미분 형식 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[미분기하학]]에서 '''미분 형식'''(微分形式, {{llang|en|differential form}})은 [[매끄러운 다양체]]의 [[여접다발]]의 [[외대수|외승]]의 [[단면 (올다발)|단면]]이다.<ref>{{서적 인용|제목=현대 기하학 입문|저자=권영현|공저자=윤달선|위치=서울|출판사=경문사|isbn=89-7282-535-2|url=http://www.kyungmoon.com/shop_product/shop_pdt_view.php?p_idx=4893|access-date=2013-07-18|archive-date=2021-10-28|archive-url=https://web.archive.org/web/20211028073930/https://kyungmoon.com/shop_product/shop_pdt_view.php?p_idx=4893|url-status=}}</ref><ref>{{저널 인용|제목=A Primer on Differential Forms|이름=Christian|성=Lessig|arxiv=1206.3323|bibcode=2012arXiv1206.3323L|날짜=2012-05-20|언어=en}}</ref> [[적분]]의 라이프니츠 표기법에 등장하는 <math>dx</math>, <math>dy</math> 따위를 엄밀하게 정의한 것으로, <math>p</math>차원의 다양체에서는 <math>p</math>-형식을 자연스럽게 적분할 수 있다.

== 정의 ==
<math>n</math>차원 [[매끄러운 다양체]] <math>M</math> 위의 [[공변접다발]] <math>\mathrm T^*M</math>은 <math>n</math>차원 [[벡터 다발]]이다. 여기에, 각 올에 대하여 [[외대수]]를 취하면 <math>2^n</math>차원 [[벡터 다발]]
:<math>\bigwedge\mathrm T^*M</math>
을 얻는다. 그 단면을 <math>M</math> 위의 '''미분 형식'''이라고 한다. 미분 형식의 공간을 다음과 같이 표기하자.
:<math>\Omega(M) = \Gamma\left(\bigwedge\mathrm T^*M\right)</math>
외대수 연산에 따라, 이 다발은 자연스럽게 차수로 분해된다.
:<math>\bigwedge\mathrm T^*M=\bigoplus_{k=0}^n\bigwedge^k\mathrm T^*M</math>
:<math>\Omega(M) = \bigoplus_{k=0}^n\Omega^n(M)=\bigoplus\Gamma\left(\bigwedge^k\mathrm T^*M\right)</math>
<math>k</math>차 미분 형식은 <math>\Omega^k(M)</math>의 매끄러운 단면이다.

=== 지표 표기법 ===
미분 형식은 추상적으로 나타낼 수 있지만, 구체적으로 지표를 가지고 나타낼 수도 있다. <math>n</math>차원 다양체에 국소적 좌표계 <math>\{x^i\}_{i=1,\dots,n}</math>를 잡으면,
:<math>\{dx^i\}_{i=1,\dots,n}</math>
는 1차 미분 형식들의 [[기저 (선형대수학)|기저]]를 이룬다. 따라서, 임의의 <math>k</math>차 미분 형식은 다음과 같이 성분으로 전개할 수 있다. ([[아인슈타인 표기법]]을 사용하자.)
:<math>A=\frac1{k!}A_{i_1\dots i_k}dx^{i_1}\wedge dx^{i_2}\wedge\cdots\wedge dx^{i_k}</math>
이에 따라서, 예를 들어 [[리만 계량]] <math>g</math>에 의한 부피 형식은
:<math>\omega=\sqrt{\det(g_{ij})}dx^1\wedge\cdots\wedge dx^n=\frac1{k!}\epsilon_{i_1\dots i_n}\sqrt{\det(g_{ij})}dx^1\wedge\cdots\wedge dx^n</math>
이므로,
:<math>\omega_{i_1\dots i_n}=\sqrt{\det(g_{ij})}\epsilon_{i_1\dots i_n}</math>
이 된다.

=== 무한 차원 다양체 위의 미분 형식 ===
[[국소 볼록 공간]] <math>E</math>가 주어졌을 때, 국소적으로 <math>E</math>와 [[위상 동형]]이며, 매끄러운 전이 함수를 갖는 국소 좌표계를 갖춘 [[하우스도르프 공간]]을 '''<math>E</math>-다양체'''라고 하자.

이 경우 마찬가지로 미분 형식의 개념을 정의할 수 있다. 이 경우, [[위상 벡터 공간]]의 [[위상 쌍대 공간]]이 복잡하기 때문에, [[접다발]]은 잘 정의되지만 일반적으로 공변접다발을 잘 정의하기 힘들며, 일반적으로 미분 형식을 어떤 매끄러운 벡터 다발의 매끄러운 단면으로 정의할 수 없다. 이 때문에, 미분 형식의 개념을 직접적으로 정의해야만 한다.

