바탈린-빌코비스키 대수 문서 원본 보기

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[[이론물리학]]과 [[수학]]에서 '''바탈린-빌코비스키 대수'''({{llang|en|Batalin–Vilkovisky algebra}})는 [[게이지 이론]]을 [[BRST 양자화]]할 때 등장하는 [[대수 (환론)|대수]]이다.<ref>{{서적 인용|이름=Marc|성=Henneaux|공저자=Claudio Teitelboim|제목=Quantization of Gauge Systems|url=https://archive.org/details/quantizationofga0000henn|출판사=Princeton University Press|날짜=1992|언어=en}}</ref><ref>{{저널 인용|arxiv=hep-th/0002245|제목=Local BRST cohomology in gauge theories|이름=Glenn|성=Barnich|공저자=Friedemann Brandt, Marc Henneaux|doi=10.1016/S0370-1573(00)00049-1|bibcode=2000PhR...338..439B|mr=1792979|저널=Physics Reports|권=338|호=5|쪽=439–569|날짜=2000-11|언어=en}}</ref><ref name="FHM">{{저널 인용|arxiv=hep-th/0506098|제목=BRST-antifield quantization: a short review|이름=Andrea|성=Fuster|공저자=Marc Henneaux, Axel Maas|bibcode=2005hep.th....6098F|doi=10.1142/S0219887805000892|저널=International Journal of Geometric Methods in Modern Physics|권=2|호=5|쪽=939–963|날짜=2005-10|언어=en}}</ref><ref name="Fiorenza">{{저널 인용|arxiv=math/0402057|제목= An introduction to the Batalin–Vilkovisky formalism|이름=Domenico|성=Fiorenza|bibcode=2004math......2057F|날짜=2004|언어=en}}</ref><ref name="GPS">{{저널 인용|제목=
Antibracket, antifields and gauge-theory quantization|이름=Joaquim|성=Gomis|공저자=Jordi Paris, Stuart Samuel|arxiv=hep-th/9412228|doi=10.1016/0370-1573(94)00112-G|bibcode=1995PhR...259....1G|저널=Physics Reports|권=259|호=1|쪽=1–145|날짜=1995-08|언어=en}}</ref>

== 정의 ==
=== 고차 미분 연산자 ===
(단위원을 갖는) [[등급 대수|정수 등급]] 가환 [[결합 대수]]
:<math>A = \bigoplus_{i\in\mathbb Z}A_i</math>
:<math>ab = (-)^{\deg a\deg b}ba</math>
가 주어졌다고 하자. 이제, 왼쪽 곱셈 연산자
:<math>\mathsf L_ab = ab</math>
및 초괄호
:<math>[a,b\} = ab - (-)^{\deg a\deg b}ba</math>
를 정의할 수 있다. 초괄호는 또한 등급을 갖는 동차 연산자에 대해서도 정의될 수 있다.

이 위의 연산자
:<math>D \colon A_\bullet \to A_{\bullet_k}</math>
:<math>\deg D = k</math>
가 다음 두 조건을 만족시킨다면, 이를 '''<math>n</math>차 <math>k</math>등급 미분 연산자'''({{llang|en|<math>n</math>th-order degree-<math>k</math> operator}})라고 한다.
:<math>D(1_A) = 0</math>
:<math>[\dotso[[D,\mathsf L_{a_0}\}, \mathsf L_{a_1}\},\dotsc, \mathsf L_{a_n} \} (1_A) = 0 \qquad\forall a_0,\dotsc,a_k\in A</math>
여기서 초괄호에서 <math>\deg \mathsf L_a = \deg a</math> 및 <math>\deg D = k</math>로 간주한다.

예를 들어, 0차 미분 연산자의 경우
:<math>D1 = 0</math>
인 것이다. 1차 미분 연산자는
:<math>0 = [[D,\mathsf L_a\},\mathsf L_b\}1 = D(ab) - (-)^{k\deg a}a(Db) - (-)^{(k+\deg a)\deg b}b(Da) </math>
인 것이다. 즉,
:<math>D(ab) = (Da)b + (-)^{k\deg a}a(Db)</math>
이며, 이는 [[곱 규칙]]이다.

