반소환 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[환론]]에서 '''반소환'''(半素環, {{llang|en|semiprime ring}})은 멱영 아이디얼이 [[영 아이디얼]] 밖에 없는 [[환 (수학)|환]]이다. [[축소환]]과 [[소환 (환론)|소환]]의 공통적인 일반화이다.

== 정의 ==
[[환 (수학)|환]]에 대하여 다음 조건들이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 환을 '''반소환'''이라고 한다.
* [[영 아이디얼]]이 [[반소 아이디얼]]이다.<ref name="Lam"/>{{rp|168, Definition 10.15}}
* [[양쪽 아이디얼]] <math>_R\mathfrak a_R</math>에 대하여, <math>\mathfrak a^2=0</math>이라면 <math>\mathfrak a=0</math>이다.<ref name="Lam"/>{{rp|169, Proposition 10.16(3)}}
* [[왼쪽 아이디얼]] <math>_R\mathfrak A</math>에 대하여, <math>\mathfrak A^2=0</math>이라면 <math>\mathfrak A=0</math>이다.<ref name="Lam"/>{{rp|169, Proposition 10.16(4)}}
* [[오른쪽 아이디얼]] <math>\mathfrak A_R</math>에 대하여, <math>\mathfrak A^2=0</math>이라면 <math>\mathfrak A=0</math>이다.<ref name="Lam"/>{{rp|169, Proposition 10.16(4)}}

== 성질 ==
다음 함의 관계가 성립한다.<ref name="Lam">{{서적 인용|제목=A first course in noncommutative rings|성 = Lam|이름=Tsit-Yuen|저자링크=람짓윈|출판사=Springer|날짜 = 2001|isbn =978-0-387-95183-6|doi=10.1007/978-1-4419-8616-0|총서=Graduate Texts in Mathematics|권=131|issn=0072-5285|판=2|언어=en}}</ref>{{rp|153}}
{| style="text-align:center"
| [[체 (수학)|체]] || ⇒ || [[정역]]
|-
| ⇓ || || ⇓ || ⇘
|-
|[[나눗셈환]] || ⇒ || [[영역 (환론)|영역]] || ⇒ || [[축소환]]
|-
| ⇓ || || ⇓ || || ⇓
|-
| 左·右 [[원시환]] || ⇒ || [[소환 (환론)|소환]] || ⇒ || 반소환
|}

[[가환환]]의 경우, 이 함의는 다음과 같이 단순해진다.
{| style="text-align:center"
| [[체 (수학)|체]] ||  || [[정역]]
|-
| ⇕ || || ⇕
|-
|[[나눗셈환]] || ⇒ || [[영역 (환론)|영역]] || ⇒ || [[축소환]]
|-
| ⇕ || || ⇕ || || ⇕
|-
| 左·右 [[원시환]] ||  || [[소환 (환론)|소환]] ||  || 반소환
|}

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{매스월드|id=SemiprimeRing|title=Semiprime ring}}

{{전거 통제}}

[[분류:환론]]