배수 (수학) 문서 원본 보기

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[[파일:배수 기호.svg|섬네일|100px|배수 기호]]
[[파일:배수 기호 아님.svg|섬네일|100px|오른쪽 수가 왼쪽 수의 배수가 아닐 때 사용하는 기호]]
[[수론]]에서, 주어진 [[정수]]의 '''배수'''(倍數, {{llang|en|multiple}})는 그 정수에 어떤 [[정수]]를 곱한 수이다. 즉, 그 수에 의해 나누어떨어지는 수이다.

== 정의 ==
[[정수]] <math>n\in\mathbb Z</math>의 '''배수'''는 다음 조건을 만족시키는 정수 <math>m\in\mathbb Z</math>이다.
* <math>m=nk</math>인 정수 <math>k\in\mathbb Z</math>가 존재한다.
(일부 문헌에서는 <math>n\ne0</math>을 가정하기도 한다.)

== 성질 ==
정수 <math>n\in\mathbb Z</math>의 배수의 집합은 다음과 같다.
:<math>\begin{align}n\mathbb Z
&=\{nk\colon k\in\mathbb Z\}\\
&=\{\dots,-3n,-2n,-n,0,n,2n,3n,\dots\}
\end{align}</math>
정수의 배수의 집합은 특히 0과 자기 자신을 원소로 가지며, 정수 계수 선형 결합에 의해 닫혀있다. 즉, 정수 <math>n</math>에 대하여 다음 성질들이 성립한다.
* <math>n</math>은 <math>n</math>의 배수다.
* 0은 <math>n</math>의 배수다.
* <math>m_1,m_2,\dots,m_t</math>가 <math>n</math>의 배수라면, <math>k_1m_1+k_2m_2+\cdots+k_tm_t</math> (<math>k_i\in\mathbb Z</math>) 역시 <math>n</math>의 배수다.
* 위 세 성질로부터 유도될 수 없다면 <math>n</math>의 배수가 아니다.
정수의 배수의 집합은 [[정수환]]의 [[아이디얼]]을 이룬다. [[소수 (수론)|소수]]의 배수의 집합은 정수환의 [[소 아이디얼]]을 이룬다. 반대로, 정수환의 모든 아이디얼은 어떤 정수의 배수의 집합이다.

특히 [[육진법]]와 [[십진법]]에서는 [[소인수]]에 [[2]], [[3]], [[5]] 중 하나가 포함된 숫자의 배수 판정이 매우 간단하다. 이것은 육진법에서는 10 = 2×3 = 5+1이되고, 십진법에서는 10 = 2×5 = 3<sup>2</sup>+1되기 때문이다.