홀수 등급 2차 미분 연산자 <math>\Delta</math>는
:<math>\Delta(abc)-\Delta(ab)c-(-1)^{\deg a}a\Delta(bc)-(-1)^{(\deg a+1)\deg b}b\Delta(ac)+\Delta(a)bc-(-1)^{\deg a}a\Delta(b)c+(-1)^{\deg(ab)}ab\Delta(c)=0</math>
를 만족시킨다.

=== 거스틴해버 괄호 ===
등급 가환 결합 대수
:<math>A=\bigoplus_{i\in\mathbb Z}A_i</math>
및 <math>A</math> 위의 [[사슬 복합체]] 구조
:<math>\partial \colon A_\bullet \to A_{\bullet-1}</math>
:<math>\partial_1 = 0</math>
가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 일련의 괄호들을 정의할 수 있다.
:<math>\Phi^{n+1}(a_0,a_1,\dotsc,a_n) = [[\dotsb[[\partial,\mathsf L_{a_0}\},\mathsf L_{a_1}\},\dotsc\},\mathsf L_{a_n}\}1</math>
이를 <math>n+1</math>항 '''거스틴해버 괄호'''라고 한다. 예를 들어
:<math>\Phi^0() = 0</math>
:<math>\Phi^1(a) = \partial a</math>
:<math>\Phi^2(a,b) = \partial (ab) - (-)^{\deg a}a\partial b - (\partial a)b</math>
이다. 그렇다면, 곱셈 구조를 잊으면,
:<math>(A,\Phi^\bullet)</math>
는 [[L∞-대수]]를 이룬다.

물론, 만약 <math>\partial</math>이 <math>n</math>차 미분 연산자라면, 오직 <math>\Phi^1,\dotsc,\Phi^n</math>만이 0이 아닐 수 있다.

바탈린-빌코비스키 대수에는 다음과 같은 '''[[거스틴해버 대수|거스틴해버 괄호]]'''({{llang|en|Gerstenhaber bracket}}) 또는 '''반괄호'''({{llang|en|antibracket}}) <math>(a,b)</math>를 정의할 수 있다.
:<math>(a,b)=(-1)^{\deg a}\Phi^2(a,b)</math>
이는 다음과 같은 성질들을 따른다.
* (차수 −1) <math>\deg(a,b)=\deg a+\deg b-1</math>
* (등급가환성) <math>(a,b)=-(-1)^{(\deg a+1)(\deg b+1)}(b,a)</math>
* (등급 야코비 항등식) <math>(-1)^{(\deg a+1)(\deg c+1)}(a,(b,c))+(-1)^{(\deg b+1)(\deg a+1)}(b,(c,a))+(-1)^{(\deg c+1)(\deg b+1)}(c,(a,b))=0</math>
* (등급 라이프니츠 규칙) <math>(ab,c)=a(b,c)+(-1)^{\deg a\deg b}b(a,c)</math>

=== 바탈린-빌코비스키 대수 ===
'''바탈린-빌코비스키 대수''' <math>(A,\Delta)</math>는 다음과 같은 데이터로 구성된다.<ref name="Fiorenza"/>{{rp|§8}}
* 등급 가환 결합 대수 <math>A=\bigoplus_{i\in\mathbb Z}A_i</math>
* <math>A</math> 위의 2차 −1등급 미분 연산자 <math>\Delta\colon A_\bullet\to A_{\bullet-1}</math>. 이를 '''바탈린-빌코비스키 [[라플라스 연산자]]'''라고 한다.

== 게이지 이론의 양자화 ==
바탈린-빌코비스키 대수는 [[게이지 이론]]의 [[양자화 (물리학)|양자화]]에 등장한다. 이 경우, 바탈린-빌코비스키 대수의 등급은 유령수(ghost number)가 된다.

