바이어슈트라스 타원함수 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[파일:Weierstrass elliptic function P.png|섬네일|right|바이어슈트라스 타원함수의 그래프. <math>(g_2,g_3)=(1+i,2-3i)</math>인 경우이며, 이 경우 주기는 <math>(\omega_1,\omega_2)\approx(0.79+2.26i,2.44+0.31i)</math>이다. 흰색은 극점, 검은색은 영점을 나타낸다.]]
'''바이어슈트라스 타원함수'''(Weierstraß楕圓函數, {{llang|en|Weierstrass elliptic function}})는 [[타원함수]]의 하나다. [[타원곡선]]의 연구에 중요한 역할을 한다. 기호는 <math>\wp</math>.

== 정의 ==
'''바이어슈트라스 타원함수''' <math>\wp(z;\omega_1,\omega_2)</math>는 주기에 대한 격자합으로, 또는 이를 정의하는 [[미분 방정식]]으로 정의할 수 있다.

=== 격자합 ===
<math>z\in\mathbb C</math>, <math>\tau\in\mathbb H/\operatorname{PSL}(2;\mathbb Z)</math>에 대하여, '''바이어슈트라스 타원함수''' <math>\wp(z;\tau)</math>는 다음과 같다.
:<math>\wp(z;\tau)=\frac1{z^2}+\sum_{(m,n)\ne(0,0)}\left(\frac1{(z+m+\tau n)^2}-\frac1{(m+\tau n)^2}\right)</math>
타원곡선 모듈러스 <math>\tau</math> 대신 격자 주기 <math>\omega_1,\omega_2</math>를 써서 다음과 같이 <math>\wp(z;\omega_1,\omega_2</math>)를 정의하기도 한다.
:<math>\wp(z;\omega_1,\omega_2)=\frac1{z^2}+\sum_{(m,n)\ne(0,0)}\left(\frac1{(z+m\omega_1+n\omega_2)^2}-\frac1{(m\omega_1+n\omega_2)^2}\right)=\omega_1^{-2}\wp(z/\omega_1;\omega_2/\omega_1)</math>

=== 미분 방정식 ===
바이어슈트라스 타원함수는 다음과 같은 [[미분 방정식]]을 만족시킨다.
:<math>\wp'(z;\omega_1,\omega_2)^2=4\wp(z;\omega_1,\omega_2)^3-g_2(\omega_1,\omega_2)\wp(z;\omega_1,\omega_2)-g_3(\omega_1,\omega_2)</math>
여기서 <math>\wp'(z;\omega_1,\omega_2u)={{\partial \wp(z;\omega_1,\omega_2)}\over{\partial z}}</math>이다. <math>g_2</math>와 <math>g_3</math>는 '''타원 불변량'''({{llang|en|elliptic invariant}})이라고 불리는 [[모듈러 형식]]이며, 이는 주기 <math>(\omega_1,\omega_2)</math>와 다음과 같은 관계를 가진다.
:<math>g_2(\omega_1,\omega_2)=60\sum_{(m,n)\ne(0,0)}(m\omega_1+n\omega_2)^{-4}</math>
:<math>g_3(\omega_1,\omega_2)=140\sum_{(m,n)\ne(0,0)}(m\omega_1+n\omega_2)^{-6}</math>
이는 [[타원곡선]]의 방정식이다. 즉, 다음과 같은 함수
:<math>f\colon\mathbb C/\Lambda\to\mathbb{CP}^2</math>
:<math>f\colon z\mapsto[1,\wp(z;\tau),\wp'(z;\tau)]</math>
를 정의하면, 이는 [[원환면]] <math>\mathbb C/\Lambda</math>로부터 타원곡선 <math>y^2=4x^3-g_2x-g_3</math>으로 가는, [[복소다양체]]의 [[동형사상]]을 이룬다. 여기서 <math>\Lambda</math>는 <math>\tau</math>에 대한 [[격자]]
:<math>\Lambda=\{m+n\tau\colon m,n\in\mathbb Z\}</math>
이다. 이에 따라서, 복소 타원곡선은 위상수학적으로 [[원환면]]임을 알 수 있다.