<math>E</math>-다양체 <math>M</math> 위의 '''<math>k</math>차 미분 형식'''은 다음과 같은 데이터로 구성된다.<ref>{{저널 인용|arxiv=1501.06269|날짜=2006|저널=Japanese Journal of Mathematics|권= 1 |쪽=291-468|제목=Towards a Lie theory of locally convex groups|이름=Karl-Hermann|성=Neeb|언어=en}}</ref>{{rp|Definition Ⅰ.4.1}}
* 각 <math>x\in M</math>에 대하여, 완전 반대칭 <math>k</math>-선형 변환 <math>\omega_x\colon\textstyle\bigwedge^k\mathrm T_xM \to \mathbb R</math>
이는 다음 조건을 만족시켜야 한다.
:[[열린집합]] <math>U\subseteq M</math> 위의 국소 좌표 <math>\phi\colon U \to E</math>에 대하여, <math>\omega \circ U^{-1} \colon U \times \textstyle\bigwedge^kE \to \mathbb R</math>는 [[매끄러운 함수]]이다.
이 경우 [[쐐기곱]]과 [[외미분]]이 잘 정의된다.

== 연산 ==
미분 형식들의 집합 위에는 여러 자연스러운 연산들이 정의되는데, [[쐐기곱]]과 [[내부곱]], [[외미분]], [[적분]], [[당김 (미분기하학)|당김]] 등이 있다. 또한, 만약 다양체에 [[리만 계량]]을 추가한다면, 미분 형식의 내적과 [[호지 쌍대]]를 정의할 수 있다.

=== 쐐기곱 ===
미분 형식의 '''[[쐐기곱]]'''({{llang|en|wedge product}})은 각 위치마다 [[외대수]]로서의 [[쐐기곱]]이다. 이는 다음 성질들을 만족시킨다. 임의의 <math>\alpha\in\Omega^k(M)</math>과 <math>\beta,\beta'\in\Omega^l(M)</math>, <math>f\in\Omega^0(M)</math>에 대하여,
* <math>f\wedge\alpha=f\alpha</math>
* ([[분배법칙]]) <math>\alpha\wedge(\beta+\beta')=\alpha\wedge\beta+\alpha\wedge\beta'</math>
* (반대칭성) <math>\alpha\wedge\beta=(-1)^{kl}\beta\wedge\alpha</math>
성분으로 적으면 다음과 같다.
:<math>\left(\frac1{k!}A_{i_1\dots i_k}dx^{i_1}\wedge\cdots\wedge dx^{i_k}\right)\wedge\left(\frac1{l!}B_{j_1\dots j_l}dx^{j_1}\wedge\cdots\wedge dx^{j_l}\right)=\frac1{(k+l)!}\frac1{k!l!}A_{[i_1\dots i_k}B_{j_1\dots j_l]}dx^{i_1}\wedge\cdots dx^{i_k}\wedge dx^{j_1}\wedge dx^{j_l}</math>
:<math>(A\wedge B)_{i_1\dots i_kj_1\dots j_l}=\frac1{k!l!}A_{[i_1\dots i_k}B_{j_1\dots j_l]}</math>
여기서 <math>[\dots]</math>는 지표의 (규칙화하지 않은) 완전 반대칭화를 뜻한다. 예를 들어, 두 2차 형식 <math>A</math>, <math>B</math>의 쐐기곱은
:<math>(A\wedge B)_{ijkl}=A_{ij}B_{kl}-A_{jk}B_{li}+A_{kl}B_{ij}-A_{li}B_{jk}-A_{ik}B_{jl}-A_{jl}B_{ik}</math>
이다.

