반소 아이디얼 문서 원본 보기

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[[환론]]에서 '''반소 아이디얼'''(半素ideal, {{llang|en|semiprime ideal}})은 [[소 아이디얼]]들의 [[교집합]]이다. 주어진 [[양쪽 아이디얼]]을 포함하는 최소의 반소 아이디얼을 그 '''소근기'''(素根基, {{llang|en|prime radical}})라고 한다.

== 정의 ==
=== 소근기 ===
[[환 (수학)|환]] <math>R</math> 속의 [[양쪽 아이디얼]] <math>\mathfrak a\subseteq R</math>의 '''소근기'''(素根基, {{llang|en|prime radical}}) 또는 단순히 '''근기'''(根基, {{llang|en|radical}}) <math>\sqrt{\mathfrak a}</math>는 이를 포함하는 모든 [[소 아이디얼]]들의 [[교집합]]이다.<ref name="Lam">{{서적 인용|제목=A first course in noncommutative rings|성 = Lam|이름=Tsit-Yuen|저자링크=람짓윈 | 출판사=Springer|날짜 = 2001|isbn =978-0-387-95183-6|doi=10.1007/978-1-4419-8616-0|총서=Graduate Texts in Mathematics|권=131|issn=0072-5285|판=2|언어=en}}</ref>{{rp|156, Theorem 10.7}} 즉, 다음과 같은 [[양쪽 아이디얼]]이다.
:<math>\sqrt{\mathfrak a}=\bigcap\{\mathfrak p\in\operatorname{Spec}R\colon\mathfrak a\subseteq\mathfrak p\}
\subseteq\{r\in R\colon\exists n\in\mathbb Z^+\colon r^n\in\mathfrak a\}</math>
여기서 <math>\operatorname{Spec}R</math>는 <math>R</math>의 [[소 아이디얼]]들의 [[집합]]이다. [[양쪽 아이디얼]]의 소근기는 이는 항상 반소 아이디얼이며, <math>\mathfrak a</math>를 포함하는 최소의 반소 아이디얼이다. (이 개념은 [[가군의 근기]]와 다른 개념이다.)

==== 가환환의 경우 ====
[[가환환]]의 경우, 다음 집합들이 모두 일치한다.
* <math>\sqrt{\mathfrak a}</math>
* <math>\{r\in R|\exists n\in\mathbb Z^+\colon r^n\in\mathfrak a\}</math>. 즉, 충분히 거듭제곱하면 <math>\mathfrak a</math>의 원소가 되는 것들의 집합이다.
* <math>R/\mathfrak a</math>의 [[멱영원]]들의 집합 <math>N</math>에 대하여, <math>\{r\in R\colon [r]\in N\}</math>. 즉, [[몫환]]에서 [[멱영원]]이 되는 것들의 집합이다.
[[가환환]]의 아이디얼의 소근기는 [[자리스키 위상]]의 [[폐포 (위상수학)|폐포]] 연산자와 같다.

