방정식 xy = yx 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
{{DISPLAYTITLE:방정식 ''x<sup>y</sup>'' = ''y<sup>x</sup>''}}
[[파일:Plot_of_x^y_=_y^x.svg|섬네일| {{수학|1=''x''<sup>''y''</sup> = ''y''<sup>''x''</sup>}}의 그래프. 선과 곡선은 ( ''[[자연로그의 밑|e]]'', ''e'' )에서 교점을 갖는다.]]
일반적으로 [[거듭제곱|지수]]는 [[교환법칙]]이 성립하지 않는다. 그러나 [[방정식]] <math>x^y = y^x</math>은 <math>x=2,\ y=4</math>와 같은 근을 가진다.<ref name="loczy" />

== 역사 ==
이 방정식은 [[다니엘 베르누이]]가 [[크리스티안 골트바흐|골트바흐]]에게 1728년 6월 29일에 보낸 편지에 언급되어 있다.<ref name="Singmaster" /> 그 편지에 따르면 <math>x\ne y</math>인 경우 [[유리수]] 범위에서 <math>(\tfrac{27}{8}, \tfrac{9}{4})</math>, <math>(\tfrac{9}{4}, \tfrac{27}{8})</math>를 비롯한 무수히 많은 해가 있음에도 자연수 범위에서는 <math>(2, 4)</math>와 <math>(4, 2)</math>뿐이라고 한다.<ref name="Sved1990" /><ref name="Dickson" /> 골트바흐의 답장(1729년 1월 31일<ref name="Singmaster" />)에는 <math>y=vx</math>로 치환해서 일반해를 구하는 방법이 언급되어 있다. 이후 [[레온하르트 오일러|오일러]]도 비슷한 풀이법을 발견했다.

J. van Hengel은 <math>r, n</math>이 모두 [[정수|양의 정수]]이면서 <math>r \geq 3</math>이면 <math>r^{r+n} > (r+n)^r</math>이므로 자연수 해를 찾는다면 <math>x = 1</math>, <math>x = 2</math>를 고려하는 것으로도 충분하다고 짚었다.<ref name="Dickson" /><ref name="Hengel1888" />

이 방정식은 여러 출판물에서 논의되었는데,<ref name="Singmaster" /><ref name="Sved1990" /><ref name="Dickson" /> 1960년에 이 방정식은 [[윌리엄 로웰 퍼트넘 수학경시대회]]의 질문 중 하나였으며<ref name="wlp" /><ref>{{웹 인용|url=http://www.kalva.demon.co.uk/putnam/putn60.html|제목=21st Putnam 1960. Problem B1|날짜=20 Oct 1999|보존url=https://web.archive.org/web/20080330183949/http://www.kalva.demon.co.uk/putnam/putn60.html|보존날짜=2008-03-30|url-status=bot: unknown}}</ref> Alvin Hausner는 결과를 [[대수적 수체]]로 확장했다.<ref>{{저널 인용|제목=Algebraic Number Fields and the Diophantine Equation ''m''<sup>''n''</sup> = ''n''<sup>''m''</sup>|저널=[[The American Mathematical Monthly]]|성=Hausner|이름=Alvin|날짜=November 1961|권=68|호=9|쪽=856–861|doi=10.1080/00029890.1961.11989781|issn=0002-9890}}</ref>

== 양수 해 ==

:''주요 출처:''<ref name="loczy" />

[[실수|양]]의 실수 범위에서 자명근 집합은 <math>x = y</math>이다. 비자명근은 [[람베르트 W 함수|람베르트 ''W'' 함수를]] 사용하여 양함수꼴로 표현할 수 있다. 아이디어는 방정식을 <math>ae^b = c</math> 꼴로 변형하고 <math>a</math>와 <math>b</math>를 일치시키도록 양변에 같은 값을 곱하거나 지수를 취하고, 람베르트 ''W'' 함수의 정의를 적용하여 <math>a'e^{a'} = c' \Rightarrow a' = W(c')</math>와 같이 쓰는 것이다.

