반 더시터르 공간 문서 원본 보기

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'''반 더시터르 공간'''(反 de Sitter 空間, {{llang|en|anti–de Sitter space}}, 기호 AdS)은 최대 대칭적({{lang|en|maximally symmetric}})이고, 음의 [[스칼라 곡률]]을 갖는 [[로런츠 다양체]]다. [[쌍곡공간]]을 임의의 [[계량 부호수|부호수]]에 대하여 일반화한 것이다. ([[더시터르 공간]]은 최대대칭적이고 양의 스칼라 곡률을 갖는 다양체다.) [[빌럼 더시터르]]의 이름을 땄다.

반 더시터르 공간은 음의 [[우주상수]]를 가지는 [[일반 상대성 이론]]의 진공해를 이루며, 또 [[끈 이론]]에서 [[AdS/CFT 대응성]]에 중요한 역할을 한다.

== 정의 ==
[[계량 부호수|부호수]]가 <math>(p,q)</math>인 반 더시터르 공간은 부호수가 <math>(p,q+1)</math>인 [[민코프스키 공간]]에 국소적 [[등거리사상|등거리]] [[묻기]]가 가능하다. <math>(p,q+1)</math>-민코프스키 공간의 [[계량 텐서|계량 형식]]은
:<math>ds^2 = \sum_{i=1}^p dx_i^2 - \sum_{j=1}^{q+1} dt_j^2</math>
이다. 이 때, '''반 더시터르 공간'''은 다음 식을 만족하는 [[부분공간]]으로 정의할 수 있다.
:<math>\sum_{i=1}^p x_i^2 - \sum_{j=1}^{q+1} t_j^2 = -\alpha^2</math>
여기서 <math>\alpha>0</math>는 양의 실수로, '''반 더시터르 반지름'''({{llang|en|anti-de Sitter radius}})이라고 불린다. 즉, 반 더시터르 공간은 민코프스키 공간에서의 [[구 (기하학)|구]]이다. 이 때, <math>q=0</math>이면 이는 일반적인 [[쌍곡공간]]이 된다.

<math>q\ge1</math>인 경우, 이 등거리묻기를 전역적으로 생각하여 정의한 부분공간은 시간꼴 폐곡선을 지닌다. <math>q=1</math>인 경우, 이는 [[범피복 공간]]을 취하여 시간꼴 폐곡선을 없앨 수 있다. (<math>q>1</math>인 경우는 그렇지 않다.) 시간꼴 폐곡선은 물리학적으로 역설적이므로, 일반적으로 물리학에서 "반더시터르 공간"이라면 [[범피복 공간]]을 취한 경우를 일컫는다.

반 더시터르 공간은 [[범피복 공간]]을 취하지 않은 경우 등거리변환군이 <math>O(p,q+1)</math>이다. [[범피복 공간]]을 취하였다면, 등거리변환군은 <math>O(p,q+1)</math>의 어떤 피복군이 된다.

== 성질 ==
<math>d</math>차원 (로런츠 [[계량 부호수]]) 반 더시터르 공간의 [[리만 곡률]]은 다음과 같다. (<math>-++\dotsb +</math> 부호수를 사용한다.)
:<math>R_{\mu\nu\rho\sigma}=\alpha^{-2}(g_{\mu\sigma}g_{\nu\rho}-g_{\mu\rho}g_{\nu\sigma})</math>
따라서 [[리치 곡률]]과 [[스칼라 곡률]]은 다음과 같다.
:<math>R_{\mu\nu}=-(d-1)\alpha^{-2}g_{\mu\nu}</math>
:<math>R=-d(d-1)\alpha^{-2}</math>.
이로부터 반 더시터르 공간은 [[우주 상수]]
:<math>\Lambda=-\frac12(d-1)(d-2)\alpha^{-2}</math>
인 [[아인슈타인 방정식]]의 해임을 알 수 있다.

=== 등각 경계 ===
반 더시터르 공간은 시간꼴(timelike) '''등각 경계'''({{llang|en|conformal boundary}})를 가진다. ''n''차원 반 더시터르 공간의 등각 경계는 위상수학적으로 <math>S^{n-1}\times S^1</math>이고,<ref>{{저널 인용|arxiv=hep-th/0512182|title=Anti-de Sitter boundary in Poincare coordinates|doi=10.1007/s10714-007-0446-y|bibcode=2007GReGr..39.1367B|issn=0001-7701|저널=General Relativity and Gravitation|권=39|호=9|쪽=1367–1379|날짜=2007-09|이름=C. A.|성=Ballón Bayona|공저자=Nelson R. F. Braga|언어=en}}</ref><ref>{{저널 인용|
제목=Introduction to the Maldacena Conjecture on AdS/CFT
|이름=Jens Lyng|성=Petersen|doi=10.1142/S0217751X99001676|bibcode=1999IJMPA..14.3597P|arxiv=hep-th/9902131|저널=International Journal of Modern Physics A|권=14|호=23|쪽=3597–3672|날짜=1999-09-20|issn=0217-751X|언어=en}}</ref> [[범피복 공간]]을 취하였을 경우 위상수학적으로 <math>S^{n-1}\times\mathbb R</math>이다. 등각 경계가 시간꼴이므로, 반 더시터르 공간은 [[코시 곡면]](Cauchy surface)을 가지지 않는다. 즉, 주어진 시간에 초기 조건을 부여하더라도, 등각 경계에 [[경계 조건]]을 부여하지 않으면 [[초기값 문제]]를 풀 수 없다.

