방멱 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[파일:Power point simple.svg|섬네일|250px|오른쪽|그림 1. 방멱의 도해]]
[[기하학]]에서 '''방멱'''(方冪, {{llang|en|power}})은 [[평면]] 위의 어떤 [[점 (기하학)|점]]과 [[원 (기하학)|원]]에 의하여 결정되는 수이다. 이는 점과 원의 중심 사이의 거리의 제곱과 원의 [[반지름]]의 제곱의 차와 같다. 원 외부의 점의 방멱은 이 점을 지나는 원의 접선의 길이의 제곱이며, 원 내부의 점의 방멱은 이 점을 지나는 원의 가장 짧은 [[현 (기하학)|반현]]의 길이의 제곱의 −1배이다.<ref name="Eves">{{서적 인용
|성=Eves
|이름=Howard Whitley
|제목=College Geometry
|언어=en
|출판사=Jones and Bartlett Publishers
|날짜=1995
|isbn=0-86720-475-3
}}</ref>{{rp|29, §41}}

== 정의 ==
[[평면]] 위에서, 중심이 <math>O</math>이고 반지름이 <math>r</math>인 원 <math>\Gamma</math>의 점 <math>P</math>에 대한 '''방멱'''은 다음과 같이 정의된다.
:<math>OP^2-r^2</math>

=== 점원에 대한 방멱 ===
한 점 <math>O</math>로 이루어진 집합은 중심이 <math>O</math>이고 반지름이 0인 원으로 볼 수 있으며, 이를 [[원 (기하학)|점원]]이라고 한다. 이 경우 점원 <math>O</math>에 대한 <math>P</math>의 방멱은 단순히
:<math>OP^2</math>
이다.<ref name="Johnson">{{서적 인용
|성=Johnson
|이름=Roger A.
|제목=Advanced Euclidean Geometry
|언어=en
|출판사=Dover Publications
|위치=New York, N. Y.
|날짜=1960
|원본연도=1929
}}</ref>{{rp|30, §43}}

=== 직선에 대한 방멱 ===
직선 <math>l</math>은 반지름이 무한대인 원으로 볼 수 있다. 이 경우 직선 <math>l</math>에 대한 <math>P</math>의 방멱은 정의되지 않는다. 그러나 방멱과 지름의 비의 절댓값은 다음과 같은 과정을 통해 직선에까지 확장할 수 있다. 우선 <math>P</math>를 지나는 <math>l</math>의 수선의 발이 <math>A</math>라고 하고, 직선 <math>PA</math> 위의 점 <math>O</math>를 중심으로 하고 <math>A</math>를 지나는 원 <math>\Gamma</math>가 직선 <math>PA</math>와 두 점 <math>A,B</math>에서 만난다고 하자. 그렇다면, <math>\Gamma</math>에 대한 <math>P</math>의 방멱과 <math>\Gamma</math>의 지름의 비의 절댓값은
:<math>\left|\frac{OP^2-r^2}{2r}\right|=\frac{|OP+r||OP-r|}{2r}=\frac{PA\cdot PB}{AB}</math>
이다. <math>A</math>가 고정되고 <math>O</math>와 <math>B</math>가 <math>A</math>에서 무한히 멀어질 때, <math>PB</math>와 <math>AB</math>의 비는 1로 수렴하므로, 방멱과 지름의 비의 극한은 <math>PA</math>로 수렴한다. 따라서, 직선 <math>l</math>과 점 <math>P</math> 사이의 거리
:<math>d(P,l)</math>
을 '방멱과 지름의 비의 절댓값'으로 삼을 수 있다.<ref name="Johnson" />{{rp|30, §43}}

== 성질 ==
평면 위에서 원 <math>\Gamma</math>와 점 <math>P</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면,
* <math>P</math>가 <math>\Gamma</math> 내부의 점일 필요충분조건은 <math>\Gamma</math>에 대한 <math>P</math>의 방멱이 양수인 것이다.
* <math>P</math>가 <math>\Gamma</math> 위의 점일 필요충분조건은 <math>\Gamma</math>에 대한 <math>P</math>의 방멱이 0인 것이다.
* <math>P</math>가 <math>\Gamma</math> 외부의 점일 필요충분조건은 <math>\Gamma</math>에 대한 <math>P</math>의 방멱이 음수인 것이다.

