반복 강제법 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[집합론]]에서 '''반복 강제법'''(反復強制法, {{llang|en|iterated forcing}})은 [[강제법 모형]]의 구성을 초한 번 반복하는 과정이다.<ref name="Kunen">{{서적 인용|title=Set theory: an introduction to independence proofs|성=Kunen|이름=Kenneth|저자링크=케네스 쿠넌|publisher=North-Holland|날짜=1980|isbn=978-0-444-86839-8|url=http://store.elsevier.com/Set-Theory-An-Introduction-To-Independence-Proofs/K_-Kunen/isbn-9780444868398/|총서=Studies in Logic and the Foundations of Mathematics|권=102|zbl=0534.03026|mr=597342|언어=en|확인날짜=2016-08-16|보존url=https://web.archive.org/web/20160911102401/http://store.elsevier.com/Set-Theory-An-Introduction-To-Independence-Proofs/K_-Kunen/isbn-9780444868398/|보존날짜=2016-09-11|url-status=dead}}</ref>{{rp|251–303, Chapter VIII}}<ref name="Jech">{{서적 인용 | last=Jech | first=Thomas | title=Set theory | url=https://archive.org/details/settheory0000jech_f7i4 | publisher= Springer-Verlag | series=Springer Monographs in Mathematics | 날짜=2003 | doi=10.1007/3-540-44761-X | issn= 1439-7382 | 판 = 3 | isbn= 978-3-540-44085-7 | zbl = 1007.03002 | 언어=en | id={{iaid|settheory0000jech_f7i4}}}}</ref>{{rp|267–283, Chapter 16}}<ref>{{서적 인용|성=Baumgartner|이름=James Earl|제목=Surveys in set theory|editor1-first=A. R. D.|editor1-last=Mathias |isbn=978-052127733-4|출판사=Cambridge University Press|날짜=1983|doi=10.1017/CBO9780511758867.002|총서=London Mathematical Society Lecture Note Series|권=87|장=Iterated forcing|쪽=1–59|zbl=0524.03040|언어=en}}</ref><ref>{{서적 인용|장=Iterated forcing and elementary embeddings|장url=http://www.math.cmu.edu/users/jcumming/papers/repaper_finished_june_2008.pdf|이름=James|성=Cummings|제목=Handbook of set theory|editor1-first=Matthew|editor1-last=Foreman|editor2-first=Akihiro|editor2-last=Kanamori|editor2-link=가나모리 아키히로|쪽=775–883|doi=10.1007/978-1-4020-5764-9_13|isbn=978-1-4020-4843-2|출판사=Springer-Verlag|날짜=2010|zbl=1198.03060|언어=en}}</ref>{{rp|§7}}

이에 대하여 [[케네스 쿠넌]]은 다음과 같이 적었다.
{{인용문2|반복 강제법의 아이디어는 포괄적 확장 과정을 순서수 <math>\alpha</math>에 대하여 <math>\alpha</math>번 반복하여, 모형들의 사슬 [<math>(M_\beta)_{\beta\le\alpha}</math>]를 얻는 것이다. […] 이는 대략 2단계 반복과 극한 반복의 두 부분으로 나뉜다. 2번 반복은 […] 자명한 것처럼 보인다. […] 그러나 극한 반복의 경우 문제가 발생한다. <math>n<\omega</math>에 대하여 <math>M_n</math>를 구성한 뒤, <math>M_\omega</math>는 무엇이어야 할까? <math>\textstyle M_\omega=\bigcup_nM_n</math>으로 놓을 수 없는 이유는 [<nowiki></nowiki>[[포괄적 필터]]들의 집합] <math>\{G_n\colon n\in\omega\}</math>이 보통 이 [[합집합]]의 원소가 아니기 때문이다. […] 이 문제를 해결하기 위하여, 2단계 반복을 더 어렵게 구성하자. 즉, 2단계 반복을 어떻게 한 단계로 할 수 있는지 설명할 것이다. […] 이 방법에서는 모형들의 사슬을 구성하는 대신, [<nowiki></nowiki>[[원순서 집합]]들을] <math>M</math> 속에서 구성한다. 그 뒤에는 (원한다면) […] 모형들의 사슬을 구성할 수 있으나, 이는 그리 중요하지 않다.<br>
{{lang|en|The idea behind iterated forcing is to repeat the generic extension process <math>\alpha</math> times, for some ordinal <math>\alpha</math>, to obtain a chain of models [<math>(M_\beta)_{\beta\le\alpha}</math>]. […] The discussion of iterated forcing breaks into two parts: two stage iteration and limit iteration. Two stage iteration […] at first sight seems trivial. […] Limit iteration, on the other hand, seems to present a problem. Once we have <math>M_n</math> for <math>n<\omega</math>, what is <math>M_\omega</math>? We cannot just set <math>\textstyle M_\omega=\bigcup_nM_n</math>, since this will usually not contain [the set of generic filters] <math>\{G_n\colon n\in\omega\}</math> […]. […] To solve these problems, we go back to two stage iteration and make it harder. We shall show how to do a two stage iteration in one step. […] [I]n this approach, we do not begin by constructing a chain of models. Rather, our efforts are concentrated on constructing the [posets] in <math>M</math>. Once we are done, we may […] obtain a chain of model after all, but this is of secondary importance.}}|<ref name="Kunen"/>{{rp|251–252}}}}