게이지 이론이 장 <math>\phi^i</math>와 고전적 [[작용 (물리학)|작용]] <math>S_0(\phi)</math>에 의해 정의된다고 하자. 또한, 이 이론에 다음과 같은 게이지 변환들이 존재한다고 하자.
:<math>\delta\phi^i=R_{\alpha_1}^i\epsilon^{\alpha_1}</math>
여기서 <math>\epsilon^{i_1}</math>는 게이지 변환 매개변수이다. 또한, 게이지 변환들 사이에 관계들이 있을 수 있다. 즉, 다음과 같은 꼴의 관계가 존재한다.
:<math>R^{i_p}_{i_{p+1}}R_{i_p}^{i_0}=C^{ij}_{\alpha_{p+1}}\frac{\delta S_0}{\delta\phi^{j_0}}</math>
이다. 여기서 <math>C^{ij}_{\alpha_{p+1}}</math>는 임의의 텐서이다. 즉, 일반적으로 게이지 이론은
* 1차 게이지 변환 <math>\delta\phi^i/\delta\epsilon^{\alpha_1}</math>
* 2차 게이지 변환 <math>\delta\epsilon^{\alpha_1}/\delta\epsilon^{\alpha_2}</math>
* 3차 게이지 변환 <math>\delta\epsilon^{\alpha_2}/\delta\epsilon^{\alpha_3}</math>
등의 일련의 고차 게이지 변환들을 가진다.

그렇다면 바탈린-빌코비스키 양자화에서는 각 (고차) 게이지 변환 <math>\delta/\delta\epsilon^{\alpha_p}</math>에 대응하는 유령장 <math>c^{\alpha_p}</math>을 정의한다. 유령장은 대응하는 게이지 변환의 통계와 반대 통계를 따른다. (즉, 일반적 게이지 변환의 경우 페르미온, 초대칭 게이지 변환의 경우 보손이다.) 유령장 및 물리적 장 <math>\phi^i</math>에 대응하는 '''반대장'''(反對場, {{llang|en|antifield}}) <math>\phi^*_i</math>, <math>c^*_{\alpha_p}</math>를 정의하자. 반대장들은 대응하는 장과 반대 통계를 따른다. 또한, 이들 장들에 '''유령수'''(幽靈數, {{llang|en|ghost number}})라는 차수를 붙인다. 물리적 장은 유령수 0, <math>p</math>차 게이지 변환에 대응하는 유령장은 유령수 <math>p</math>, 그리고 유령수 <math>g</math>에 대응하는 반대장은 유령수 <math>-g-1</math>을 가진다. 이를 표로 적으면 다음과 같다.
{| class="wikitable"
|-
! 장 || 기호 || 통계 <math>\sigma(\Phi^A)</math> (+1: 보손, −1: 페르미온) !! 유령수 <math>\deg\Phi^A</math>
|-
| 물리적 장 || <math>\phi^i</math> || <math>\sigma(\phi^i)</math> (보손: +1, 페르미온: −1) || 0
|-
| 물리적 반대장 || <math>\phi^*_i</math> || <math>-\sigma(\phi^i)</math> || −1
|-
| 유령장 || <math>c^{\alpha_p}</math> || <math>-\sigma(\epsilon^{\alpha_p})</math> (일반 대칭: −1, [[초대칭]]: +1) || <math>p</math>
|-
| 유령 반대장 || <math>c^*_{\alpha_p}</math> || <math>\sigma(\epsilon^{\alpha_p})</math> || <math>-p-1</math>
|}
즉, 장들은 유령수에 따라 [[등급환|등급대수]]를 이룬다.

