(zigzag補助定理, {{llang|en|zigzag lemma}})에 따르면, 다음과 같은 [[긴 완전열]]이 존재한다.
:<math>\cdots\to\operatorname H_{n+1}(C)\to\operatorname H_n(A)\xrightarrow{\alpha_*}\operatorname H_n(B)\xrightarrow{\beta_*}\operatorname H_n(C)\to\operatorname H_{n-1}(A)\to\cdots</math>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed toccolours">
'''뱀 완전열을 사용한 구성:'''<ref name="Weibel"/>{{rp|13–14}}
<div class="mw-collapsible-content">
다음과 같은 가환 그림을 생각하자.
:<math>
\begin{matrix}
&\ker\partial_n^A&&\ker\partial_n^B&&\ker\partial_n^C\\
&\downarrow&&\downarrow&&\downarrow\\
0\to&A_n &\to& B_n&\to&C_n&\to0\\
&{\scriptstyle\partial_n^A}\downarrow&&{\scriptstyle\partial_n^B}\downarrow&&{\scriptstyle\partial_n^C}\downarrow\\
0\to&A_{n-1}&\to& B_{n-1}&\to&C_{n-1}&\to0\\
&\downarrow&&\downarrow&&\downarrow\\
&\operatorname{coker}\partial_n^A&&\operatorname{coker}\partial_n^B&&\operatorname{coker}\partial_n^C\\
\end{matrix}</math>

뱀 보조정리에 따라서, 모든 <math>n</math>에 대하여 다음 두 행들은 [[완전열]]을 이룬다.
:<math>0\to\ker\partial_n^A\to\ker\partial_n^B\to\ker\partial_n^C</math>
:<math>\operatorname{coker}\partial_n^A\to\operatorname{coker}\partial_n^B\to\operatorname{coker}\partial_n^C\to0</math>
따라서, 다음과 같은 가환 그림이 존재한다.
:<math>
\begin{matrix}
&\operatorname{coker}\partial_{n+2}^A&\to&\operatorname{coker}\partial_{n+2}^B&\to&\operatorname{coker}\partial_{n+2}^C&\to0\\
&{\scriptstyle\partial_{n+1}^A}\downarrow&&{\scriptstyle\partial_{n+1}^B}\downarrow&&{\scriptstyle\partial_{n+1}^C}\downarrow\\
0\to&\ker\partial_n^A&\to&\ker\partial_n^B&\to&\ker\partial_n^C
\end{matrix}
</math>
이 그림에서 각 열의 핵과 여핵은 각각 [[호몰로지]] <math>\operatorname H_{n+1}(-)</math>와 <math>\operatorname H_n(-)</math>이다. 따라서, 여기에 뱀 보조정리를 다시 한 번 더 적용하면, 다음과 같은 긴 완전열을 얻는다.
:<math>\cdots\to\operatorname H_{n+1}(A)\to\operatorname H_{n+1}(B)\to \operatorname H_{n+1}(C)\to \operatorname H_n(A)\to\operatorname H_n(B)\to\operatorname H_n(C)\to\cdots</math>
</div></div>
<div class="mw-collapsible mw-collapsed toccolours">
'''[[도롱뇽 정리]]를 사용한 구성:'''
<div class="mw-collapsible-content">
다음과 같은 그림을 생각하자.
:<math>\begin{matrix}
&& \vdots && \vdots && \vdots \\
&& \downarrow && \downarrow && \downarrow \\
0 &\to & A_n & \to & B_n & \to & C_n & \to 0\\
&& \downarrow && \downarrow && \downarrow \\
0 &\to & A_{n-1} & \to & B_{n-1} & \to & C_{n-1} & \to 0\\
&& \downarrow && \downarrow && \downarrow \\
&& \vdots && \vdots && \vdots
\end{matrix}</math>
이제, 다음과 같은 사상들을 생각하자.
:<math>\begin{matrix}
&& \vdots && \vdots && \vdots \\
&&  && \swarrow &&  \\
0_\square & \color{Red}\nearrow & ^\square\overset\to\bullet\overset\|{\underset\square{\scriptstyle\color{Red}\downarrow}} & \color{Red}\nearrow & ^\square\overset\to\bullet\overset\|{\underset\square{\scriptstyle\downarrow}} & \color{Red}\nearrow & ^\square\overset{\color{Red}\to}\bullet\overset\|{\underset\square{\scriptstyle\downarrow}} & \color{Red}\nearrow & ^\square 0\\
&&  && \swarrow &&  \\
0_\square & \color{Red}\nearrow & ^\square\overset\to\bullet\overset\|{\underset\square{\scriptstyle\color{Red}\downarrow}} & \color{Red}\nearrow & ^\square\overset\to\bullet\overset\|{\underset\square{\scriptstyle\downarrow}} & \color{Red}\nearrow & ^\square\overset{\color{Red}\to}\bullet\overset\|{\underset\square{\scriptstyle\downarrow}} &\color{Red}\nearrow & ^\square 0\\
&&  && \swarrow &&  \\
&& \vdots && \vdots && \vdots
\end{matrix}</math>
여기서, [[도롱뇽 정리]]를 사용하여, 붉은 색으로 칠해진 사상들이 [[동형 사상]]임을 보일 수 있다. 또한, 검은 색으로 칠해진 사상, 즉
:<math>A_{n\square} \to B_n^\| \to B_{n\square} \to {}^\square B_{n-1} \to B_{n-1}^\| \to {}^\square C_{n-1}</math>
는 [[도롱뇽 정리]]에 등장하는 완전열이다. 붉은 색의 동형 사상을 적용하면, 이는 호몰로지 긴 완전열
:<math>A_n^\| \to B_n^\| \to C_n^\| \to A_{n-1}^\| \to B_{n-1}^\| \to C_{n-1}^\|</math>
과 같다.
</div></div>