=== 십진법의 배수 판정 ===
십진법에서, 작은 자연수들의 배수 판정 방법은 다음과 같다. 일부는 통상적인 나눗셈을 통한 방법보다 느릴 수 있다.
* 0의 배수는 0뿐이다. 임의의 정수 <math>k\in\mathbb Z</math>에 대하여 <math>0k=0</math>이기 때문이다.
* 1의 배수는 모든 정수다. 임의의 정수 <math>k\in\mathbb Z</math>에 대하여 <math>1k=k</math>이기 때문이다.
* 2의 배수인 정수를 [[짝수]]라고 한다. 어떤 정수가 짝수일 [[필요충분조건]]은 십진법 전개의 일의 자릿수가 짝수인 것이다. (다른 자릿수와 상관없다.)
** 예를 들어, [[26]]은 일의 자릿수가 6이므로 짝수이며, [[17]]은 일의 자릿수가 7이므로 짝수가 아니다.
* 어떤 정수가 3의 배수일 [[필요충분조건]]은 십진법 전개의 모든 자릿수의 합이 3의 배수인 것이다. (이는 재귀적인 판정 방법이다.)
** 예를 들어, [[573]]은 모든 자릿수의 합이 <math>5 + 7 + 3 = 15</math>이고, 15가 3의 배수이므로 573은 3의 배수다.
** 그러나, [[283]]은 모든 자릿수의 합이 <math>2 + 8 + 3 = 13</math>이고, 13이 3의 배수가 아니므로 283은 3의 배수가 아니다.
* 어떤 정수가 4의 배수일 [[필요충분조건]]은 십진법 전개의 뒤의 두 자릿수가 4의 배수인 것이다. (다른 자릿수와 상관없다.) 더 쉽게는 뒤에서 2번째 자리(십의 자리)가 [[홀수와 짝수|짝수]]라면, 맨 끝의 자리(일의 자리)가 0, 4, 8일 때 4의 배수이고, 십의 자리가 [[홀수와 짝수|홀수]]라면, 일의 자리가 2, 6일 때 4의 배수다.
** 예를 들어, 4316은 뒤의 두 자릿수가 16이므로 4의 배수다. 또, 189,278,504는 십의 자리가 0이므로 짝수이고(0도 짝수다.) 일의 자리가 4이므로 4의 배수다.
* 어떤 정수가 5의 배수일 [[필요충분조건]]은 십진법 전개의 일의 자릿수가 0이나 5인 것이다. (다른 자릿수와 상관없다.)
** 예를 들어, 15는 일의 자릿수가 5이므로 5의 배수다.
* 어떤 정수가 6의 배수일 [[필요충분조건]]은 2의 배수(짝수)이면서 동시에 3의 배수인 것이다.
** 예를 들어, [[246]]은 모든 자릿수의 합이 <math>2 + 4 + 6 = 12</math>인 3의 배수이면서 짝수이므로, 246은 6의 배수다.
** 그러나, [[315]]는 3의 배수이지만 홀수이므로, 315는 6의 배수가 아니다. 또, [[428]]은 짝수이지만 3의 배수가 아니므로, 428은 6의 배수가 아니다.
* 어떤 정수가 7의 배수일 [[필요충분조건]]은, 십진법 전개의, 오른쪽부터 세 자릿수씩의 교대합이 7의 배수인 것이며, 일의 자릿수의 두 배를 나머지 자릿수에서 뺀 차가 7의 배수인 것이다. (이는 재귀적인 판정 방법이다.)
** 예를 들어, 1, 369, 851은 <math>851 - 369 + 1 = 483</math>; <math>48 - 3 \times 2 = 42</math>이므로 7의 배수다.
* 어떤 정수가 8의 배수일 [[필요충분조건]]은 십진법 전개의 뒤의 세 자릿수가 8의 배수인 것이다. (다른 자릿수와 상관없다.)
** 예를 들어, 20120은 뒤의 세 자릿수가 <math>120 = 8 \times 15</math>이므로 8의 배수다.
* 어떤 정수가 9의 배수일 [[필요충분조건]]은 십진법 전개의 모든 자릿수의 합이 9의 배수인 것이다.
** 예를 들어, [[765]]는 모든 자릿수의 합이 <math>7 + 6 + 5 = 18</math>이고, 18이 9의 배수이므로 765는 9의 배수다.
** 그러나, [[168]]은 모든 자릿수의 합이 <math>1 + 6 + 8 = 15</math>이고, 15가 9의 배수가 아니므로 168은 9의 배수가 아니다.
* 어떤 정수가 10의 배수일 [[필요충분조건]]은 십진법 전개의 일의 자릿수가 0인 두 자리 이상의 정수인 것이다.
** 예를 들어, 5320은 일의 자릿수가 0이므로 10의 배수다.
* 어떤 정수가 11의 배수일 [[필요충분조건]]은 십진법 전개의 홀수째 자릿수의 합과 짝수째 자릿수의 합이 같은지 여부다.
** 예를 들어, 10241은 <math>1 + 2 + 1 = 0 + 4</math>이므로 11의 배수다.

== 같이 보기 ==
* [[최소공배수]]
* [[약수]]
* [[최대공약수]]
* [[소인수 분해]]
* [[배수 판정법]]

[[분류:수론]]
[[분류:곱셈]]