민코프스키 정리 문서 원본 보기

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[[수론]]에서 '''민코프스키 정리'''({{llang|en|Minkowski’s theorem}})는 볼록집합이 어떤 격자점을 포함할 충분조건에 대한 정리다.

== 정의 ==
격자 <math>L\subset\mathbb R^n</math>과 [[볼록집합]] <math>S\subset\mathbb R^n</math>이 주어졌다고 하자. 또한, <math>S=-S</math>라고 하자 (즉, <math>S</math>는 원점에 대하여 대칭이다). '''민코프스키 정리'''에 따르면, 만약
:<math>\operatorname{vol}(S)>2^n\det L</math>
이라면 <math>S\cap L\ne\varnothing</math>이다. 즉, <math>S</math>는 적어도 하나의 격자점을 포함한다.

== 응용 ==
민코프스키 정리는 [[수체]]의 유수(class number)에 대한 [[민코프스키 상계]](Minkowski bound)의 증명에 등장한다. 이에 따라서 수체의 유수가 항상 유한함을 보일 수 있다.

또한, 민코프스키 정리는 [[라그랑주 네 제곱수 정리]]의 증명에도 등장한다.

== 역사 ==
[[헤르만 민코프스키]]가 1896년 증명하였다.<ref>H. Minkowski, ''Geometrie der Zahlen''.</ref>

== 같이 보기 ==
* [[픽 정리]]
* [[디리클레 가역원 정리]]
== 각주 ==
{{각주}}
* {{서적 인용|
author=Enrico Bombieri|공저자=Walter Gubler
|title=Heights in Diophantine Geometry
|publisher=Cambridge U. P.
|year=2006}}
* John Horton Conway, N. J. A. Sloane, ''Sphere Packings, Lattices and Groups'', Springer-Verlag, NY, 3rd ed., 1998.
* Edmund Hlawka, Johannes Schoißengeier, Rudolf Taschner. ''Geometric and Analytic Number Theory''. Universitext. Springer-Verlag, 1991.
* Wolfgang M. Schmidt.''Diophantine approximations and Diophantine equations'', Lecture Notes in Mathematics, Springer Verlag 2000.
* {{서적 인용
  | 성 = Siegel | 이름= Carl Ludwig
  | authorlink = 카를 루트비히 지겔
  | title = Lectures on the Geometry of Numbers
  | url = https://archive.org/details/lecturesongeomet0000sieg | year = 1989
  | publisher = Springer-Verlag}}
* Rolf Schneider, ''Convex bodies: the Brunn-Minkowski theory,'' Cambridge University Press, Cambridge, 1993.

== 외부 링크 ==
* {{springer|제목=Minkowski theorem|성=Malyshev|이름=A.V.}}
* {{플래닛매스|urlname=MinkowskisTheorem|제목=Minkowski's theorem}}

[[분류:수론]]
[[분류:수론 정리]]
[[분류:헤르만 민코프스키]]
[[분류:볼록 해석]]