바일 지표 공식 문서 원본 보기

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[[리 군]] [[군 표현론|표현론]]에서 '''바일 지표 공식'''(Weyl指標公式, {{llang|en|Weyl character formula}})은 주어진 복소수 [[기약 표현]]의 지표를 제시하는 공식이다.

== 정의 ==
체 <math>K</math> 위의 [[리 대수]] <math>\mathfrak g</math>의 유한 차원 [[리 대수의 표현|표현]] <math>r\colon\mathfrak g\to\mathfrak{gl}(V;K)</math>의 '''지표'''(指標, {{llang|en|character}})는 다음과 같다.
:<math>\operatorname{ch}(V)\colon\mathfrak g\to K</math>
:<math>\operatorname{ch}(V)\colon x\mapsto\operatorname{tr}_K\exp(r(x))</math>
여기서 [[행렬 지수 함수]]를 취하는 것은 리 대수를 [[리 군]]으로 대응시키는 것이다.

이제, 다음과 같은 조건이 주어졌다고 하자.
* <math>K=\mathbb C</math>이다.
* <math>\mathfrak g</math>는 복소수 [[반단순 리 대수]]이며, 그 [[카르탕 부분 대수]]가 <math>\mathfrak h\cong\mathfrak g/[\mathfrak g,\mathfrak g]</math>이며, 그 [[바일 군]]은 <math>\operatorname{Weyl}(\mathfrak g)</math>이다. <math>\mathfrak g</math>의 [[양근 (수학)|양근]]들의 집합을 <math>\Delta^+(\mathfrak g)\subset\mathfrak h^*</math>라고 하자.
* <math>V</math>는 복소수 유한 차원 [[기약 표현]]이며, 그 [[최고 무게]]는 <math>\lambda\in\mathfrak h^*</math>이다.
바일 군의 원소 <math>w\in\operatorname{Weyl}(\mathfrak g)</math>는 카르탕 부분 대수 <math>\mathfrak h</math> 위에 [[군의 표현|표현]]
:<math>w\cdot\colon\mathfrak h\to\mathfrak h</math>
을 가진다. 이 표현의 [[행렬식]] <math>\det w</math>은 바일 군의 원소의 '''길이'''({{llang|en|length}})<math>\operatorname{length}w</math>와 관계되어 있다. 바일 군의 원소의 길이는 <math>w</math>의 표현을 [[단순근]]에 대한 반사들의 합성으로 구현하였을 때 필요한 최소 개의 반사의 수이며, 이 경우
:<math>\det w=(-1)^{\operatorname{length}(w)}</math>
이다.

그렇다면, '''바일 지표 공식'''은 다음과 같다.
:<math>\operatorname{ch}(V)\colon x\mapsto\left(\prod_{\alpha\in\Delta^+(\mathfrak g)}\frac1{2\sinh(\frac12\alpha(x))}\right)\sum_{w\in\operatorname{Weyl}(\mathfrak g)}(\det w)\exp\left(w\cdot(\lambda(x)+\frac12\sum_{\alpha\in\Delta^+(\mathfrak g)}\alpha(x))\right) </math>

== 특수한 경우 ==
=== 바일 차원 공식 ===
지표를 리 대수의 원소 0에서 계산한다면, 리 대수 표현의 차원을 얻는다. 바일 지표 공식에 <math>x=0</math>을 대입하면, 분모와 분자 둘 다 0이 되어 0/0을 얻으므로, 대신 <math>x\to0</math>인 [[극한]]을 취하고, [[로피탈의 정리]]를 사용하여  '''바일 차원 공식'''(Weyl次元公式, {{llang|en|Weyl dimension formula}})을 얻을 수 있다.
:<math> \dim V= \frac{\prod_{\alpha \in \Delta^+}(\lambda+\rho,\alpha)}{ \prod_{\alpha \in \Delta^+}(\rho,\alpha)}</math>
여기서
:<math>\rho=\frac12\sum_{\alpha\in\Delta^+}\alpha</math>
이다.