=== Δ 연산자와 거스틴해버 괄호 ===
모든 장들을 통칭해
:<math>\Phi^A=(\phi^i,c^{\alpha_p})</math>
:<math>\Phi^*_A=(\phi^*_i,c^*_{\alpha_p})</math>
로 적자. 장들의 등급대수에 다음과 같은 Δ 연산자를 정의할 수 있다.
:<math>\Delta=(-1)^{\sigma(\Phi^A)}\frac{\delta^L}{\delta\Phi^A}\frac{\delta^L}{\delta\Phi^*_A}</math>
또한, 거스틴해버 괄호는 다음과 같다.
:<math>(X,Y)=\frac{\delta^RX}{\delta\Phi^A}\frac{\delta^LY}{\delta\Phi^*_A}-
\frac{\delta^RX}{\delta\Phi^*_A}\frac{\delta^LY}{\delta\Phi^A}.</math>
이렇게 연산자들을 정의하면, 장들의 등급대수는 바탈린-빌코비스키 대수를 이룬다. 여기서 <math>\delta^L/\delta\Phi^A</math>와 <math>\delta^R/\delta\Phi^A</math>는 각각 좌·우미분이다.

=== 고전 으뜸 방정식 ===
고전적 [[작용 (물리학)|작용]] <math>S_0(\phi^i)</math>는 유령수 0의 원소이다. 게이지 고정을 하려면, 여기에 유령장 및 반대장들을 추가하여 다음과 같은 꼴로 교정하여야 한다.
:<math>S=S_0+S_1+S_2+\dots</math>
여기서 <math>S_p</math>는 <math>p</math>개의 유령장의 곱을 포함하며, 그 유령수를 상쇄시키는 반대장들을 포함한다. 즉, <math>S</math>의 유령수는 0이다.
:<math>\deg S=0</math>
이렇게 교정된 작용 <math>S</math>는 다음과 같은 '''고전 으뜸 방정식'''({{llang|en|classical master equation}})을 만족시킨다.
:<math>(S,S)=0</math>
이로부터 <math>S</math>를 완전히 계산할 수 있다.
이 경우, 이론의 [[BRST 대칭]]은
:<math>\delta_{\text{BRST}}=(S,\cdot)</math>
의 꼴이다. 이 경우 자동적으로
:<math>\delta_{\text{BRST}}S=(S,S)=0</math>
이 된다. 작용은 유령수가 0이고 거스틴해버 괄호는 유령수가 1이므로, BRST 대칭은 유령수를 1만큼 증가시킨다.

<math>\delta_{\text{BRST}}^2=0</math>임을 쉽게 확인할 수 있다. 따라서, 이에 대한 코호몰로지
:<math>H^p(\delta_{\text{BRST}})</math>
를 정의할 수 있다. 관측가능량들은 0차 BRST 코호몰로지 <math>H^0(\delta_{\text{BRST}})</math>의 원소이다. 고전적인 연산자 <math>O_0</math>가 주어지면, 여기에 유령장을 포함하는 항들을 추가하여, BRST 불변이게 만들어야 한다.
:<math>O=O_0+O_1+O_2+\cdots</math>
:<math>\delta_{\text{BRST}}O=(S,O)=0</math>

=== 게이지 고정 ===
유령항을 추가한 뒤, 경로 적분을 사용하려면 작용을 게이지 고정시켜야 한다. 이를 위해 유령수가 −1이고, 반대장들을 포함하지 않는 페르미온 연산자 <math>\psi</math>를 선택하자. 이를 '''게이지 고정 페르미온'''({{llang|en|gauge-fixing fermion}})이라고 한다. 이러한 연산자가 주어지면, 작용에서 반대장을 다음과 같이 치환한다.<ref name="FHM"/>{{rp|§6}}<ref name="GPS"/>{{rp|§6.1}}
:<math>\Phi^*_A\mapsto\frac{\delta\psi}{\delta\Phi^A}</math>
작용에서 반대장들을 이렇게 치환하게 되면, 게이지가 고정된다.