== 정의 ==
다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.
* [[ZFC]]의 [[표준 추이적 모형]] <math>M</math>
* [[순서수]] <math>\mu\in M\cap\operatorname{Ord}</math>
'''<math>M</math> 속의 <math>\mu</math> 단계 반복 강제법 구조'''(<math>\mu</math>-段階反復強制法構造, {{llang|en|<math>\mu</math>-step iterated forcing strucure in <math>M</math>}})은 다음과 같은 데이터로 구성된다.<ref name="Kunen"/>{{rp|273, Definition VII.5.8}}<ref name="Jech"/>{{rp|280, Definition 16.29}}
* <math>M</math>의 원소인 [[집합]] <math>D\in M</math>
* <math>M</math>의 원소인 <math>(\dot Q_\beta,\dot\lesssim_\beta)_{\beta<\mu}</math>. <math>(\dot Q_\beta,\dot\lesssim_\beta)</math>는 유일한 [[최소 원소]]를 갖는 [[원순서 집합]]의 <math>P_\beta</math>-이름이다.
* 각 <math>\beta<\mu</math>에 대하여, <math>\dot\bot_\beta</math>는 <math>(\dot Q_\beta,\dot\lesssim_\beta)</math>의 유일한 [[최소 원소]]이다.
* [[집합족]] <math>\mathcal I\subseteq\mathcal P(\mu)</math>. 또한,  <math>\mathcal I</math>는 <math>\mathcal P(\mu+1)</math> 속의 [[순서 아이디얼]]을 이룬다.
* <math>\mathcal I</math>는 <math>\mu</math>의 모든 [[유한 집합|유한]] [[부분 집합]]을 포함한다.
여기서, 다음과 같은 함수열을 정의하자.
:<math>\operatorname{supp}_\lambda\colon D^\lambda\to \mathcal P(\lambda)</math>
:<math>\operatorname{supp}_\lambda\colon p\mapsto \left\{\alpha\in\lambda\colon p_\alpha\ne\dot\bot_\mu\right\}</math>
그렇다면 다음과 같은 [[부분 순서 집합]]들의 열 <math>(P_\alpha)_{\alpha\le\mu}</math>을 [[초한 귀납법]]으로 정의할 수 있다.
:<math>
\forall\lambda\le\mu
\forall p\in D^\lambda
\colon\qquad
p\in P_\lambda \iff \begin{cases}
 \left(p\restriction\alpha\in P_\alpha\right) \land \left(p_\beta\in \operatorname{dom}\dot Q_\alpha\right) \land \left(p\restriction \alpha \Vdash ( p_\alpha\in \dot Q_\alpha )\right) & \exists\alpha\colon \alpha+1=\lambda\\
\left(\forall \alpha<\lambda\colon p\restriction \alpha\in P_\alpha\right)
\land (\operatorname{supp}_\lambda p\in \mathcal I)
& \nexists\alpha\colon\alpha+1=\lambda
\end{cases}
</math>
:<math>
\forall\lambda\le\mu
\forall p,q\in P_\lambda\colon
\qquad
p\le q\iff
\begin{cases}(p\restriction\alpha\le q\restriction\alpha) \land(p\restriction\alpha\Vdash(p_\alpha\le q_\alpha))&\exists\alpha+1=\lambda\\
\forall \alpha<\lambda\colon (p\restriction\alpha\le q\restriction\alpha)&\nexists \alpha\colon\alpha+1=\lambda
\end{cases}</math>

임의의 <math>\alpha\le\beta\le\mu</math>에 대하여, [[함수]] <math>\iota_{\alpha\beta}</math>를 다음과 같이 정의하자.
:<math>\iota_{\alpha\beta}\colon P_\alpha\to P_\beta</math>
:<math>\left(q=\iota_{\alpha\beta}(p)\right) \iff\left( (q\restriction\alpha=\beta) \land (\forall \alpha\le\gamma<\beta\colon q_\gamma=\bot_\gamma)\right)</math>

만약 <math>\mathcal I</math>가 [[유한 집합]]이라면, 이를 '''유한 지지 반복 강제법 구조'''(有限支持反復強制法, {{llang|en|iterated forcing structure with finite support}})이라고 한다.

