반단순 리 대수 문서 원본 보기

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[[리 대수]] 이론에서, '''반단순 리 대수'''(半單純Lie代數, {{llang|en|semisimple Lie algebra}})는 단순 리 대수들의 [[직합]]인 리 대수이다.

== 정의 ==
체 <math>K</math> 위의 리 대수 <math>\mathfrak g</math>가 다음 두 조건을 만족시킨다면, '''단순 리 대수'''(單純Lie代數, {{llang|en|simple Lie algebra}})라고 한다.<ref name="Knapp"/>{{rp|32}}
* <math>\mathfrak g</math>의 [[리 대수 아이디얼]]은 <math>\{0\}</math>과 <math>\mathfrak g</math> 전체 밖에 없다.
* <math>\mathfrak g</math>는 [[아벨 리 대수]]가 아니다. 즉, <math>[x,y]\ne0</math>인 <math>x,y\in\mathfrak g</math>가 존재한다.

<math>K</math>의 [[체의 표수|표수]]가 0이라고 하고, <math>\mathfrak g</math>가 <math>K</math> 위의 유한 차원 [[리 대수]]라고 하자. 그렇다면 다음 조건들이 서로 [[동치]]이며, 이 조건을 만족시키는 리 대수를 '''반단순 리 대수'''라고 한다.
* <math>\mathfrak g</math>의 가해({{llang|en|solvable}}) 아이디얼은 <math>\{0\}</math>밖에 없다. 즉, <math>\mathfrak g</math>의 근기({{llang|en|radical}})가 <math>\sqrt{\mathfrak g}=\{0\}</math>이다.<ref name="Knapp"/>{{rp|32}}
* <math>\mathfrak g</math>의 아벨 아이디얼은 <math>\{0\}</math>밖에 없다.
* <math>\mathfrak g</math>는 단순 리 대수들의 [[직합]]이다.
* (카르탕 반단순성 조건 {{llang|en|Cartan’s criterion for semisimplicity}}) <math>\mathfrak g</math>의 [[킬링 형식]] <math>K(x,y)=\operatorname{tr}_K\operatorname{ad}(x)\operatorname{ad}(y)</math>는 [[비퇴화 쌍선형 형식]]이다.<ref name="Knapp">{{서적 인용|last=Knapp|first=Anthony W.|title=Lie groups beyond an introduction|edition= 2판|총서=Progress in Mathematics |권=140|publisher=Birkhäuser|place= Boston|날짜= 2002|isbn=0-8176-4259-5 | zbl=1075.22501|mr=1920389 |url=https://www.springer.com/birkhauser/mathematics/book/978-0-8176-4259-4|언어=en}}</ref>{{rp|50, Theorem 1.45}}

=== 반단순 리 군 ===
'''반단순 리 군'''(半單純Lie群, {{llang|en|semisimple Lie group}})은 그 [[리 대수]]가 반단순 리 대수인 [[연결 공간|연결]] [[리 군]]이다.<ref name="Knapp"/>{{rp|105}} 마찬가지로, '''단순 리 군'''(單純Lie群, {{llang|en|semisimple Lie group}})은 그 리 대수가 단순 리 대수인 연결 리 군이다.

== 분류 ==
복소수체 위의 (유한 차원) 단순 리 대수는 [[근계]] 또는 이에 대응하는 [[딘킨 도표]]로 분류되며, 이에 따라 <math>A_n</math>, <math>B_n</math>, <math>C_n</math>, <math>D_n</math>, [[E₆]], [[E₇]], [[E₈]], [[F₄]], [[G₂]]가 있다. 복소수체 위의 [[단일 연결]] 단순 리 군은 단순 리 대수와 일대일 대응하며, 단일 연결이 아닌 리 군은 그 [[범피복군]]의 [[군의 중심|중심]]의 부분군인 [[정규 부분군]]에 대한 몫군이다. 이렇게 유한한 수의 무한한 족과 예외적 대상으로 분류하는 것은 유한 [[단순군]]의 분류와 유사하지만, (반)단순 리 대수의 분류는 유한 단순군의 경우보다 훨씬 더 간단하며, 고전적으로 증명할 수 있다.

=== 복소수 단순 리 대수 ===
복소수체 위의 반단순 리 대수의 분류는 복소수 단순 리 대수의 분류로부터 귀결된다. 임의의 표수 0의 [[대수적으로 닫힌 체]] 위의 반단순 리 대수의 분류는 이와 동일하다.