=== 반소 아이디얼 ===
[[환 (수학)|환]] <math>R</math> 속의 [[양쪽 아이디얼]] <math>\mathfrak a\subseteq R</math>에 대하여 다음 조건들이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 [[양쪽 아이디얼]]을 '''반소 아이디얼'''(半素ideal, {{llang|en|semiprime ideal}}) 또는 '''근기 아이디얼'''(根基ideal, {{llang|en|radical ideal}})이라고 한다.
* 임의의 [[양쪽 아이디얼]] <math>\mathfrak b\subseteq R</math>에 대하여, 만약 어떤 양의 정수 <math>n</math>에 대하여 <math>\mathfrak b^n\subseteq\mathfrak a</math>라면, <math>\mathfrak b\subseteq\mathfrak a</math>이다.<ref name="Lam"/>{{rp|157, Definition 10.8}}
* 임의의 [[왼쪽 아이디얼]] <math>B\subseteq R</math>에 대하여, 만약 어떤 양의 정수 <math>n</math>에 대하여 <math>B^n\subseteq\mathfrak a</math>라면, <math>\mathfrak b\subseteq\mathfrak a</math>이다.<ref name="Lam"/>{{rp|157, Proposition 10.9(4)}}
* 임의의 [[오른쪽 아이디얼]] <math>B\subseteq R</math>에 대하여, 만약 어떤 양의 정수 <math>n</math>에 대하여 <math>B^n\subseteq\mathfrak a</math>라면, <math>\mathfrak b\subseteq\mathfrak a</math>이다.<ref name="Lam"/>{{rp|157, Proposition 10.9(4)′}}
* 임의의 <math>r\in R</math>에 대하여, 만약 <math>rRr\subseteq\mathfrak a</math>라면 <math>r\in\mathfrak a</math>이다.<ref name="Lam"/>{{rp|157, Proposition 10.9(3)}}
* <math>R\setminus\mathfrak a</math>는 n-계를 이룬다.
* <math>\mathfrak a=\bigcap\mathcal P</math>인, [[소 아이디얼]]들의 집합 <math>\mathcal P\subseteq\operatorname{Spec}R</math>이 존재한다.<ref name="Lam"/>{{rp|157, Proposition 10.11(2)}}
* 스스로의 소근기와 같다. 즉, <math>\mathfrak a=\sqrt{\mathfrak a}</math>이다.<ref name="Lam"/>{{rp|157, Proposition 10.11(3)}}
여기서 <math>\operatorname{Spec}R</math>는 <math>R</math>의 [[소 아이디얼]]들의 집합이며, '''n-계'''({{llang|en|n-system}})란 다음 조건을 만족시키는 부분 집합 <math>S\subseteq R</math>이다.
:<math>\forall s\in S\exists r\in R\colon srs\in S</math>

==== 가환환의 경우 ====
[[가환환]] <math>R</math>의 [[아이디얼]] <math>\mathfrak a</math>에 대하여 다음 조건들이 서로 [[동치]]이다.
* 반소 아이디얼이다.
* 임의의 <math>r\in R</math> 및 양의 정수 <math>n\in\mathbb Z^+</math>에 대하여, 만약 <math>r^n\in\mathfrak a</math>라면 <math>r\in\mathfrak a</math>이다.
* 임의의 <math>r\in R\setminus\mathfrak a</math>에 대하여, <math>\{r,r^2,r^3,\dots\}\subseteq R\setminus\mathfrak a</math>이다.

== 성질 ==
[[환 (수학)|환]]의 [[양쪽 아이디얼]]에 대하여, 다음과 같은 함의 관계가 존재한다.
:[[완전 소 아이디얼]] ⊂ [[소 아이디얼]] ⊂ 반소 아이디얼 ⊂ [[양쪽 아이디얼]]

[[가환환]]의 [[아이디얼]]에 대하여, 다음과 같은 함의 관계가 존재한다.
:{| style="text-align: center"
|-
| [[극대 아이디얼]] ⊂ [[완전 소 아이디얼]] = || [[소 아이디얼]] || ⊂ || 반소 아이디얼
|-
| || ∩ || || ∩
|-
| || [[으뜸 아이디얼]] || ⊂ || [[아이디얼]]
|}
사실, [[가환환]]의 [[아이디얼]]의 경우 [[소 아이디얼]]인 것은 [[으뜸 아이디얼]]이자 반소 아이디얼인 것과 [[동치]]이다.

[[영 아이디얼]]의 소근기 <math>\sqrt{(0)}</math>는 '''[[하영근기]]''' 또는 ([[가환환]]의 경우) 단순히 '''[[영근기]]'''라고 하며, 가환환의 경우 이는 [[멱영원]]들의 집합과 같다.

영 아이디얼이 반소 아이디얼인 [[환 (수학)|환]]을 '''[[반소환]]'''이라고 하며, [[가환환]]의 경우 이는 '''[[축소환]]'''인 것과 [[동치]]이다.