: <math>\begin{align}
y^x &= x^y = \exp\left(y\ln x\right) & \\
y^x \exp\left(-y\ln x\right) &= 1 & \left(\exp\left(-y\ln x\right) \mbox{을 곱함} \right) \\
y\exp\left(-y\frac{\ln x}{x}\right) &= 1 & \left(\frac{1}{x} \mbox{ 제곱} \right) \\
-y\frac{\ln x}{x}\exp\left(-y\frac{\ln x}{x}\right) &= \frac{-\ln x}{x} & \left(\frac{-\ln x}{x} \mbox{을} \mbox{ 곱함} \right)
\end{align}</math>

: <math>\Rightarrow -y\frac{\ln x}{x} = W\left(\frac{-\ln x}{x}\right)</math>
: <math>\Rightarrow y = \frac{-x}{\ln x}\cdot W\left(\frac{-\ln x}{x}\right) = \exp\left(-W\left(\frac{-\ln x}{x}\right)\right)</math>

마지막 줄에서 [[람베르트 W 함수]]의 성질 <math>\frac{W(x)}{x} = \exp(-W(x))</math>을 사용했다.

여기서 이 해를 람베르트 ''W'' 함수의 두 분지를 사용해서 구간별로 나누면

: <math>\begin{align}
W_0\left(\frac{-\ln x}{x}\right) &= -\ln x \quad& (&0 < x \le e) \\
W_{-1}\left(\frac{-\ln x}{x}\right) &= -\ln x \quad& (&x \ge e)
\end{align}</math>

* <math>0 < x \le 1</math> :

: <math>\Rightarrow \frac{-\ln x}{x} \ge 0</math>
: <math>\begin{align}\Rightarrow y &= \exp\left(-W_0\left(\frac{-\ln x}{x}\right)\right) \\
 &= \exp\left(-(-\ln x)\right) \\
 &= x \end{align}</math>

* <math>1 < x < e</math> :

: <math>\Rightarrow \frac{-1}{e} < \frac{-\ln x}{x} < 0</math>
: <math>\Rightarrow y = \begin{cases}
\exp\left(-W_0\left(\frac{-\ln x}{x}\right)\right) = x \\
\exp\left(-W_{-1}\left(\frac{-\ln x}{x}\right)\right)
\end{cases}</math>

* <math>x = e</math> :

: <math>\Rightarrow \frac{-\ln x}{x} = \frac{-1}{e}</math>
: <math>\Rightarrow y = \begin{cases}
\exp\left(-W_0\left(\frac{-\ln x}{x}\right)\right) = x \\
\exp\left(-W_{-1}\left(\frac{-\ln x}{x}\right)\right) = x
\end{cases}</math>

* <math>x > e</math> :

: <math>\Rightarrow \frac{-1}{e} < \frac{-\ln x}{x} < 0</math>
: <math>\Rightarrow y = \begin{cases}
\exp\left(-W_0\left(\frac{-\ln x}{x}\right)\right) \\
\exp\left(-W_{-1}\left(\frac{-\ln x}{x}\right)\right) = x
\end{cases}</math>

따라서 비자명근은 다음과 같다.{{공식 상자|indent=:|equation=<math>y = \begin{cases}
\exp\left(-W_0\left(\frac{-\ln(x)}{x}\right)\right) \quad & (x > e) \\
\exp\left(-W_{-1}\left(\frac{-\ln x}{x}\right)\right) \quad &  (1 < x < e)
\end{cases}</math>}}

=== 매개변수 형태 ===
비자명근은 <math>y = vx</math>로 치환함으로써 보다 쉽게 구할 수 있다. 치환한 다음 양변을 <math>\tfrac{1}{x}</math> 제곱하고 <math>x</math>로 나누면, 다음을 얻는다.

: <math>(vx)^x = x^{vx} = (x^v)^x.</math>

: <math>v = x^{v-1}.</math>

따라서 자명하지 않은 양수 해의 매개변수꼴은 다음과 같다.{{공식 상자|indent=:|equation=<math>\begin{align}x &= v^{1/(v-1)}, \\ y &= v^{v/(v-1)}.\end{align}</math>}}따라서 1이 아닌 양수 <math>v</math>에 대하여 모든 근은 이 해를 바탕으로 도함수는 다음과 같다.