모든 복소수 단순 리 대수는 다음 가운데 하나와 동형이다.
* <math>\mathfrak a_k=\mathfrak{sl}(k+1,\mathbb C)=\mathfrak{su}(k+1)\otimes\mathbb C</math>, <math>k=1,2,\dots</math> (복소 무대각합(無對角合, {{lang|en|traceless}}) 행렬 대수)
* <math>\mathfrak b_k=\mathfrak{so}(2k+1,\mathbb C)</math>, <math>k=2,3,\dots</math> (홀수 차원의 복소 반대칭 행렬 대수)
* <math>\mathfrak c_k=\mathfrak{sp}(2k,\mathbb C)</math>, <math>k=2,3,\dots</math> (복소 [[해밀턴 행렬]]({{lang|en|Hamiltonian matrix}}) 대수)
* <math>\mathfrak d_k=\mathfrak{so}(2k,\mathbb C)</math>, <math>k=4,5,\dots</math> (짝수 차원의 복소 반대칭 행렬 대수)
* [[E₇|𝖊<sub>6</sub>]], [[E₇|𝖊<sub>7</sub>]], [[E₈|𝖊<sub>8</sub>]]
* [[F₄|𝖋<sub>4</sub>]]
* [[G₂|𝖌<sub>2</sub>]]
이 가운데, 처음 네 가지를 '''고전적'''({{llang|en|classical}}), 나머지를 '''예외적'''({{llang|en|exceptional}})이라고 부른다. 여기서 아래 첨자는 근의 수를 나타낸다.

=== 실수 단순 리 대수 ===
[[대수적으로 닫힌 체]]가 아닌 체 위의 반단순 리 대수 <math>\mathfrak g</math>의 경우, 우선 그 [[대수적 폐포]] <math>\bar K</math> 위의 대수 <math>\mathfrak g\otimes_K\bar K</math>를 분류한 뒤, 이를 <math>\bar K</math>에서 <math>K</math>로 제약시키는 방법을 분류하여야 한다.

실수체 <math>K=\mathbb R</math>의 경우, 이에 대응되는 복소수 리 대수는 '''복소화'''({{llang|en|complexification}}) <math>\mathfrak g\mapsto\mathfrak g\otimes\mathbb C</math>라고 하며, 주어진 복소수 리 대수에 대응되는 실수 리 대수들은  '''실수 형식'''({{llang|en|real form}})이라고 한다.

실수 단순 리 대수에서 복소수 단순 리 대수로 가는 복소화 사상은 [[전사 함수]]지만, [[단사 함수]]는 아니며, 그 [[원상 (수학)|원상]]은 유한하다. 즉 각 단순 복소 단순 리 대수에 대하여 유한개의 실수 단순 리 대수가 대응하고, 모두 알려져 있다.