평면 위에서 중심이 <math>O</math>이고 반지름이 <math>r</math>인 원 <math>\Gamma</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, <math>\Gamma</math>에 대한 방멱이 <math>k</math>인 점들의 집합은 <math>k>-r^2</math>일 경우 중심이 <math>O</math>이고 반지름이 <math>\sqrt{r^2+k}</math>인 원이며, <math>k=-r^2</math>일 경우 점원 <math>O</math>이며, <math>k<-r^2</math>일 경우 공집합이다.<ref name="Johnson" />{{rp|30, §44}}

평면 위에서 [[동심원]]이 아닌 두 원 <math>\Gamma,\Gamma'</math>에 대한 방멱이 같은 점들의 집합은 [[직선]]을 이룬다. 이를 두 원 <math>\Gamma,\Gamma'</math>의 '''[[근축]]'''이라고 부른다.

=== 방멱 정리 ===
평면 위에서 점 <math>P</math>를 지나는 직선이 원 <math>\Gamma</math>와 (같을 수 있는) 두 점 <math>A,B</math>에서 만나며, <math>P</math>를 지나는 또 다른 직선이 <math>\Gamma</math>와 (같을 수 있는) 두 점 <math>C,D</math>에서 만난다고 하자. '''방멱 정리'''(方冪定理, {{llang|en|power theorem}})에 따르면, 다음이 성립한다.<ref name="Coxeter">{{서적 인용
|성1=Coxeter
|이름1=H. S. M.
|저자링크1=해럴드 스콧 맥도널드 콕서터
|성2=Greitzer
|이름2=S. L.
|기타=Buehler, George H. 삽화
|제목=Geometry Revisited
|언어=en
|출판사=Mathematical Association of America
|위치=Washington, D.C.
|날짜=1967
|isbn=0-88385-619-0
}}</ref>{{rp|28, §2.1, Theorem 2.11}}
:<math>\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB}=\overrightarrow{PC}\cdot\overrightarrow{PD}</math>
여기서 <math>\cdot</math>은 벡터의 [[스칼라곱]]이다. 특히, 한 직선이 <math>O</math>를 지나도록 하면 이 스칼라곱은 방멱임을 알 수 있다. 이에 따라, <math>\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB}</math>는 직선 <math>PAB</math>의 선택과 무관하다. 방멱 정리는 흔히 원 <math>C</math>에 대한 점 <math>P</math>의 상대적인 위치와 직선의 두 교점이 같은지 여부에 따라 다음과 같은 경우로 나뉘어 서술된다.

==== 두 현에 대한 방멱 정리 ====
원 <math>\Gamma</math>의 두 [[현 (기하학)|현]] <math>AB</math>와 <math>CD</math>가 <math>\Gamma</math> 내부의 점 <math>P</math>에서 만난다고 하자. 그렇다면,
:<math>PA\cdot PB=PC\cdot PD</math>
이다. 특히, 이는 <math>\Gamma</math>에 대한 <math>P</math>의 방멱의 −1배와 같다.
{{증명|각주=<ref name="Coxeter" />{{rp|28, §2.1}}}}
각 <math>\angle BAD</math>와 <math>\angle DCB</math>는 모두 호 <math>BD</math>에 대한 [[원주각]]이므로,
:<math>\angle BAD=\angle DCB</math>
이다. 각 <math>\angle APD</math>와 <math>\angle BPC</math>는 [[맞꼭지각]]이므로,
:<math>\angle APD=\angle BPC</math>
이다. 따라서, 삼각형 <math>\triangle PDA</math>와 <math>\triangle PBC</math>는 서로 [[닮음 (기하학)|닮음]]이며, 따라서
:<math>\frac{PA}{PC}=\frac{PD}{PB}</math>
이다.
{{증명 끝}}