이 해를 바탕으로 도함수는 다음과 같다. <math>y=x</math>인 순서쌍 <math>(x,y)</math>에 대하여 <math>\dfrac{\mathrm d y}{\mathrm d x}=1</math>이고, 그 외의 경우는 매개변수로 표현한 함수의 미분법에 따라 <math>\frac{\mathrm d y}{\mathrm d x} = v^2\left(\frac{v-1-\ln v}{v-1-v\ln v}\right)</math>. (단, <math>v</math>는 1이  양수)

:


== 다른 실근 ==
<math>x</math>, <math>y</math> 중 적어도 하나가 음수인 해도 존재한다. 위의 매개변수화로부터 얻을 수 있으며 예를 들어, <math>x=\frac{1}{\sqrt[3]{-2}}</math>, <math>y=\frac{-2}{\sqrt[3]{-2}}</math> (여기서 세제곱근은 실수값)가 있다. 유사하게 <math>x^x</math>가 실수일 때 자명근 <math>y=x</math> (<math>x<0</math>)도 존재한다. (예를 들어 <math>x=y=-1</math>)

== 유사한 그래프==
=== 방정식 {{수학|1={{radic|''y''|''x''}} = {{radic|''x''|''y''}}}} ===
방정식 <math>\sqrt[x]y = \sqrt[y]x</math>의 그래프는 <math>1/e</math>에서 만나는 선과 곡선으로 이루어져 있다. 또한 곡선은 (0, 1)과 (1, 0)에서 무한대로 발산하지 않는다.

곡선 부분은 다음과 같이 양함수 형태로 표현된다.

<math>y=\begin{cases}
e^{W_0(\ln(x^x))} \quad& (0<x<1/e) \\
e^{W_{-1}(\ln(x^x))} \quad& (1/e<x<1)
\end{cases}</math>


이 방정식은 <math>y^y=x^x</math>와 동치인데, 양변을 <math>xy</math>제곱하면 해당 방정식과 같기 때문이다. 이와 유사하게 방정식 <math>\sqrt[y]{y}=\sqrt[x]{x}</math> 는 방정식 <math>x^y = y^x</math>와 동치이다.

=== 방정식 {{수학|1=log<sub>''x''</sub>(''y'') = log<sub>''y''</sub>(''x'')}} ===
방정식 <math>\log_x(y) = \log_y(x)</math>의 그래프는 (1,&nbsp;1)에서 서로 만나는 곡선 <math>y=\dfrac{1}{x}</math>과 <math>y=x</math>로 이루어져 있다.

== 각주 ==
{{각주|refs=<ref name="Dickson">{{인용
 |authorlink = Leonard Eugene Dickson|first=Leonard Eugene |last=Dickson
 |title = [[History of the Theory of Numbers]]
 |volume = II
 |location = Washington
 |year = 1920
 |contribution = Rational solutions of ''x''<sup>''y''</sup> {{=}} ''y''<sup>''x''</sup>
 |contribution-url = https://books.google.com/books?id=dO7C02z4LlcC&pg=PA687
 |pages = 687
}}</ref>

<ref name="Singmaster">{{웹 인용|url=http://www.gotham-corp.com/sources.htm#_Toc69534169 |title=Sources in recreational mathematics: an annotated bibliography. 8th preliminary edition |authorlink=David Singmaster|first=David |last=Singmaster |url-status=unfit |archive-url=https://web.archive.org/web/20040416081838/http://www.gotham-corp.com/sources.htm#_Toc69534169 |archive-date=April 16, 2004 }}</ref>

<ref name="Sved1990">{{저널 인용
 |first = Marta | last = Sved | authorlink = Márta Svéd
 |title = On the Rational Solutions of ''x''<sup>''y''</sup> {{=}} ''y''<sup>''x''</sup>
 |year = 1990
 |journal = Mathematics Magazine
 | volume = 63 | pages = 30–33 | doi = 10.1080/0025570X.1990.11977480 |url = http://www.maa.org/sites/default/files/Sved50816668.pdf
 |archive-url = https://web.archive.org/web/20160304191325/http://www.maa.org/sites/default/files/Sved50816668.pdf
 |archive-date = 2016-03-04
}}</ref>

