반직선 유군 문서 원본 보기

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[[유체론]]에서 '''반직선 유군'''(半直線類群, {{llang|en|ray class group}})은 임의의 [[모듈러스 (수론)|모듈러스]]에 대한, [[아이디얼 유군]]의 일반화이다. [[대수적 수체]]의 [[아벨 확대]]에서의 [[분기화]] 현상을 나타낸다.

== 정의 ==
[[대수적 수체]] <math>K</math> 위의 [[모듈러스 (수론)|모듈러스]] <math>\mathfrak m</math>이 주어졌다고 하자. <math>K</math>의 <math>\mathfrak m</math>에 대한 '''반직선'''({{llang|en|ray}})은
:<math>K_{\mathfrak m,1}=\{a\in K^\times\colon a\equiv1\pmod{\mathfrak m}\}</math>
이다. 이는 곱셈에 대하여 [[아벨 군]]을 이룬다.

<math>I^{\mathfrak m}</math>이 <math>\mathfrak m</math>과 서로소인 [[소 아이디얼]]들로 생성되는 [[분수 아이디얼]]들의 [[아벨 군]]이라고 하자. 즉,
:<math>\mathfrak a/\mathfrak b\qquad(\mathfrak p\mid\mathfrak m\implies \mathfrak p\nmid \mathfrak a,\mathfrak b)</math>
의 꼴의 분수 아이디얼들로 구성된 [[아벨 군]]이다. [[주 아이디얼]] 사상 <math>i\colon a\mapsto(a)</math>은 [[군 준동형]]
:<math>i\colon K_{\mathfrak m,1}\to I^{\mathfrak m}</math>
을 정의한다. <math>K</math>의 <math>M</math>에 대한 '''반직선 유군'''은 [[몫군]]
:<math>\operatorname{Cl}\mathcal o_{\mathfrak m}=I^{\mathfrak m}/i(K_{\mathfrak m})</math>
이며, '''반직선류'''(半直線類, {{llang|en|ray class}})는 반직선 유군의 원소이다.

== 이델 유군과의 관계 ==
[[대수적 수체]] <math>K</math> 및 그 모듈러스 <math>\mathfrak m</math>에 대하여, [[이델 군]] <math>\mathbb A_K^\times</math>의 다음과 같은 부분군을 생각하자.
:<math>U_{\mathfrak m}=\prod_pU_p</math>
여기서
* <math>p</math>가 [[복소 자리]]라면, <math>U_p=\mathbb C^\times</math>
* <math>p</math>가 [[실수 자리]]이며 <math>p\in\mathfrak m_\infty</math>라면, <math>U_p=\mathbb R^+</math>
* <math>p</math>가 [[실수 자리]]이며 <math>p\not\in\mathfrak m_\infty</math>라면, <math>U_p=\mathbb R^\times</math>
* <math>p</math>가 [[유한 자리]]이며 <math>p\nmid\mathfrak m_0</math>라면, <math>U_p=\mathcal o_{K_p}^\times</math> (<math>K_p</math>는 <math>K</math>의 <math>p</math>에서의 완비화)
* <math>p</math>가 [[유한 자리]]이며 <math>p^n\mid\mathfrak m_0</math>이지만 <math>p^{n+1}\nmid\mathfrak m_0</math>라면, <math>U_p=1+\mathfrak p^n\subset\mathcal o_{K_p}^\times</math> (<math>\mathfrak p</math>는 [[이산 값매김환]] <math>\mathcal o_{K_p}</math>의 유일한 [[극대 아이디얼]])
[[이델 유군]] <math>C_K</math>는 대각 사상 <math>i\colon K^\times\hookrightarrow\mathbb A_K^\times</math>의 상에 대한 [[몫군]] <math>C_K=\mathbb A_K^\times/i(K^\times)</math>인데, <math>U_{\mathfrak m}'=i(U_{\mathfrak m})</math>이라고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 표준적인 군 동형이 존재한다.
:<math>\operatorname{Cl}_{\mathfrak m}\mathcal o_K\cong C_K/U_{\mathfrak m}'</math>

== 예 ==
[[대수적 수체]] <math>K</math>에 대하여, 자명한 [[모듈러스 (수론)|모듈러스]] <math>\mathfrak m=1</math>에 대한 반직선류군은 [[아이디얼 유군]] <math>\operatorname{Cl}\mathcal o_K</math>이다.

[[유리수체]] <math>\mathbb Q</math> 및 양의 정수 <math>m</math>에 대하여, 유한 모듈러스 <math>(m)</math>에 대한 반직선류군은 [[가역원군]]의 몫군
:<math>\operatorname{Cl}_{(m)}\mathbb Z\cong(\mathbb Z/(m))^\times/\{\pm1\}</math>
이며, 모듈러스 <math>(m)\infty</math>에 대한 반직선류군은 [[가역원군]]
:<math>\operatorname{Cl}_{(m)\infty}\mathbb Z\cong(\mathbb Z/(m))^\times</math>
이다.

== 참고 문헌 ==
*{{서적 인용
| last=Cohn
| first=Harvey
| title=Introduction to the construction of class fields
| series=Cambridge studies in advanced mathematics
| volume=6
| publisher=Cambridge University Press
| 날짜=1985
| isbn=978-0-521-24762-7
| 언어=en
}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Modulus in algebraic number theory}}

== 같이 보기 ==
* [[모듈러스 (수론)]]
* [[아이디얼 유군]]
* [[이델 유군]]

{{전거 통제}}

[[분류:유체론]]