==== 두 할선에 대한 방멱 정리 ====
원 <math>\Gamma</math>의 두 현 <math>AB</math>와 <math>CD</math>의 연장선이 <math>\Gamma</math> 외부의 점 <math>P</math>에서 만난다고 하자. 그렇다면,
:<math>PA\cdot PB=PC\cdot PD</math>
이다. 특히, 이는 <math>\Gamma</math>에 대한 <math>P</math>의 방멱과 같다.
{{증명|각주=<ref name="Coxeter" />{{rp|28, §2.1}}}}
편의상 <math>PA<PB</math>이고 <math>PC<PD</math>라고 하자. 그렇다면 각 <math>\angle ABC</math>와 <math>ADC</math>는 호 <math>AC</math>에 대한 원주각이므로,
:<math>\angle{ABC}=\angle{ADC}</math>
이다. 또한 삼각형 <math>\triangle PBC</math>와 <math>\triangle PDA</math>는 각 <math>\angle P</math>를 공유하므로, 서로 닮음이다. 따라서
:<math>\frac{PA}{PC}=\frac{PD}{PB}</math>
이다.
{{증명 끝}}

==== 할선과 접선에 대한 방멱 정리 ====
원 <math>\Gamma</math>의 현 <math>AB</math>의 연장선과 <math>\Gamma</math> 위의 점 <math>T</math>에서의 접선 <math>PT</math>가 <math>\Gamma</math> 외부의 점 <math>P</math>에서 만난다고 하자. 그렇다면,
:<math>PA\cdot PB=PT^2</math>
이다. 특히, 이는 <math>\Gamma</math>에 대한 <math>P</math>의 방멱과 같다.
{{증명|각주=<ref name="Coxeter" />{{rp|28, §2.1}}}}
편의상 <math>PA<PB</math>라고 하자. 그렇다면 각 <math>\angle PBT</math>와 <math>\angle PTA</math>는 각각 호 <math>AT</math>에 대한 원주각과 [[접현각]]이므로,
:<math>\angle PBT=\angle PTA</math>
이다. 또한 삼각형 <math>PBT</math>와 <math>PTA</math>는 각 <math>\angle P</math>를 공유하므로, 서로 닮음이다. 따라서
:<math>\frac{PA}{PT}=\frac{PT}{PB}</math>
이다.
{{증명 끝}}

=== 방멱 정리의 역 ===
반대로, 만약 직선 <math>AB</math>와 <math>CD</math>가 점 <math>P</math>에서 만나고,
:<math>\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB}=\overrightarrow{PC}\cdot\overrightarrow{PD}</math>
를 만족시킨다면, <math>A,B,C,D</math>는 [[공원점]]이다.<ref name="Johnson" />{{rp|30, §42}}
{{증명|각주=<ref name="Johnson" />{{rp|30, §42}}}}
편의상 <math>C</math>가 직선 <math>AB</math> 위의 점이 아니라고 하자. 점 <math>A,B,C</math>를 지나는 원 <math>\Gamma</math>가 직선 <math>CD</math>와 점 <math>D'</math>에서 만난다고 하자. 그렇다면, 방멱 정리에 의하여
:<math>\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB}=\overrightarrow{PC}\cdot\overrightarrow{PD'}</math>
이므로, <math>D=D'</math>이다.
{{증명 끝}}

=== 원의 직교와의 관계 ===
중심이 <math>O,O'</math>이고 반지름이 <math>r,r'</math>인 두 원 <math>\Gamma,\Gamma'</math>에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.
* <math>\Gamma</math>와 <math>\Gamma'</math>은 서로 [[직교]]한다. (즉, 교점에서의 [[접선]]이 서로 [[수직]]이다.)
* <math>\Gamma</math>에 대한 <math>O'</math>의 방멱은 <math>{r'}^2</math>이다.
* <math>\Gamma'</math>에 대한 <math>O</math>의 방멱은 <math>r^2</math>이다.

== 역사 ==
'방멱'이라는 개념은 [[스위스]]의 수학자 [[야코프 슈타이너]]가 처음 사용하였다.<ref name="Coxeter" />{{rp|30, §2.1}}

== 같이 보기 ==
* [[원 (기하학)|원]]
* [[현]]
* [[할선]]
* [[접선]]

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Degree of a point}}
* {{매스월드|id=CirclePower|title=Circle power}}

[[분류:유클리드 평면기하학]]
[[분류:해석기하학]]