바이어슈트라스의 곱 정리 문서 원본 보기

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'''바이어슈트라스의 곱 정리'''(Weierstrass product theorem) 혹은 '''바이어슈트라스 분해정리'''(Weierstrass factorization theorem)란 [[해석학 (수학)|해석학]]의 [[정리]]로서, 19세기에 [[복소해석학]]이 이룬 괄목할 만한 성과 중 하나로 간주된다. [[카를 바이어슈트라스]](Karl Theodor Wilhelm Weierstraß)가 제출한 이 정리는 다음과 같이 표현된다:
* (존재성) 극점이 존재하지 않는 [[복소수]] [[수열]]이 주어지면, 이 점들만 영점으로 가지는 [[정칙함수|전해석함수]]가 최소 하나 존재한다.
* (부분적 경우의 구성) 주어진 0이 아닌 수열 <math>(a_n)</math>에 대하여, 하나의 전해석함수는 다음과 같다.
:<math>f(z) = \prod_{n=1}^\infty{e^{P_n(z)} \left( 1 - \frac{z}{a_n} \right)}</math>&nbsp;&nbsp;<math>\left( \mbox{for }P_n(z) = \sum_{k=1}^\infty{\frac{1}{k} \left( \frac{z}{a_n} \right)^{k}} \right)</math>

== 증명 ==
간단한 형태의 구성 방법 [[증명]]만 다룬다. 좀 더 포괄적인 [[존재성]]에 관한 증명은 여기에서는 생략한다.
=== 구성 ===
* <math>|z|\le R<2R\le |a_n|</math>이면 <math>P_n(z)</math>는,
:<math>\left| P_n(z) + \log \left( 1-\frac{z}{a_n} \right) \right| \le 2 \left| \frac{z}{a_n} \right| ^{n+1} \le \frac{1}{2^n}</math>을 만족한다.
* 다시 말해서 충분히 큰 M에 대하여 <math>2R\le |a_M|</math>이면,
:<math>\sum_{n=M}^\infty{\left|P_n(z)+\log\left(1-\frac{z}{a_n}\right)\right|} \le \sum_{n=M}^\infty {\frac{1}{2^{n}}}<1</math>이다.
* 그러므로 [[바이어슈트라스 M-판정법]]에 의하여, <math>f(z)=\prod_{n=1}^\infty{e^{P_n(z)}\left(1-\frac{z}{a_n}\right)}</math>는 임의의 폐집합에서 [[균등수렴]]하게 된다. 그런데 [[바이어슈트라스의 균등수렴 정리]]에 의하여, 이 조건에서 <math>f</math>는 그 [[폐집합]] <math>D</math>에서 [[정칙]]이다. 따라서 <math>f(z)</math>는 <math>(a_n)</math>의 모든 점들만 [[영점]]으로 가지는 전해석함수이다.

== 일반화 ==
'''[[미타그레플레르 정리]]'''를 이용하여 바이어슈트라스의 곱 정리를 다음과 같이 일반화할 수 있다.
* 정리 : <math>(a_n)</math>을 <math>\infty</math> 로 발산하는 서로 다른 복소수들의 수열이며 <math>(b_n)</math>은 임의의 복소수열이라 하자. 그러면 모든 자연수 <math>n</math>에 대하여 <math>f(a_n)=b_n</math> 을 만족하는 전해석함수 <math>f</math>가 적어도 하나 존재한다.

== 참고 문헌 ==
* 고석구, 『복소해석학개론(2판)』, 경문사, 2005
* 강승필, 『해설 복소함수론』, 경문사, 2007

== 같이 보기 ==
* [[쿠쟁 문제]]
* [[미타그레플레르 정리]]

{{전거 통제}}

[[분류:복소해석학 정리]]