특히, [[빛의 속력]]의 입자는 반 더시터르 공간의 등각 경계에 유한 시간 안에 도달할 수 있다. 정적 좌표계를 사용하고, 입자의 궤적이 <math>r(t)</math>라고 하자. 입자가 빛의 속력으로 움직이므로
:<math>0=ds^2=-(r^2/\alpha^2+1)dt^2+(r^2/\alpha^2+1)^{-1}dr^2</math>
이고, 따라서
:<math>t(r)=\int\frac{dr}{1+r^2/\alpha^2}=\alpha\arctan(r/\alpha)</math>
이다. 즉,
:<math>r(t)=\alpha\tan(t/\alpha)</math>
이다. 원점 <math>r=0</math>에서 등각 경계 <math>r=\infty</math>에 도달하기 위해 필요한 시간은
:<math>t=\frac\pi2\alpha</math>
임을 알 수 있다.

반 더시터르 공간의 '''푸앵카레 조각'''({{llang|en|Poincaré patch}})은 푸앵카레 좌표계로 나타낼 수 있는 부분공간이다. 푸앵카레 조각의 등각 경계는 ''n''&minus;1차원 [[민코프스키 공간]]이며, AdS<sub>''n''</sub>의 등거리사상군 SO(''n''&minus;1,2)는 이 민코프스키 공간의 [[등각변환|등각변환군]]으로 작용한다. 이는 [[AdS/CFT 대응성]]에 핵심적인 역할을 한다.

== 좌표계 ==
반 더시터르 공간에는 여러 좌표계를 정의할 수 있다. 흔히 쓰이는 것들은 다음과 같다.

=== 푸앵카레 좌표계 ===
[[파일:AdS A.PNG|섬네일|right|반 더시터르 공간(의 [[범피복 공간]])의 형상화. 반 더시터르 공간은 원기둥의 내부에 해당하고, 그 등각 경계는 원기둥의 표면이다. 푸앵카레 조각은 녹색으로 칠해진 부분이다. 푸앵카레 조각의 표면은 마름모꼴인데, 이는 [[민코프스키 공간]]의 [[펜로즈 그림]]에 해당한다.]]
'''푸앵카레 좌표계'''({{llang|en|Poincaré coordinates}})를 사용하면 AdS<sub>''n''</sub>의 [[계량 텐서]]는 다음과 같다.
:<math>ds^2=\frac{\alpha^2}{z^2}\left(-dt^2+dz^2+\sum_{i=1}^{n-2}(dx^i)^2\right)</math>
반 더시터르 공간의 경계는 <math>z=0</math>에 위치해 있다.

푸앵카레 좌표계는 반 더시터르 공간의 전체를 덮지 않는다. 하나의 푸앵카레 좌표계로 나타낼 수 있는 부분공간을 '''푸앵카레 조각'''({{llang|en|Poincaré patch}})이라고 한다. [[범피복 공간]]을 취하지 않았을 경우 반 더시터르 공간은 두 개의 푸앵카레 조각으로 이루어진다.

=== 정적 좌표계 ===
'''정적 좌표계'''({{llang|en|static coordinates}})를 사용하면 AdS<sub>''n''</sub>의 [[계량 텐서]]는 다음과 같다.
:<math>ds^2=-(r^2/\alpha^2+1)dt^2+(r^2/\alpha^2+1)^{-1}dr^2+r^2d\Omega_{n-2}^2</math>
반 더시터르 공간의 경계는 <math>r=\infty</math>에 위치해 있다. 이 좌표계는 반 더시터르 공간 전체를 덮는다.