== 목록 ==
복소수 및 실수 단순 리 대수들은 다음과 같다.
:{| class=wikitable
! 복소수 리 대수 !! 차원 !! 실수 리 대수 !! 로마 숫자 표기 !! 다른 이름 !! 극대 콤팩트 부분 리 대수
|-
! rowspan=4 | A<sub>''n''</sub>
| rowspan=4 | <math>n^2+2n</math>
| A<sub>''n''(&minus;''n''<sup>2</sup>&minus;2''n'')</sub> (콤팩트) || || <math>\mathfrak{su}(n+1;\mathbb R)</math> || <math>\mathfrak{su}(n+1)</math>
|-
| A<sub>''n''(''n'')</sub> (분할) || AⅠ || <math>\mathfrak{sl}(n+1;\mathbb R)</math> || <math>\mathfrak o(n+1)</math>
|-
| A<sub>''n''(&minus;''n''&minus;2)</sub> || AⅡ || <math>\mathfrak{sl}(m;\mathbb H)</math>, <math>\mathfrak{su}^*(2m)</math> (<math>2m-1=n</math>) || <math>\mathfrak{usp}(2m)</math>
|-
|  || AⅢ || <math>\mathfrak{su}(p,q)</math> (<math>p+q=n+1</math>) || <math>\mathfrak{su}(p)\oplus\mathfrak{su}(q)\oplus\mathfrak u(1)</math>
|-
! rowspan=3 | B<sub>''n''</sub>
| rowspan=3 | <math>2n^2+n</math>
| B<sub>''n''(&minus;2''n''<sup>2</sup>&minus;''n'')</sub> (콤팩트) || || <math>\mathfrak o(2n+1;\mathbb R)</math> || <math>\mathfrak o(2n+1)</math>
|-
| B<sub>''n''(''n'')</sub> (분할) || BⅠ || <math>\mathfrak{o}(n,n+1;\mathbb R)</math> || <math>\mathfrak o(n)\oplus\mathfrak o(n+1)</math>
|-
| || BⅡ || <math>\mathfrak{o}(p,q+1;\mathbb R)</math> (<math>p+q=n</math>) || <math>\mathfrak o(p)\oplus\mathfrak o(q)</math>
|-
! rowspan=3 | C<sub>''n''</sub>
| rowspan=3 | <math>2n^2+n</math>
| C<sub>''n''(&minus;2''n''<sup>2</sup>&minus;''n'')</sub> (콤팩트) || || <math>\mathfrak{usp}(2n)</math>, <math>\mathfrak u(n;\mathbb H)</math> || <math>\mathfrak{usp}(2n)</math>
|-
| C<sub>''n''(''n'')</sub> (분할) || CⅠ || <math>\mathfrak{sp}(2n;\mathbb R)</math> || <math>\mathfrak{su}(n)\oplus\mathfrak u(1)</math>
|-
| || CⅡ || <math>\mathfrak{usp}(2p,2q)</math> (<math>p+q=n</math>) || <math>\mathfrak{usp}(2p)\oplus\mathfrak{usp}(2q)</math>
|-
! rowspan=4 | D<sub>''n''</sub>
| rowspan=4 | <math>2n^2-n</math>
| D<sub>''n''(&minus;2''n''<sup>2</sup>+''n'')</sub> (콤팩트) || || <math>\mathfrak o(2n;\mathbb R)</math> || <math>\mathfrak o(2n)</math>
|-
| D<sub>''n''(''n'')</sub> (분할) || DⅠ || <math>\mathfrak o(n,n;\mathbb R)</math> || <math>\mathfrak o(n)\oplus\mathfrak o(n)</math>
|-
| || DⅡ || <math>\mathfrak o(p,q;\mathbb R)</math> (<math>p+q=2n</math>) || <math>\mathfrak o(p)\oplus\mathfrak o(q)</math>
|-
| D<sub>''n''(&minus;''n'')</sub> || DⅢ || <math>\mathfrak{o}^*(2n)</math> || <math>\mathfrak{su}(n)\oplus\mathfrak u(1)</math>
|-
! rowspan=5 | E<sub>6</sub>
| rowspan=5 | 78
| E<sub>6(&minus;78)</sub>  (콤팩트) || || || <math>\mathfrak e_6</math>
|-
| E<sub>6(6)</sub> (분할) || EⅠ || || <math>\mathfrak{su}(8)</math>
|-
| E<sub>6(2)</sub> || EⅡ || || <math>\mathfrak{su}(6)\oplus\mathfrak{su}(2)</math>
|-
| E<sub>6(&minus;14)</sub> || EⅢ || || <math>\mathfrak o(10)\oplus\mathfrak u(1)</math>
|-
| E<sub>6(&minus;26)</sub> || EⅣ || || <math>\mathfrak f_4</math>
|-
! rowspan=4 | E<sub>7</sub> 
| rowspan=4 | 133
| E<sub>7(&minus;133)</sub> (콤팩트) || || || <math>\mathfrak e_7</math>
|-
| E<sub>7(7)</sub> (분할) || EⅤ || || <math>\mathfrak{su}(8)</math>
|-
| E<sub>7(&minus;5)</sub> || EⅥ || || <math>\mathfrak o(12)\oplus\mathfrak{su}(2)</math>
|-
| E<sub>7(&minus;25)</sub> || EⅦ || || <math>\mathfrak e_6\oplus\mathfrak u(1)</math>
|-
! rowspan=3 | E<sub>8</sub>
| rowspan=3 | 248
| E<sub>8(&minus;248)</sub> (콤팩트) || || || <math>\mathfrak e_8</math>
|-
| E<sub>8(8)</sub> (분할) || EⅧ || || <math>\mathfrak o(16)</math>
|-
| E<sub>8(&minus;24)</sub> || EⅨ || || <math>\mathfrak e_7\oplus\mathfrak{su}(2)</math>
|-
! rowspan=3 | F<sub>4</sub>
| rowspan=3 | 52
| F<sub>4(&minus;52)</sub> (콤팩트) || || || <math>\mathfrak f_4</math>
|-
| F<sub>4(4)</sub> (분할) || FⅠ || || <math>\mathfrak{sp}(3) \oplus \mathfrak{su}(2)</math>
|-
| F<sub>4(&minus;20)</sub> || FⅡ || || <math>\mathfrak o(9)</math>
|-
! rowspan=2 | G<sub>2</sub>
| rowspan=2 | 14
| G<sub>2(&minus;14)</sub> (콤팩트) || || || <math>\mathfrak g_2</math>
|-
| G<sub>2(2)</sub> (분할) || GⅠ || || <math>\mathfrak{su}(2)\oplus\mathfrak{su}(2)</math>
|}