게이지 고정 페르미온은 &minus1;의 유령수를 가져야 하는데, 반대장이 아닌 장들은 모두 음이 아닌 유령수를 가진다. 이 때문에 이론에 음의 유령수를 가진 [[보조장]]들을 추가하여야 한다.<ref name="GPS"/>{{rp|§6.2}}

=== 양자 으뜸 방정식 ===
양자화를 하게 되면, 작용뿐만 아니라 [[경로 적분]]의 [[측도]] 또한 BRST 불변이어아 한다. 측도가 BRST 불변일 [[필요충분조건]]은
:<math>\Delta S=0</math>
이다.<ref name="FHM"/>{{rp|§6}} 예를 들어, [[양-밀스 이론]]의 경우 이 조건이 성립한다.

만약 측도가 BRST 불변이 아니라면, 작용에 적절한 항들을 추가하여 이를 상쇄시켜야 한다. 이는 플랑크 상수 <math>\hbar</math>에 비례하게 된다. 즉, <math>S=\hat S^{(0)}</math>으로 놓으면,
:<math>\hat S=\hat S^{(0)}+\hbar S^{(1)}+\hbar^2S^{(2)}+\cdots</math>
이다. 이에 대한 '''양자 으뜸 방정식'''({{llang|en|quantum master equation}})은
:<math>\Delta(\exp(i\hat S/\hbar))=0</math>
이다.<ref name="FHM"/>{{rp|§9}} 다음 표현은 위와 [[동치]]이다.
:<math>(\hat S,\hat S)=2i\hbar\Delta\hat S</math>
이다. 이를 전개하면
:<math>(\hat S^{(0)},\hat S^{(0)})=0</math>
:<math>(\hat S^{(0)},\hat S^{(1)})=i\Delta \hat S^{(0)}</math>
:<math>(\hat S^{(0)},\hat S^{(2)})+\frac12(\hat S^{(1)},\hat S^{(1)})=i\Delta \hat S^{(1)}</math>
등등의 일련의 식들을 얻는다. 이 가운데 처음 방정식이 고전 으뜸 방정식이다.

피적분량 <math>X</math>를 위와 같이 게이지 고정시켜 경로 적분한다고 하자. 이 적분이 게이지 고정 페르미온의 선택에 의존하지 않으려면, 그 바탈린-빌코비스키 라플라스 연산자가 0이어야 한다.<ref name="GPS"/>{{rp|§6.1}} 따라서, 연산자를 삽입하지 않은 경로 적분
:<math>\int\exp(iS/\hbar)</math>
를 고려하면 양자 으뜸 방정식
:<math>\Delta\exp(iS/\hbar)=0</math>
이 만족되어야 함을 알 수 있다. 연산자 <math>O</math>가 삽입된 경로 적분의 경우, 마찬가지로
:<math>(W,O)=i\hbar\Delta O</math>
가 성립해야 한다. 이는 [[스토크스 정리]]와 유사하게 생각할 수 있다. 즉, 경로 공간(장들의 무한 차원 [[짜임새 공간]]) 위에서, <math>\exp(iS/\hbar)</math>를 [[다중벡터]](multivector)로 생각하자. 경로 적분의 측도 <math>D\Phi</math>를 짜임새 공간 위의 미분형식으로 생각하면, <math>D\Phi\,\exp(iS/\hbar)</math>는 경로 공간 위의 미분형식이고, 그 [[외미분]]은 바탈린-빌코비스키 연산자 <math>\Delta</math>이다. 즉, Δ-코호몰로지에서는 [[부분적분]]에 따라, 임의의 부분공간 <math>N</math> 위의 적분은
:<math>\int_N \Delta X=0</math>
이고, 또한 만약 <math>\Delta Y=0</math>이라면
:<math>\int_N Y</math>
는 <math>N</math>의 무한소 변화에 의존하지 않는다 (즉, <math>N</math>의 [[호몰로지류]]에만 의존한다). 게이지 이론의 양자화에서는 <math>D\Phi\,O\exp(iS/\hbar)</math>가 닫혀 있다면, 경로 적분은 게이지 고정의 변화에 의존하지 않는다.

== 예 ==
=== 양-밀스 이론 ===
로런츠 지표는 <math>\mu,\nu,\dots</math>로, 게이지 리 대수 지표는 <math>a,b,\dots</math>로 쓰자.