== 성질 ==
바이어슈트라스 타원함수는 [[타원함수]]이므로, 다음과 같은 [[주기함수|주기성]]을 가진다. 임의의 <math>n_1,n_2\in\mathbb Z</math>에 대하여,
:<math>\wp(z;\omega_1,\omega_2)=\wp(z+n_1\omega_1+n_2\omega_2;\omega_1,\omega_2)</math>
또한, 모듈러 매개변수 <math>\tau</math>에 대해서는 [[모듈러 함수]]의 성질을 가진다.
:<math>\wp(z;\tau)=\wp(z;\tau+1)=\wp(z;-1/\tau)</math>
또한, 바이어슈트라스 타원함수는 [[짝함수]]이며, 그 도함수는 [[홀함수]]이다.
:<math>\wp(z;\omega_1,\omega_2)=\wp(-z;\omega_1,\omega_2)</math>
:<math>\wp;(z;\omega_1,\omega_2)=-\wp'(-z;\omega_1,\omega_2)</math>

바이어슈트라스 타원함수 <math>\wp(-;\omega_1,\omega_2)</math>는 [[타원 곡선]] <math>\mathbb C/\langle\omega_1,\omega_2\rangle</math>에서 [[리만 구면]] <math>\hat{\mathbb C}</math>로 가는 2겹 [[분지 피복]]을 정의한다. 이 경우, [[리만-후르비츠 공식]]에 따라 총 4개의 분지점이 존재하며, 이들은 타원 곡선의 2차 [[꼬임 부분군]]이다. 분지점에서의 값들은 (무한대를 제외하고) 통상적으로 <math>e_1,e_2,e_3</math>이라고 쓰며,  다음과 같다.
:<math>\widehat\infty=\wp(0;\omega_1,\omega_2)</math>
:<math>e_1(\omega_1,\omega_2)=\wp(\omega_1/2;\omega_1,\omega_2)</math>
:<math>e_2(\omega_1,\omega_2)=\wp(\omega_2/2;\omega_1,\omega_2)</math>
:<math>e_3(\omega_1,\omega_2)=\wp(\omega_1/2+\omega_2/2;\omega_1,\omega_2)</math>

=== 덧셈 공식 ===
[[삼각함수]]나 [[야코비 타원함수]]와 마찬가지로, 바이어슈트라스 타원함수는 다음과 같은 '''덧셈 공식'''({{llang|en|addition formula}})을 만족시킨다.
:<math>
\wp(z+y)=\frac14\left(
\frac{\wp'(z)-\wp'(y)}{\wp(z)-\wp(y)}
\right)^2
-\wp(z)-\wp(y)</math>
만약 <math>z=y</math>인 경우, 위 공식에 [[극한]]을 취해 다음과 같은 공식을 얻는다.
:<math>\wp(2z)=\frac14\left(\frac{\wp''(z)}{\wp'(z)}\right)^2-2\wp(z)</math>

=== 야코비 타원함수와의 관계 ===
바이어슈트라스 타원함수는 [[야코비 타원함수]]로 나타낼 수 있으며, 다음과 같다.
:<math>\wp(z)=e_3+\frac{e_1-e_3}{\operatorname{sn}^2(w;m)}=e_2+ \left(e_1-e_3\right) \frac{\operatorname{dn}^2(w;m)}{\operatorname{sn}^{2}(w;m)}
= e_{1} + \left( e_1-e_3 \right) \frac{\operatorname{cn}^2(w;m)}{\operatorname{sn}^2(w;m)}
</math>
여기서
:<math>w=z\sqrt{e_1-e_3}</math>
:<math>m=(e_2-e_3)/(e_1-e_3)</math>
이다.

=== 역함수 ===
바이어슈트라스 타원함수가 따르는 미분 방정식을 적분하면, 바이어슈트라스 타원함수의 [[역함수]]는 다음과 같은 [[타원적분]]임을 알 수 있다.
:<math>u=\int_{\wp(u;\tau)}^\infty\frac{ds}{\sqrt{4s^3-g_2(\tau)s-g_3(\tau)}}</math>
이는 [[리만 구면]]에서 [[타원곡선]]으로 가는 사상으로 볼 수 있으며, <math>\{e_1,e_2,e_3,\widehat\infty\}</math>에서 [[분지절단|분지점]]을 갖는다.

== 역사 ==
[[카를 바이어슈트라스]]가 1862년 [[베를린 대학교]]에서의 [[타원함수]]에 대한 강의에서 정의하였다. 이는 기존의 [[야코비 타원함수]]들의 복잡한 이론을 하나의 함수만을 사용하여 단순화시킨 것이다.

== 같이 보기 ==
* [[바이어슈트라스 제타 함수]]
* [[j-불변량|<math>j</math>-불변량]]

== 참고 문헌 ==
* {{저널 인용|arxiv=0711.4064|title= A primer on elliptic functions with applications in classical mechanics|first=Alain J.|last=Brizard|bibcode=2007arXiv0711.4064B|언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Weierstrass elliptic functions}}
* {{매스월드|id=WeierstrassEllipticFunction|title=Weierstrass elliptic function}}

[[분류:타원함수]]
[[분류:모듈러 형식]]