만약 <math>\mathcal I</math>가 [[가산 집합]]이라면, 이를 '''가산 지지 반복 강제법 구조'''(可算支持反復強制法, {{llang|en|iterated forcing structure with countable support}})이라고 한다.

== 성질 ==
다음이 성립한다.
* 임의의 <math>p\in P_\beta</math> 및 <math>\gamma<\beta</math>에 대하여, <math>p\restriction\gamma\in P_\beta</math>이다.
* 임의의 <math>(p_\gamma)_{\gamma<\beta}\in P_\beta</math> 및 <math>\gamma<\beta</math>에 대하여, <math>p_\gamma\in\operatorname{dom}(\pi_\gamma)</math>이다.

=== 반복 강제법 모형 ===
다음 데이터가 주어졌다고 하자.
* [[ZFC]]의 [[표준 추이적 모형]] <math>M</math>
* <math>\mathcal I</math> 지지 <math>\mu</math> 단계 반복 강제법 구조 <math>(\pi_\alpha)_{\alpha<\mu}</math>
* <math>P_\mu</math>의 <math>M</math>-[[포괄적 순서 아이디얼]] <math>G\subseteq P_\mu</math>

이 경우, 임의의 <math>\alpha\le\mu</math>에 대하여
:<math>G_\alpha=\iota_{\alpha\mu}^{-1}(G)\subseteq P_\alpha</math>
를 정의하자. (특히 <math>G_\mu=G</math>이다.) 그렇다면, 임의의 <math>\alpha\le\beta\le\mu</math>에 대하여
:<math>M[G_\alpha]\subseteq M[G_\beta]</math>
이다. 즉,
:<math>M\subseteq M[G_0]\subseteq M[G_1]\subseteq\cdots\subseteq M[G_\omega]\subseteq M[G_{\omega+1}]\subseteq\cdots\subseteq M[G_\mu]=M[G]</math>
이다.

== 역사 ==
1971년에 [[로버트 솔로베이]]와 [[스탠리 테넨바움]]이 [[수슬린 가설]]의 독립성을 보이기 위하여 반복 강제법을 도입하였다.<ref>{{저널 인용|title=Iterated Cohen extensions and Souslin’s problem |last=Solovay |first=Robert M. | 저자링크=로버트 솔로베이 |성2=Tennenbaum | 이름2= Stanley |저자링크2=스탠리 테넨바움 |volume=94 |year=1971 |pages=201–245 |doi=10.2307/1970860 |issue=2|저널=Annals of Mathematics |jstor=1970860 | zbl = 0244.02023 | mr= 0294139 |언어=en}}</ref><ref name="Jech"/>{{rp|282}}

== 참고 문헌 ==
{{각주}}
* {{서적 인용|장url=http://www.math.cmu.edu/~eschimme/Appalachian/EisworthMooreNotes.pdf|장=Iterated forcing and the continuum hypothesis|날짜=2009|제목=Appalachian Set Theory 2006–2012|총서=London Mathematical Society Lecture Note Series|권=406|editor1-first=James|editor1-last=Cummings|editor2-first=Ernest|editor2-last=Schimmerling|이름1=Todd|성1=Eisworth|이름2=Justin Tatch|성2=Moore|이름3=David|성3=Milovich|doi=10.1017/CBO9781139208574.008|isbn=978-110760850-4|zbl=1256.03003|언어=en}}
* {{서적 인용|장url=http://info.tuwien.ac.at/goldstern/papers/tools.pdf|장=Tools for your forcing construction|총서=Israel Mathematics Conference Proceedings|권=6|zbl=0834.03016|성=Goldstern|이름=Martin|제목=Set theory of the reals|출판사=American Mathematical Society|날짜=1993|url=http://bookstore.ams.org/imcp-6/|editor1-first=Haim|editor1-last=Judah|언어=en}}
* {{서적 인용|제목=An iterated forcing extension in which all ℵ<sub>1</sub>-dense sets of reals are isomorphic|기타=[[석사]] 학위 논문 (지도 교수 Maurice C. Stanley)|이름=Michael Haig|성=Vartanian|출판사=San Jose State University|url=http://scholarworks.sjsu.edu/etd_theses/3834|날짜=2010|언어=en}}
* {{서적 인용|제목=実数の集合論と反復強制法の相互関係|총서=数理解析研究所講究録|권=1530|issn=1880-2818|출판사=[[도쿄 대학|京都大学]]数理解析研究所|날짜=2007-02|url=http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/1530.html|editor=ヨーグ・ブレンドレ|언어=ja}}

[[분류:강제법]]