미타그레플레르 정리 문서 원본 보기

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[[복소해석학]]에서 '''미타그레플레르 정리'''(-定理, {{llang|en|Mittag-Leffler's theorem}})는 [[유리형 함수]]에 관한 정리이다. [[스웨덴]]의 수학자 [[예스타 미타그레플레르]]가 제시하였다. [[바이어슈트라스의 곱 정리]]와 밀접한 관련이 있다.

== 공식화 ==
미타그레플레르 정리는 일반적으로 다음과 같이 쓸 수 있다.<ref>강승필, 《해설 복소함수론》, 경문사, 2007, 205쪽.</ref><ref>Elias M. Stein, Rami Shakarchi (2003), ''Complex Analysis'', Princeton University Press, p.156.</ref>

* <math>\{b_n\}</math>이 무한대로 발산하는 임의의 [[수열]], <math>\{k_n\}</math>이 임의의 [[자연수]]열, <math>\{a_i^n\}</math>이 n에 대한 임의 수열들이며 모든 n에 대해 <math>a_{k_n}^n</math>이 0이 아니라 하자.
* 그러면, 각 <math>\{b_n\}</math>이 [[위수 (수학)|위수]]가 <math>\{k_n\}</math>인 [[극점 (복소해석학)|극점]]이 되고 <math>\{b_n\}</math>의 [[제거된 근방]]에서 [[로랑 급수]]의 주부분이 <math>p_n(\frac{1}{z-b_n}) = \frac{a_1^n}{z-b_n} + \frac{a_2^n}{(z-b_n)^2} + ... + \frac{a_{k_n}^n}{(z-b_n)^{k_n}}</math>인 [[유리형 함수]]가 존재한다.

== 복소다양체에서의 미타그레플레르 정리 ==
<math>M</math>이 [[복소다양체]]라고 하자. 그 위에 <math>\mathcal O</math>가 [[정칙 함수]]의 층이며, <math>\mathcal K</math>가 [[유리형 함수]]의 층이라고 하자. 그렇다면, 층의 [[짧은 완전열]]
:<math>0\to\mathcal O\to\mathcal K\to\mathcal K/\mathcal O\to0</math>
이 존재한다. 이로부터, [[층 코호몰로지]]의 [[긴 완전열]]
:<math>0\to H^0(M;\mathcal O)\to H^0(M;\mathcal K)\to H^0(M;\mathcal K/\mathcal O)\to H^1(M;\mathcal O)\to\cdots</math>
이 존재한다. 미타그레플레르 정리는 <math>H^0(M;\mathcal K)\to H^0(M;\mathcal K/\mathcal O)</math>가 어떤 경우에 [[전사 함수]]인지를 나타내는 정리다. 이는 <math>H^1(M;\mathcal O)=0</math>인 경우에만 가능한 것을 알 수 있다. 특히, <math>M</math>이 [[슈타인 다양체]]일 경우 [[카르탕 정리]]에 따라서 <math>H^1(M;\mathcal O)=0</math>이므로, 항상 미타그레플레르 정리가 성립한다.

== 같이 보기 ==
* [[바이어슈트라스의 곱 정리]]
* [[리만-로흐 정리]]
* [[쿠쟁 문제]]

== 각주 ==
{{각주}}

== 참고 문헌 ==
* 강승필, 《해설 복소함수론》, 경문사, 2007
* Elias M. Stein, Rami Shakarchi (2003), ''Complex Analysis'', Princeton University Press, {{ISBN|0-691-11385-8}}

[[분류:복소해석학 정리]]