바이첸뵈크 부등식 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[파일:LabeledTriangle.svg|섬네일|바이첸뵈크 부등식]]
[[기하학]]에서 '''바이첸뵈크 부등식'''({{llang|en|Weitzenböck’s inequality}})은 삼각형의 세 변의 길이의 제곱의 합과 넓이 사이에 성립하는 부등식이다.

== 정의 ==
삼각형 <math>ABC</math>의 꼭짓점 <math>A</math>, <math>B</math>, <math>C</math>의 대변의 길이를 <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math>라고 하고, 넓이를 <math>S</math>라고 하자. 그렇다면 다음 부등식이 성립하며, 이를 '''바이첸뵈크 부등식'''이라고 한다.<ref name="Honsberger">{{서적 인용
|성=Honsberger
|이름=Ross
|제목=Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry
|언어=en
|총서=New Mathematical Library
|권=37
|출판사=The Mathematical Association of America
|위치=Washington
|날짜=1995
|isbn=0-88385-639-5
}}</ref>{{rp|104, §10.2}}
:<math>a^2+b^2+c^2\ge 4\sqrt 3S</math>
등호가 성립될 필요 충분 조건은 [[정삼각형]]이다.

사실
:<math>\frac{a^2+b^2+c^2}{4S}</math>
는 삼각형 <math>ABC</math>의 [[브로카르 각]]의 코탄젠트 값과 같다. 따라서 바이첸뵈크 부등식은 모든 삼각형의 브로카르 각이 <math>30^\circ</math> 이하이며, 정확히 <math>30^\circ</math>일 필요 충분 조건은 정삼각형이라는 명제와 동치이다.

== 증명 ==
=== 증명 1 ===
[[헤론의 공식]]
:<math>S=\frac{\sqrt{(a+b+c)(b+c-a)(a-b+c)(a+b-c)}}4</math>
에 따라 다음과 같이 증명할 수 있다.
:<math>\begin{align}
(a^2+b^2+c^2)^2-(4\sqrt 3S)^2
& =(a^2+b^2+c^2)^2-3(a+b+c)(b+c-a)(a-b+c)(a+b-c) \\
& =(a^4+b^4+c^4)+2(a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2)-3(2(a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2)-(a^4+b^4+c^4)) \\
& =4(a^4+b^4+c^4)-4(a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2) \\
& =2((a^2-b^2)^2+(a^2-c^2)^2+(b^2-c^2)^2) \\
& \ge 0
\end{align}</math>
마지막 부등식에서 등식이 성립할 필요 충분 조건은 <math>a=b=c</math>이므로, 바이첸뵈르크 부등식에서 등식이 성립할 필요 충분 조건은 정삼각형이다.

=== 증명 2 ===
편의상 <math>A\le B\le C</math>라고 하자. 꼭짓점 <math>C</math>를 지나는 대변 <math>AB</math>의 수선의 발을 <math>D</math>라고 하자. 그렇다면 [[피타고라스 정리]]에 따라
:<math>\begin{align}
a^2+b^2+c^2
& =(c-AD)^2+CD^2+AD^2+CD^2+c^2 \\
& =2(AD^2+c^2-AD\cdot c+CD^2) \\
& =2\left(\left(AD-\frac c2\right)^2+\left(\frac{\sqrt 3}2c-CD\right)^2+\sqrt 3c\cdot CD\right) \\
& \ge 2\sqrt 3c\cdot CD \\
& =4\sqrt 3S
\end{align}</math>
등식이 성립할 필요 충분 조건은
:<math>AD=\frac c2</math>
:<math>\frac{\sqrt 3}2c=CD</math>
이며, 이는 정삼각형과 동치이다.

== 역사 ==
[[오스트리아]]의 수학자 롤란트 바이첸뵈크({{llang|de|Roland Weitzenböck}})의 이름을 땄다.

== 각주 ==
{{각주}}

== 같이 보기 ==
* [[하트비거-핀슬러 부등식]]

== 외부 링크 ==
* {{매스월드|id=WeitzenboecksInequality|제목=Weitzenböck’s inequality}}

[[분류:삼각 기하학]]
[[분류:기하부등식]]