위 표에서,
* <math>n</math>은 항상 복소수 리 군의 계수이다.
* <math>A_{n(k)}</math>과 같은 표기에서, [[킬링 형식]]의 부호수가 <math>(p,q)</math>일 때, <Math>k= p-q</math>이다. 즉, <math>k</math>는 리 대수의 차원 &minus; 2 × 극대 콤팩트 부분 대수의 차원이다. 특히 분할 형식의 경우 <math>n=k</math>이며, 콤팩트 형식의 경우 <math>k</math>는 &minus;1 × 리 대수의 차원이다.
위 표에서, 중복되는 것들은 다음이 전부이다.
*<math>\mathfrak{sl}(2;\mathbb C)\cong\mathfrak o(3;\mathbb C)</math> ([[3차원 회전군]])
**<math>\mathfrak{su}(2) \cong\mathfrak{sl}(1;\mathbb H)\cong\mathfrak o(3;\mathbb R)</math>
**<math>\mathfrak{sl}(2;\mathbb R)\cong\mathfrak{su}(1,1)\cong\mathfrak o(1,2)</math>
*<math>\mathfrak{sp}(4;\mathbb C)\cong\mathfrak o(5;\mathbb C)</math> ([[5차원 회전군]])
**<math>\mathfrak{usp}(4) \cong\mathfrak o(5;\mathbb R)</math>
**<math>\mathfrak{usp}(2,2) \cong\mathfrak o(1,4)</math>
**<math>\mathfrak{sp}(4;\mathbb R) \cong\mathfrak o(2,3)</math>
*<math>\mathfrak{sl}(4;\mathbb C)\cong\mathfrak o(6;\mathbb C)</math> ([[6차원 회전군]])
**<math>\mathfrak{su}(4)\cong\mathfrak o(6;\mathbb R)</math>
**<math>\mathfrak{sl}(2;\mathbb H)\cong\mathfrak o(5,1)</math>
**<math>\mathfrak{su}(2,2)\cong\mathfrak o(4,2)</math>
**<math>\mathfrak{sl}(4;\mathbb R)\cong\mathfrak o(3,3)</math>
**<math>\mathfrak{su}(1,3)\cong\mathfrak o^*(6)</math>
*<math>\mathfrak o^*(8) \cong\mathfrak o(2,6)</math> ([[8차원 회전군]])
또한, <math>\mathfrak o(4) \cong\mathfrak{su}(2)^{\oplus2}</math>는 단순 리 대수가 아니다.

== 역사 ==
복소수 반단순 리 대수는 [[엘리 카르탕]]이 1894년에 박사 학위 논문에서 분류하였다.<ref>{{저널 인용|이름=Élie|성=Cartan|저자링크=엘리 카르탕|제목=Sur la structure des groupes de transformations finis et continus|url=https://archive.org/details/surlastructured00bourgoog|출판사=Librairie Nony et C<sup>ie</sup>|날짜=1894|기타=[[파리 대학교]] 박사 학위 논문|jfm=25.0638.02|언어=fr}}</ref> 실수 반단순 리 대수는 펠릭스 루비노비치 간트마헤르({{llang|ru|Фе́ликс Руви́мович Гантма́хер}})가 1939년에 분류하였다.<ref>{{저널 인용|이름=Felix|성=Gantmacher|날짜=1939|제목=On the classification of real simple Lie groups|저널=Математический сборник (новая серия)|권=5|호=2|쪽=217–250|jfm= 65.1131.03|zbl= 0022.31503|mr=2141|url=http://mi.mathnet.ru/msb5777 |언어=en}}</ref>

== 같이 보기 ==
* [[리 대수]]
* [[근계]]
* [[리 대수의 표현]]

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Lie algebra, semi-simple}}
* {{매스월드|id=SemisimpleLieAlgebra|title=Semisimple lie algebra}}
* {{매스월드|id=SimpleLieAlgebra|title=Simple lie algebra}}
* {{매스월드|id=SemisimpleLieGroup|title=Semisimple Lie group}}
* {{nlab|id=semisimple Lie algebra|title=Semisimple Lie algebra}}
* {{nlab|id=simple Lie algebra|title=Simple Lie algebra}}
* {{Nlab|id=semisimple Lie group|title=Semisimple Lie group}}

{{전거 통제}}

[[분류:리 대수]]