=== 바일 분모 공식 ===
자명한 1차원 표현의 지표는 항상 1이다. 바일 지표 공식을 자명한 1차원 표현에 대하여 적용하면, 다음과 같은 '''바일 분모 공식'''(Weyl分母公式, {{llang|en|Weyl denominator formula}})을 얻는다.
:<math>\prod_{\alpha\in\Delta^+(\mathfrak g)}2\sinh\left(\frac12\alpha(x)\right)=\sum_{w\in\operatorname{Weyl}(\mathfrak g)}
(\det w)
\prod_{\alpha\in\Delta^+(\mathfrak g)}
\exp\left(\frac12w\cdot\alpha(x)\right) </math>

== 예 ==
가장 간단한 복소수 [[단순 리 대수]]인 <math>\mathfrak a_1=\mathfrak{sl}(2;\mathbb C)</math>를 생각하자. [[카르탕 부분 대수]]가 1차원이므로, 편의상 [[복소평면]]과의 동형을 고를 수 있다. 이 경우, 바일 군은 2차 [[순환군]] <math>x\mapsto-x</math>이다. 그 [[근계]]는 두 개의 근을 가지며, 그 중 하나만이 [[양근 (수학)|양근]]이다. 긴 근의 길이는 <math>\sqrt2</math>이므로, [[기본 무게]]의 길이는 <math>1/\sqrt2</math>이다.

<math>\mathfrak{sl}(2;\mathbb C)</math>의 기약 표현들은 차원에 따라서 완전히 분류되며, 모든 양의 정수에 대하여 그 차원의 기약 표현이 존재한다. <math>n</math>차원 기약 표현의 [[최고 무게]]는 기본 무게의 <math>(n-1)</math>배이다. 따라서, <math>n</math>차원 표현에 바일 지표 공식을 적용하면 다음과 같다.
:<math>\operatorname{ch}_n(x)=\frac1{2\sinh(x/\sqrt2))}\left(\exp(nx/\sqrt2)
-\exp(-nx/\sqrt2)\right)
=\frac{\sinh(nx/\sqrt2)}{\sinh(x/\sqrt2))}</math>
이다. <math>x\to0</math> 극한을 취하면, 바일 차원 공식
:<math>\lim_{x\to0}\operatorname{ch}_n(x)=n</math>
을 얻는다.

== 역사 ==
[[헤르만 바일]]이 발견하였다.<ref>{{저널 인용 | last=Weyl | first=Hermann | authorlink=헤르만 바일 | title=Theorie der Darstellung kontinuierlicher halb-einfacher Gruppen durch lineare Transformationen I | doi=10.1007/BF01506234 | year=1925 | journal=Mathematische Zeitschrift | issn=0025-5874 | volume=23 | pages=271–309|언어=de}}</ref><ref>{{저널 인용 | last=Weyl | first=Hermann | authorlink=헤르만 바일 | title=Theorie der Darstellung kontinuierlicher halb-einfacher Gruppen durch lineare Transformationen II  | doi=10.1007/BF01216788 | year=1926 | journal=Mathematische Zeitschrift | issn=0025-5874 | volume=24 | pages=328–376|언어=de}}</ref><ref>{{저널 인용 | last=Weyl | first=Hermann | authorlink=헤르만 바일 | title=Theorie der Darstellung kontinuierlicher halb-einfacher Gruppen durch lineare Transformationen III | doi=10.1007/BF01216789 | year=1926 | journal=Mathematische Zeitschrift | issn=0025-5874 | volume=24 | pages=377–395|언어=de}}</ref>

== 같이 보기 ==
* [[군 표현의 지표]]
== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Weyl-Kac character formula}}
* {{nlab|id=Weyl character formula}}
* {{nlab|id=Kac character formula}}
* {{nlab|id=Kac-Weyl character}}
* {{수학노트|title=바일 지표 공식 (Weyl character formula)}}
* {{수학노트|title=바일 차원 공식(Weyl dimension formula)}}
* {{수학노트|title=프로이덴탈 중복도 공식 (Freudenthal multiplicity formula)}}

{{전거 통제}}

[[분류:리 군]]
[[분류:표현론]]