<ref name="wlp">{{인용
 |title = The William Lowell Putnam mathematical competition problems and solutions: 1938-1964
 |authorlink = Andrew M. Gleason|first1=A. M. |last1=Gleason|first2= R. E. |last2=Greenwood|authorlink3=Leroy Milton Kelly|first3=L. M.|last3= Kelly
 |publisher = [[Mathematical Association of America|MAA]]
 |year = 1980
 |isbn = 0-88385-428-7
 |contribution = The twenty-first William Lowell Putnam mathematical competition (December 3, 1960), afternoon session, problem 1
 |contribution-url = https://books.google.com/books?id=7D0PAQAAMAAJ&q=%22prove+that+you+have+obtained+all+of+them%22
 |pages = 59
}}<!-- — «Find all solutions of ''n''<sup>''m''</sup> = ''m''<sup>''n''</sup> in integers ''n'' and ''m'' (''n'' ≠ ''m''). Prove that you have obtained all of them.» --></ref>

<ref name="Hengel1888">{{저널 인용
 |title = Beweis des Satzes, dass unter allen reellen positiven ganzen Zahlen nur das Zahlenpaar 4 und 2 für ''a'' und ''b'' der Gleichung ''a''<sup>''b''</sup> {{=}} ''b''<sup>''a''</sup> genügt
 |url = http://digital.ub.uni-duesseldorf.de/ulbdsp/periodical/titleinfo/4315444
 | journal = Pr. Gymn. Emmerich | jfm = 20.0164.05
 |last = van Hengel|first= Johann
 |year = 1888
}}</ref>

<ref name="loczy">{{저널 인용
 |url = http://www.komal.hu/cikkek/loczy/powers/commpower.e.shtml
 |title = On commutative and associative powers
 |first = Lajos |last=Lóczi
 |journal = KöMaL
 |archive-url = https://web.archive.org/web/20021015103129/http://www.komal.hu/cikkek/loczy/powers/commpower.e.shtml
 |archive-date = 2002-10-15
}} Translation of: {{웹 인용
 |url = http://db.komal.hu/KomalHU/cikk.phtml?id=200047
 |title = Mikor kommutatív, illetve asszociatív a hatványozás?
 |language = hu
 |archive-url = https://web.archive.org/web/20160506183127/http://db.komal.hu/KomalHU/cikk.phtml?id=200047
 |archive-date = 2016-05-06
}}</ref>}}

== 외부 링크 ==

* {{웹 인용|url=http://www.cut-the-knot.org/wiki-math/index.php?n=Algebra.RationalSolutionOfXYYX|제목=Rational Solutions to x^y {{=}} y^x|웹사이트=[[Cut-the-Knot|CTK]] Wiki Math|보존url=https://web.archive.org/web/20210815091140/https://www.cut-the-knot.org/wiki-math/index.php?n=Algebra.RationalSolutionOfXYYX|보존날짜=2021-08-15|url-status=dead|확인날짜=2016-04-14}}
* {{웹 인용|url=https://www.math.uni-bielefeld.de/~sillke/PUZZLES/x%5Ey-x%5Ey|제목=x^y {{=}} y^x - commuting powers|웹사이트=Arithmetical and Analytical Puzzles|출판사=Torsten Sillke|보존url=https://web.archive.org/web/20151228091303/https://www.math.uni-bielefeld.de/~sillke/PUZZLES/x%5Ey-x%5Ey|보존날짜=2015-12-28}}
* {{웹 인용|url=http://www.geogebra.org/material/show/id/3940|제목=Parametric Graph of x^y{{=}}y^x|성=dborkovitz|날짜=2012-01-29|출판사=[[GeoGebra]]}}
* OEIS sequence A073084 (Decimal expansion of −x, where x is the negative solution to the equation 2^x = x^2)
[[분류:유희 수학]]
[[분류:디오판토스 방정식]]