비가환 [[양-밀스 이론]]의 경우, 게이지장 <math>A^a_\mu</math>는 다음과 같은 게이지 대칭을 가진다.
:<math>\delta A^a_\mu=\partial_\mu\epsilon^a+gf^{abc}A_\mu^b\epsilon^c</math>
따라서, 이에 대응하는 반가환 유령장 <math>c^a</math> 및 반대장 <math>\phi^*_a</math>, <math>c^*_a</math>가 존재한다. 작용
:<math>S_0=-\frac14\int d^dx\,F^2</math>
에 유령항들을 추가하면 다음과 같은 BRST 불변 작용을 얻는다.<ref name="GPS"/>{{rp|§5.2}}
:<math>S=S_0+\int d^dx\, A_a^{*\mu}D_\mu c^a+\frac12\int d^dx\,c_a^*f^a{}_{bc}c^bc^c </math>
게이지 고정을 위해, 유령수 −1의 페르미온 <math>\bar c_a</math>와 유령수 0의 보손 <math>b_a</math>를 추가하고, 작용에 다음과 같은 보조장항을 더하자.<ref name="FHM"/>{{rp|§6}}
:<math>S'=S-i\int d^dx\,\bar c^{*a}b_a</math>
그렇다면 게이지 고정 페르미온
:<math>\psi=i\int d^dx\,\bar c_a\left(\partial^\mu A_\mu^a+\xi b^a/2\right)</math>
를 삽입한다. 여기서 <math>\xi</math>는 임의의 상수다. 이렇게 하여 반대장들을 치환하면, 다음과 같은 게이지 고정 작용을 얻는다.
:<math>S=\int d^dx\,\left(-\frac14F^2-i\partial^\mu\bar c_aD_\mu c^a+\left(\partial^\mu A^a_\mu+\xi b^a/2\right)b_a\right)</math>
{| class="wikitable"
|-
! 장 !! 기호 !! 통계 !! 유령수
|-
| 게이지 장 || <math>A^a_\mu</math> || + || 0
|-
| 게이지 반대장 || <math>A^{*\mu}_a</math> || − || −1
|-
| 유령장 || <math>c^a</math> || − || 1
|-
| 유령 반대장 || <math>c^*_a</math> || + || −2
|-
| [[보조장]] || <math>b_a</math> || + || 0
|-
| 보조 반대장 || <math>b^*_a</math> || − || −1
|-
| 보조 유령장 || <math>\bar c^a</math> || − || −1
|-
| 보조 유령 반대장 || <math>\bar c^*_a</math> || + || 0
|}

=== 미분형식 전기역학 ===
''p''차 [[미분형식 전기역학]]의 경우, ''p''차 미분형식 게이지 퍼텐셜 <math>A^{(p)}</math>는 다음과 같은 게이지 변환들을 가진다.
:<math>\frac{\delta A^{(p)}}{\delta\epsilon^{(p-1)}}=d\epsilon^{(p-1)}</math>
:<math>\frac{\delta\epsilon^{(p-1)}}{\delta\epsilon^{(p-2)}}=d\epsilon^{(p-2)}</math>
:⋮
:<math>\frac{\delta\epsilon^{(1)}}{\delta\epsilon^{(0)}}=d\epsilon^{(0)}</math>
여기서 <math>\epsilon^{(k)}</math>는 <math>k</math>차 [[미분형식]]이다. 따라서, 다음과 같은 유령장들과 반대장들이 존재한다.
{| class="wikitable"
|-
! 장 !! 기호 !! 통계 !! 유령수
|-
| 게이지 장 || <math>A^{(p)}</math> || + || 0
|-
| 유령장 || <math>c^{(k)}</math> || − || ''p''−''k''
|-
| 게이지 반대장 || <math>A^{*(p)}</math> || − || −1
|-
| 유령 반대장 || <math>c^{*(k)}</math> || + || ''k''−''p''−1
|}
유령항을 추가한 작용은 다음과 같다.<ref name="GPS"/>{{rp|§5.5}}
:<math>S=\int d^dx\,\left(-\frac12F^{(p+1)}\wedge*F^{(p+1)}+*A^{*(p)}\wedge dc^{(p-1)}
+\sum_{k=0}^{p-2}*c^{*(k+1)}\wedge dc^{(k)}
\right)</math>