== 예 ==
=== 정수환 ===
[[정수환]] <math>\mathbb Z</math>에서, <math>(n)</math>이 반소 아이디얼일 필요충분조건은 <math>n</math>이 [[제곱 인수가 없는 정수]] 또는 0인 것이다. 특히, <math>(0)</math>이 반소 아이디얼이므로 정수환은 [[반소환]]이다.
정수환 <math>\mathbb Z</math>의 경우, 아이디얼 <math>\mathbb Z/m</math>의 소근기는 다음과 같다.
:<math>\sqrt{\mathbb Z/m}=\mathbb Z/\left(\prod_{p\mid m}p\right)</math>
여기서 <math>\prod_{p\mid m}p</math>는 <math>m</math>의 소인수들의 곱이다. 예를 들어
:<math>\sqrt{\mathbb Z/12}=\mathbb Z/6</math>
이다.

=== 다항식환 ===
[[대수적으로 닫힌 체]] <math>K</math> 위의 [[다항식환]] <math>K[x]</math>은 [[주 아이디얼 정역]]이므로, 모든 아이디얼은 [[주 아이디얼]]이다. 다항식
:<math>\prod_{i=1}^k(x-a_i)^{n_i}\in K[x]\qquad(i\ne j\implies a_i\ne a_j)</math>
으로 생성되는 주 아이디얼의 소근기는 다음과 같다.
:<math>\sqrt{\left(\prod_{i=1}^k(x-a_i)^{n_i}\right)}=\prod_{i=1}^k(x-a_i)</math>

=== 데데킨트 정역 ===
보다 일반적으로, [[데데킨트 정역]] <math>R</math>에서, 영 아이디얼이나 <math>R</math>가 아닌 아이디얼은 [[소 아이디얼]]로 인수 분해되어
:<math>\prod_{\mathfrak p\in\operatorname{Spec}R}\mathfrak p^{n(\mathfrak p)}</math>
의 꼴로 유일하게 나타내어진다. 이 아이디얼의 소근기는 다음과 같다.
:<math>\sqrt{\prod_{\mathfrak p\in\operatorname{Spec}R}\mathfrak p^{n(\mathfrak p)}}
=\prod_{\mathfrak p\in\operatorname{Spec}R}\mathfrak p</math>

== 역사 ==
반소 아이디얼({{llang|de|Halbprimideal|할프프림이데알}})의 개념은 [[가환환]]의 경우 [[볼프강 크룰]]이 도입하였고,<ref>{{저널 인용|제목=Idealtheorie in Ringen ohne Endlichkeitsbedingung|이름=Wolfgang|성=Krull|저자링크=볼프강 크룰|doi=10.1007/BF01454872|저널=Mathematische Annalen|날짜=1929|권=101|쪽=729–744|issn=0025-5831|url=http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?GDZPPN002273489|언어=de}}</ref>{{rp|735, §2}} 일반적 [[환 (수학)|환]]의 경우 [[나가타 마사요시]]가 도입하였다.<ref>{{저널 인용|이름=Masayoshi|성=Nagata|저자링크=나가타 마사요시|제목=On the theory of radicals in a ring|저널=Journal of the Mathematical Society of Japan|권=3|호=2|날짜=1951-12|쪽=330–344|doi=10.2969/jmsj/00320330|mr=0047619|zbl=0045.16003|issn=0025-5645|언어=en}}</ref>{{rp|331, Definition 0}}

== 같이 보기 ==
* [[제이컵슨 근기]]
* [[영근기]]
== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Radical of an ideal}}
* {{매스월드|id=IdealRadical|title=Ideal radical}}
* {{매스월드|id=SemiprimeIdeal|title=Semiprime ideal}}
* {{웹 인용|url=http://commalg.subwiki.org/wiki/Radical_of_an_ideal|제목=Radical of an ideal|웹사이트=Commalg|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://commalg.subwiki.org/wiki/Radical_ideal|제목=Radical ideal|웹사이트=Commalg|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://crazyproject.wordpress.com/2010/10/03/definition-and-basic-properties-of-the-radical-of-an-ideal/|제목=Definition and basic properties of the radical of an ideal|웹사이트=Project Crazy Project|날짜=2010-10-03|언어=en}}

[[분류:아이디얼]]
[[분류:폐포 연산자]]