바이어슈트라스 에타 함수 문서 원본 보기

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'''바이어슈트라스 에타 함수'''(Weierstrass Eta Function) <math>\eta \;</math>는

[[홀함수와 짝함수|홀함수]](odd function)의 성질을 갖는 [[바이어슈트라스 제타 함수]](Weierstrass Eta Function)<math>\zeta(z)</math>와
:[[홀함수와 짝함수|짝함수]](even function)의 성질을 갖는 [[바이어슈트라스 타원 함수]]를 연관 시킬때,
:<math>\wp (z+ 2 \omega_1)= \wp(z)</math>로 부터
:<math>\zeta (z+ 2 \omega_1)= \zeta(z) + 2 \eta_1 </math>에서,
보여지는 [[특수 함수]]이다.
:<math> z =  -\omega_1 </math>를 예약하면,
:<math>\zeta(z) + 2 \eta_1 = \zeta(-\omega_1) + 2 \eta_1  </math>
:<math>\zeta(-\omega_1) + 2\eta_1 = -\zeta(\omega_1)+2 \eta_1 </math> 이고,
그리고,
:<math>\zeta (z+ 2 \omega_1)= \zeta (z)+ 2 \zeta ( \omega_1)= \zeta (-\omega_1)+ 2 \zeta ( \omega_1)</math>
따라서,
:<math>  \zeta (-\omega_1)+ 2 \zeta ( \omega_1)   = -\zeta(\omega_1)+2 \eta_1 </math>
:<math> - \zeta (\omega_1)+ 2 \zeta ( \omega_1)   = -\zeta(\omega_1)+2 \eta_1 </math>
:<math> - \zeta (\omega_1) +\zeta(\omega_1)+ 2 \zeta ( \omega_1)   =2 \eta_1 </math>
:<math>  2 \zeta ( \omega_1)   =2 \eta_1 </math>
:<math>   \zeta ( \omega_1)   = \eta_1 </math>
따라서,
:<math>\eta_1 = \zeta(\omega_1) </math>
그리고 또한,
:<math>\zeta (z+ 2 \omega_2)= \zeta(z) + 2 \eta_2 </math>에서,
:<math> z =  -\omega_2 </math>를 예약하면,
:<math>\zeta(z) + 2 \eta_2 = \zeta(-\omega_2) + 2 \eta_2  </math>
:<math>\zeta(-\omega_2) + 2\eta_2 = -\zeta(\omega_2)+2 \eta_2 </math> 이고,
그리고,
:<math>\zeta (z+ 2 \omega_2)= \zeta (z)+ 2 \zeta ( \omega_2)= \zeta (-\omega_2)+ 2 \zeta ( \omega_2)</math>
따라서,
:<math>  \zeta (-\omega_2)+ 2 \zeta ( \omega_2)   = -\zeta(\omega_2)+2 \eta_2 </math>
:<math> - \zeta (\omega_2)+ 2 \zeta ( \omega_2)   = -\zeta(\omega_2)+2 \eta_2 </math>
:<math> - \zeta (\omega_2) +\zeta(\omega_2)+ 2 \zeta ( \omega_2)   =2 \eta_2 </math>
:<math>  2 \zeta ( \omega_2)   =2 \eta_2 </math>
:<math>   \zeta ( \omega_2)   = \eta_2 </math>
따라서,
:<math>\eta_2 = \zeta(\omega_2) </math>

바이어슈트라스 에타 함수는 [[데데킨트 에타 함수]], [[디리클레 에타 함수]]와 다른 함수이므로 혼동하지 않게 주의해야 한다.

== 바이어슈트라스 에타 함수와 오메가2 상수 ==
바이어슈트라스 에타 함수와 오메가2 상수<ref>http://mathworld.wolfram.com/Omega-2Constant.html</ref>
:<math>\eta_1 \omega_2 - \eta_2 \omega_1 = {1 \over 2} \pi i  \qquad</math>
:<math>\omega_2 = {{\Gamma^3 \left( {1 \over 3} \right)}\over{4 \pi}}</math>
:<math> \qquad = 1.529954037.... \qquad (OEIS A064582) \qquad \Gamma(z)</math>는 [[감마 함수]]
:<math>\omega_1 = {1\over2} \omega_2 \left( 1 + i \sqrt{3} \right) </math>
:<math>\qquad = { {  \left(1 + i \sqrt{3} \right)  \Gamma^3 \left( {1 \over 3} \right)}\over{8 \pi}}</math>
:<math>\qquad = 0.764977....+ (1.32497903....) i</math><math>\qquad (OEIS A094961, A094962)</math>

== 바이어슈트라스 함수 패밀리(family) ==
* [[바이어슈트라스 시그마 함수]]
* 바이어슈트라스 에타 함수
* [[바이어슈트라스 제타 함수]]
* [[바이어슈트라스 P-함수]]
* [[바이어슈트라스 타원 함수]]

== 같이 보기 ==
* [[아이젠슈타인 열]]
* [[아이젠슈타인 정수]]
* [[바이어슈트라스 함수]]
* [[타원함수]]
* [[오메가 상수]]
* [[세타함수#야코비 세타 함수|야코비 세타 함수]]

== 각주 ==
<references/>

[[분류:특수 함수]]
[[분류:타원함수]]