== 예 ==
{{본문|마이어-피토리스 열}}
{{본문|복시테인 준동형}}
[[대수적 위상수학]]에서 쓰이는 [[마이어-피토리스 열]]은 뱀 완전열의 일종이다. 마찬가지로, [[복시테인 준동형]]은 뱀 완전열의 연결 사상의 일종이다.

== 역사 ==
[[파일:Historiae naturalis de quadrupedibus libri (Tab. II) (8594431807).jpg|섬네일|오른쪽|1657년 유럽에서 출판된 동물학 서적에 수록된 뱀의 그림]]
뱀 완전열은 연결 사상이 가환 그림에서 마치 뱀처럼 구불거리는 모양을 하므로 이러한 이름이 붙었다. 즉, 다음과 같은 그림
:[[파일:Snake lemma complete.svg]]
에서, 연결 사상은 갈지자 (之) 모양을 하고 있다.

[[데이비드 앨빈 북스바움]]은 1955년 논문<ref name="Buchsbaum">{{저널 인용 | last=Buchsbaum | first=David Alvin | 저자링크=데이비드 북스바움 | title=Exact categories and duality | jstor=1993003 | mr=0074407 | year=1955 | journal=Transactions of the American Mathematical Society | issn=0002-9947 | volume=80 | issue=1 | pages=1–34 | doi=10.1090/S0002-9947-1955-0074407-6 | zbl = 0065.25502 |언어=en}}</ref>에서 [[아벨 범주]]의 개념을 도입하였는데, 이 논문에서 이미 뱀 정리가 등장한다.<ref name="Buchsbaum"/>{{rp|Lemma 5.8}}

뱀 완전열의 존재의 (수학적으로 올바른) 증명이 클로디아 와일({{llang|en|Claudia Weill}}) 감독의 1980년 미국 영화 《뉴욕 소나타》({{llang|en|It’s My Turn|이츠 마이 턴}})의 도입부에서 등장한다.<ref name="Weibel"/>{{rp|11}} 이 영화에서 수학 교수 케이트 건징어({{llang|en|Kate Gunzinger}}, [[질 클레이버그]] 분)는 이 정리를 강의 중에 증명한다.

== 같이 보기 ==
* [[지그재그 보조정리]]
== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{매스월드|id=SnakeLemma|title=Snake lemma}}
* {{매스월드|id=ConnectingHomomorphism|title=Connecting homomorphism}}
* {{매스월드|id=Zig-ZagLemma|title=Zig-zag lemma}}
* {{웹 인용|url=https://unapologetic.wordpress.com/2007/10/02/the-snake-lemma/|제목=The snake lemma|웹사이트=The Unapologetic Mathematician|날짜=2007-10-02|이름=John|성=Armstrong|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://luisrguzmanjr.wordpress.com/2012/02/10/the-snake-lemma/|제목=The snake lemma|이름=Luis, Jr.|성=Guzman|웹사이트=Guzman’s Mathematics Weblog|날짜=2012-02-10|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://sbseminar.wordpress.com/2007/11/13/anton-geraschenko-the-salamander-lemma/ | 제목=The salamander lemma | 이름=Anton | 성=Geraschenko | 웹사이트=Secret Blogging Seminar | 날짜=2007-11-13 | 언어=en}}
* {{nlab|id=snake lemma|title=Snake lemma}}
* {{nlab|id=connecting homomorphism|title=Connecting homomorphism}}
* {{nlab|id=long exact sequence in homology|title=Long exact sequence in homology}}

[[분류:호몰로지 대수학]]
[[분류:보조정리]]