=== 동시 좌표계 ===
'''동시 좌표계'''({{llang|en|synchronous coordinate}})를 통해, 반 더시터르 공간 AdS<sub>''n''</sub>을 [[쌍곡공간]] ''H''<sub>''n''&minus;1</sub>로 [[엽층]]을 줄 수 있다. 이는 [[FLRW 계량]]의 특수한 경우다.
:<math>ds^2=-dt^2+\alpha^2\sin^2(t/\alpha)\left(ds^2+(\sinh^2s)d\Omega_{n-2}^2\right)</math>
::<math>=-dt^2+\alpha^2\sin^2(t/\alpha)\left(\frac{dr^2}{1+r^2/\alpha^2}+r^2d\Omega_{n-2}^2\right)</math>
이 좌표계는 반 더시터르 공간의 일부만을 덮는다.

== 반 더시터르 공간 위에서의 양자장론 ==
반 더시터르 공간에서의 [[양자장론]]은 [[민코프스키 공간]]이나 [[더시터르 공간]]과 구별되는 여러 다른 특성을 가진다.

=== 초대칭 ===
[[더시터르 공간]]에서는 [[초대칭]]이 존재할 수 없다. 그러나 반 더시터르 공간과 [[민코프스키 공간]]에서는 초대칭이 존재할 수 있다.<ref>{{서적 인용|장=Anti-de Sitter supersymmetry|이름=Bernard|성=de Wit|공저자=Ivan Herger|arxiv=hep-th/9908005|bibcode=2000LNP...541...79D|제목=Towards Quantum Gravity. Proceedings of the XXXV International Winter School on Theoretical Physics Held in Polanica, Poland, 2–11 February 1999|기타=Lecture Notes in Physics 541|출판사=Springer|날짜=2000|쪽=79–100|doi=10.1007/3-540-46634-7_4|언어=en}}</ref><ref>{{저널 인용|언어=en|arxiv=hep-th/9808100|이름=Michael J.|성=Duff|저자링크=마이클 제임스 더프 |}doi=10.1142/S0217751X99000403|bibcode=1999IJMPA..14..815D|저널=International Journal of Modern Physics A|권=14|호=6|쪽=815–843|날짜=1999-03-10|issn= 0217-751X|제목=
Anti-de Sitter space, branes, singletons, superconformal field theories and all that}}</ref> 반 더시터르 공간에서는 민코프스키 공간에서 존재하지 않는 [[초다중항]]이 있는데, 이들을 '''일중항'''({{llang|en|singlet}}) 표현이라고 한다.

특히, 다음과 같은 차원에서는 32개의 초전하를 가지는 [[초대칭]]이 존재하며, 이 경우 일중항 표현은 다음과 같다.
{| class="wikitable"
|-
! 공간 !! 초군(supergroup) !! 초군의 보손 부분군 !! 대응하는 막 !! 일중항
|-
| AdS<sub>4</sub>×S<sup>7</sup> || OSp(8&#124;4) || SO(3,2)×SO(8) || [[M이론|M2-막]] || 스칼라 (×8), 스피너 (×8)
|-
| AdS<sub>5</sub>×S<sup>5</sup> || PSU(2,2&#124;4) || SO(4,2)×SO(6) || [[D-막|D3-막]] || 벡터 (×1), 스피너 (×4), 스칼라 (×6)
|-
| AdS<sub>7</sub>×S<sup>4</sup> || OSp(6,2&#124;4) || SO(6,2)×SO(5) || [[M이론|M5-막]] || 손지기(chiral) 2차 [[미분형식]] (×2), 스피너 (×8), 스칼라 (×5)
|}
이 기하학들은 [[끈 이론]] 또는 [[M이론]]에서 존재하는 막들의 [[사건 지평선]] 근처 기하학으로 얻을 수 있다. 위 표에서 "대응하는 막"은 이 막을 일컫는다. 이들은 [[AdS/CFT 대응성]]에서 중요한 역할을 한다.