== 역사 ==
이고리 아니톨리예비치 바탈린({{llang|ru|И́горь Анато́льевич Бата́лин}})과 그리고리 알렉산드로비치 빌코비스키({{llang|ru|Григо́рий Александро́вич Вилковы́ский}})가 [[초중력]]을 양자화하기 위해 도입하였다.<ref>{{저널 인용 |first=I. A. |last=Batalin|공저자=G. A. Vilkovisky |title=Gauge algebra and quantization|저널=Physics Letters B |권=102 |날짜=1981-06-04 |호=1 |쪽=27–31 |doi=10.1016/0370-2693(81)90205-7 |bibcode = 1981PhLB..102...27B|언어=en }}</ref><ref>{{저널 인용 |first=I. A. |last=Batalin |공저자=G. A. Vilkovisky |제목=Quantization of gauge theories with linearly dependent generators |journal=Physical Review D |volume=28 |날짜=1983-11-15 |호=10 |쪽=2567–2582 |doi=10.1103/PhysRevD.28.2567 |bibcode = 1983PhRvD..28.2567B|언어=en }} 오류 정정 {{저널 인용 |first=I. A. |last=Batalin |공저자=G. A. Vilkovisky |title=Erratum: Quantization of gauge theories with linearly dependent generators |journal=Physical Review D|권=30|호=2|날짜=1984-07-15|쪽=508–508|doi=10.1103/PhysRevD.30.508|bibcode=1984PhRvD..30..508B|언어=en}}</ref> 이후 바탈린-빌코비스키 양자화는 닫힌 [[끈 장론]] 등을 양자화하는 데 쓰였다.

== 같이 보기 ==
* [[거스틴해버 대수]]

== 각주 ==
{{각주}}
* {{저널 인용|제목=How to derive Feynman diagrams for finite-dimensional integrals directly from the BV formalism|이름=Owen|성=Gwilliam|공저자=Theo Johnson-Freyd|arxiv=1202.1554|bibcode=2012arXiv1202.1554G|날짜=2012|언어=en}}
* {{저널 인용|이름=Albert|성=Schwarz|저자링크=알베르트 시바르츠|날짜=1993-07|제목=Geometry of Batalin-Vilkovisky quantization|url=https://archive.org/details/sim_communications-in-mathematical-physics_1993-07_155_2/page/n32|doi=10.1007/BF02097392|arxiv=hep-th/9205088|bibcode=1993CMaPh.155..249S|저널=Communications in Mathematical Physics|권=155|호=2|쪽=249–260|언어=en}}
* {{저널 인용|이름=M.|성=Alexandrov|공저자=[[막심 콘체비치|M. Kontsevich]], [[알베르트 시바르츠|A. Schwarz]], O. Zaboronsky|제목=The geometry of the master equation and topological quantum field theory|arxiv=hep-th/9502010|doi=10.1142/S0217751X97001031|bibcode=1997IJMPA..12.1405A|저널=International Journal of Modern Physics A|권=12|호=7|쪽=1405–1429|날짜=1997-03-20|언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{웹 인용|url=http://ncatlab.org/nlab/show/BV-BRST+formalism|제목=BV-BRST formalism|웹사이트=nLab|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://mathoverflow.net/questions/30352/what-is-the-batalin-vilkovisky-formalism-and-what-are-its-uses-in-mathematics|제목=What is the Batalin-Vilkovisky formalism, and what are its uses in mathematics?|출판사=MathOverflow|언어=en}}

[[분류:수리물리학]]
[[분류:양자장론]]
[[분류:대수]]
[[분류:심플렉틱 기하학]]