받침 초평면 문서 원본 보기

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[[파일:Supporting hyperplane1.svg|오른쪽|섬네일|분홍색 [[볼록집합]] S를 받치는 받침 초평면]]
[[유클리드 기하학]]에서 '''받침 초평면'''(-超平面, {{llang|en|supporting hyperplane}})은 어떤 점들의 집합을 접하며, 집합 전체가 초평면의 어느 한 쪽에 속하게 하는 초평면이다. [[접선]]의 일반화이다.

== 정의 ==
[[유한 집합|유한]] [[차원]] [[유클리드 공간]]에서, [[여차원]]이 1인 [[초평면 (수학)|초평면]]은 항상 두 개의 반공간으로 [[공간]]을 나눈다. 유클리드 공간 <math>\mathbb R^n</math> 속의 집합 <math>S\subset\mathbb R^n</math>의 '''받침 초평면'''은 다음 두 조건을 만족시키는 <math>n-1</math>차원 초평면
:<math>P=\{\mathbf x\in\mathbb R^n\colon\mathbf x\cdot\mathbf a=c\}\quad(\mathbf a\in\mathbb R^n\setminus\{\mathbf0\},\;c\in\mathbb R)</math>
이다.<ref>Serge Lang, 정자아 역, 《선형대수학》, 경문사, 2004</ref>{{rp|333}}
* S는 초평면에 의해 결정되는 두 개의 닫힌 반공간 중 하나에 완전히 포함된다. 즉, <math>\mathbf s\cdot\mathbf a\ge c\forall\mathbf s\in S</math>이거나 <math>\mathbf s\cdot\mathbf a\le c\forall\mathbf s\in S</math>이다.
* S는 초평면과 적어도 하나의 교점을 갖는다. 즉, <math>S\cap P\ne\varnothing</math>이다.

여기서 닫힌 반공간은 초평면에 의해 분리된 두 반공간의 [[폐포 (위상수학)|폐포]]로, 초평면을 포함한다.

== 받침 초평면 정리 ==
[[파일:Supporting hyperplane2.svg|오른쪽|섬네일|유일하지 않은 받침 초평면.]]
받침 초평면이 존재할 [[충분조건]]은 다음의 '''받침 초평면 정리'''(-超平面定理, {{llang|en|supporting hyperplane theorem}})로 주어진다.

* (유한 차원) [[유클리드 공간]]에서 S를 [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[볼록집합]]이라 하자. 그러면, S의 임의의 [[경계 (위상수학)|경계]]점 a에 대해 a를 포함하는 받침 초평면이 존재한다.

일반적으로 이 받침 초평면은 오른쪽 그림에서처럼 유일하지 않다. 다만 특정한 [[매끄러운 다양체]]라는 조건을 주면 유일하게 잡을 수 있다.

== 각주 ==
{{각주}}

== 같이 보기 ==
* [[초평면]]
* [[접선]]

{{전거 통제}}

[[분류:유클리드 기하학]]
[[분류:볼록기하학]]