=== 음수 제곱 질량 ===
민코프스키 공간에서는 [[불변 질량]]의 제곱 <math>m^2</math>이 항상 음이 아닌 실수이어야 한다. 제곱 질량이 음수인 경우는 [[타키온]]이라고 하며, 이는 [[진공]]의 불안정성을 나타낸다. 즉, 이러한 경우는 진공이 더 안정한, 타키온을 포함하지 않는 진공으로 붕괴하게 된다. 반면 반 더시터르 공간에서는 제곱 질량이 음수인 경우가 가능하다. 즉, <math>d</math>차원 반 더시터르 공간에서는 제곱 질량이
:<math>m^2\ge-\frac{(d-1)^2\hbar^2c^2}{4\alpha^2}</math>
을 만족하면 일관적인 이론을 정의할 수 있다.<ref>{{저널 인용|제목=Large ''N'' field theories, string theory and gravity|이름=Ofer|성=Aharony|공저자=Steven S. Gubser, [[후안 말다세나|Juan Maldacena]], Hirosi Ooguri, Yaron Oz|arxiv=hep-th/9905111|bibcode=1999PhR...323..183A|저널=Physics Reports|권=323|호=3–4|쪽=183–386|doi=10.1016/S0370-1573(99)00083-6|날짜=2000-01|언어=en}}</ref> 이 부등식을 브라이텐로너-프리드먼 하한({{lang|en|Breitenlohner–Freedman bound}})이라고 하고, 페터 브라이텐로너({{llang|de|Peter Breitenlohner}})와 대니얼 프리드먼({{llang|en|Daniel Z. Freedman}})이 1982년에 발견하였다.<ref>{{저널 인용|이름=Peter|성=Breitenlohner|공저자=Daniel Z. Freedman|제목=Positive energy in anti–de Sitter backgrounds and gauged extended supergravity|저널=Physics Letters B|권=115|호=3|날짜=1982-09-02|쪽=197–201|bibcode=1982PhLB..115..197B|doi=10.1016/0370-2693(82)90643-8|언어=en}}</ref><ref>{{저널 인용|이름=Peter|성=Breitenlohner|공저자=Daniel Z. Freedman|제목=Stability in gauged extended supergravity|저널=Annals of Physics|권=144|호=2|날짜=1982-12|쪽=249–281|bibcode=1982AnPhy.144..249B|doi=10.1016/0003-4916(82)90116-6|언어=en}}</ref> 만약
:<math>-(d-1)^2/4\le m^2c^2/\hbar^2\le 1-(d-1)^2/4</math>
인 경우 자유 스칼라장을 [[경계 조건]]에 따라 서로 다른 두 가지 방법으로 [[양자화 (물리학)|양자화]]할 수 있다. (<math>m^2>1-(d-1)^2/4</math>라면 양자화는 유일하다.)

반 더시터르 공간에서 음수 제곱 질량이 가능하다는 사실은 [[AdS/CFT 대응성]]에서 중요한 역할을 한다.

=== 블랙홀과 열역학 ===
반 더시터르 공간은 [[더시터르 공간]]과 달리 유한한 [[온도]]를 가지지 않는다.<ref name="HawkingPage">{{저널 인용|이름=Stephen W.|성=Hawking|저자링크=스티븐 호킹|공저자=Don N. Page|제목=Thermodynamics of black holes in anti-de Sitter space|저널=Communications in Mathematical Physics|권=87|호=4|쪽=577–588|mr=0691045|url=http://projecteuclid.org/DPubS/Repository/1.0/Disseminate?view=body&id=pdf_1&handle=euclid.cmp/1103922135|issn=0010-3616|doi=10.1007/BF01208266|bibcode=1982CMaPh..87..577H|언어=en|날짜=1983-12}}</ref>{{rp|579}}

반 더시터르 공간 속에 존재하는 [[블랙홀]]은 최소 온도를 가진다.<ref name="HawkingPage"/> 이 온도는 대략
:<math>T_0\sim\frac{\hbar c}{k_B\alpha}</math>
이다.

== 각주 ==
{{각주}}
* {{서적 인용|장=Anti-de-Sitter spacetime and its uses|이름=Gary W.|성=Gibbons|저자링크=게리 기번스|arxiv=1110.1206|bibcode=2011arXiv1110.1206G|doi=10.1007/3-540-46671-1_5|제목=Mathematical and Quantum Aspects of Relativity and Cosmology: Proceeding of the Second Samos Meeting on Cosmology, Geometry and Relativity Held at Pythagoreon, Samos, Greece, 31 August–4 September 1998|url=https://archive.org/details/springer_10.1007-3-540-46671-1|출판사=Springer|쪽=[https://archive.org/details/springer_10.1007-3-540-46671-1/page/n110 102]–142|날짜=2000|isbn=978-3-540-66865-7|기타=Lecture Notes in Physics 537|언어=en}}
* {{서적 인용|제목=Einstein, 1905–2005. Poincaré Seminar 2005|기타=Progress in Mathematical Physics 47|장=The de Sitter and anti-de Sitter sightseeing tour|url=http://www.bourbaphy.fr/moschella.pdf|이름=Ugo|성=Moschella|쪽=120–133|doi=10.1007/3-7643-7436-5_4|isbn=978-3-7643-7435-8|날짜=2006|출판사=Springer|언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Anti-de Sitter space}}
* {{nlab|id=anti de Sitter spacetime|title=Anti de Sitter spacetime}}
* {{nlab|id=anti de Sitter group|title=Anti de Sitter group}}

== 같이 보기 ==
* [[더시터르 공간]]
* [[등각 장론]]
* [[AdS/CFT 대응성]]

[[분류:일반 상대성 이론의 엄밀해]]
[[분류:미분기하학]]