반직접곱 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[군론]]에서 '''반직접곱'''(半直接-, {{llang|en|semidirect product}}) 또는 '''반직적'''(半直積)은 두 [[군 (수학)|군]]의 [[곱집합]]에 군의 구조를 부여하는 한 방법이다. 두 군의 [[직접곱]]을 일반화한 개념이다.

== 정의 ==
<math>N</math>과 <math>H</math>가 [[군 (수학)|군]]이라고 하자. <math>\operatorname{Aut}(N)</math>이 <math>N</math>의 [[자기동형사상군]]이라고 하고, <math>\phi\colon H\to\operatorname{Aut}(N)</math>이 [[군 준동형]]이라고 하자. 즉, <math>H</math>는 <math>\phi</math>를 통해 <math>N</math> 위에 [[군의 작용|작용]]한다. 그렇다면 [[곱집합]] <math>N\times H</math>에 다음과 같은 곱셈 연산을 정의하자.
:<math>(n_1,h_1)\cdot(n_2,h_2)=(n_1\phi_{h_1}(n_2),h_1h_2)</math>
이 연산은 [[군 (수학)|군]]의 공리를 만족한다는 것을 확인할 수 있다. 집합 <math>N\times H</math>에 이 연산을 가진 구조를 <math>N</math>과 <math>H</math>의 <math>\phi</math>를 통한 '''반직접곱''' <math>N\rtimes_\phi H</math>라고 한다.

== 성질 ==
<math>G=N\rtimes H</math>라고 하자. 이 경우 다음과 같은 [[짧은 완전열]]이 존재한다.
:<math>1\to N\to G\to H\to1</math>.
즉, <math>H=G/N</math>이다.

반면, 그 역은 성립하지 않는다. 일반적으로 짧은 완전열이 존재하더라도 이를 항상 반직접곱으로 나타낼 수 있지는 않다. 예를 들어
:<math>1\to\mathbb Z_2\to\mathbb Z_4\to\mathbb Z_2\to1</math>
을 생각해 보자. <math>\operatorname{Aut}(\mathbb Z_2)=1</math>이므로, 반직접곱 <math>\mathbb Z_2\rtimes\mathbb Z_2</math>은 항상 [[직접곱]] <math>\mathbb Z_2\times\mathbb Z_2</math>밖에 존재하지 않는다. 그러나 물론 <math>\mathbb Z_4\ne\mathbb Z_2\times\mathbb Z_2</math>이다.

=== 충분 조건 ===
'''슈어-차센하우스 정리'''({{llang|en|Schur–Zassenhaus theorem}})에 따르면, 만약 유한군 <math>G</math> 및 정규 부분군 <math>N</math>이 주어졌고, 만약 <math>|N|</math>과 <math>|G/N|</math>이 [[서로소 정수|서로소]]라면 (즉, <math>N</math>이 [[홀 부분군]]이라면), <math>G</math>는 <math>N</math>과 <math>G/N</math>의 반직접곱이다. 이는 [[이사이 슈어]]와 [[한스 차센하우스]]가 증명하였다.

== 같이 보기 ==
* [[분할 완전열]]
* [[직접곱]]

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Semi-direct product}}
* {{매스월드|id=SemidirectProduct|title=Semidirect product}}
* {{수학노트|title=반직접곱 (semidirect product)}}

{{전거 통제}}

[[분류:군론]]