=== 외미분 ===
미분 형식의 '''외미분'''(外微分, {{llang|en|[[:en:Exterior derivative|Exterior derivative]]}})은
:<math>d\colon\Omega^\bullet(M)\to\Omega^{\bullet+1}(M)</math>
은 다음 세 조건에 의하여 유일하게 정의된다.
* 외미분은 (상수 계수에 대한) [[선형변환]]이다.
* 0차 형식(함수)에 대해, 외미분은 일반 [[기울기 (벡터)|기울기]]다. 즉, <math>f\in\Omega^0(M)</math>에 대하여, <math>df=\sum_{i=1}^n(\partial f/\partial x^i)dx^i</math>이다.
* 모든 0차 형식에 대해, <math>d^2f=0</math>이다.
* 임의의 <math>\alpha\in\Omega^k(M)</math>, <math>\beta\in\Omega^\bullet(M)</math>에 대하여 <math>d(\alpha\wedge\beta)=d\alpha\wedge\beta+(-1)^k\alpha\wedge d\beta</math>이다.
성분으로 쓰면, 구체적으로 다음과 같다. ([[아인슈타인 표기법]]을 사용하자.) 임의의 <math>k</math>차 미분 형식
:<math>A=\frac1{k!}A_{i_1\dots i_k}dx^{i_1}\wedge\cdots\wedge dx^{i_k}</math>
에 대하여,
:<math>dA=\frac1{k!}(\partial_{i_0}A_{i_1\dots i_k})dx^{i_0}\wedge dx^{i_1}\wedge\cdots\wedge dx^{i_k}
=\frac1{(k+1)!k!}(\partial_{[i_0}A_{i_1\dots i_k]})dx^{i_0}\wedge dx^{i_1}\wedge\cdots\wedge dx^{i_k}</math>
이다. 즉,
:<math>(dA)_{i_0\dots i_k}=\frac1{k!}\partial_{[i_0}A_{i_1\dots i_k]}=\partial_{i_0}A_{i_1\dots i_k}-\partial_{i_1}A_{i_0i_2\dots i_k}
+\partial_{i_2}A_{i_1i_0i_3\dots i_k}+\cdots+(-1)^p\partial_{i_p}A_{i_1i_2\dots i_{p-1}i_0i_{p+1}\dots i_k}+\cdots+(-)^k\partial_{i_k}A_{i_1\dots i_{k-1}i_0}</math>
이다. 여기서 <math>[\cdots]</math>는 (규격화하지 않은) 완전 반대칭화를 나타낸다. 예를 들어, 1차 형식의 경우
:<math>A=A_idx^i</math>
:<math>dA=\frac12(\partial_iA_j-\partial_jA_i)dx^i\wedge dx^j=\frac12(dA)_{ij}dx^i\wedge dx^j</math>
:<math>(dA)_{ij}=\partial_iA_j-\partial_jA_i</math>
이고, 2차 형식의 경우
:<math>A=\frac12A_{ij}dx^i\wedge dx^j</math>
:<math>dA=\frac16(\partial_iA_{jk}+\partial_jA_{ki}+\partial_kA_{ij})dx^i\wedge dx^j\wedge dx^k=\frac16(dA)_{ijk}dx^i\wedge dx^j\wedge dx^k</math>
:<math>(dA)_{ijk}=\partial_iA_{jk}+\partial_jA_{ki}+\partial_kA_{ij}</math>
이다.

=== 적분 ===
<math>n</math>차원 [[매끄러운 다양체]] <math>M</math> 위에 [[방향 (다양체)|방향]] 및 <math>n</math>차 미분 형식 <math>\alpha</math>가 주어졌다면, <math>\alpha</math>의 '''적분'''
:<math>\int_M\alpha\in\mathbb R\cup\{-\infty,\infty\}</math>
을 정의할 수 있다. 구체적으로, <math>M</math>의 좌표근방계 <math>\{(U_i,\phi_i)\}_{i\in I}</math> 및 이에 종속되는 [[단위 분할]] <math>\{f_i\}_{i\in I}</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, [[당김 (미분기하학)|당김]] <math>(\phi_i^{-1})^*</math>으로서 각 <math>\phi_i(U_i)\subset\mathbb R^n</math>에 [[방향 (다양체)|방향]]을 줄 수 있으며, 이 방향을 통해 유클리드 공간 위의 <math>n</math>차 미분 형식의 공간과 [[매끄러운 함수]] 공간 사이의 동형
:<math>\Omega^n(\phi_i(U_i))\xrightarrow{\iota}\Omega^0(\phi_i(U_i))=\mathcal C^\infty(\phi_i(U_i),\mathbb R)</math>
을 정의할 수 있다. 그렇다면
:<math>\int_M=\sum_{i\in I}\int_{\phi_i(U_i)}\iota\left((\phi_i^{-1})^*\alpha\right)\,d^n\lambda</math>
이다. 여기서 <math>\int d^n\lambda</math>는 <math>n</math>차원 [[유클리드 공간]] 위의 [[르베그 측도]]에 대한 [[적분]]이다. 이 연산은 좌표근방계 및 단위 분할의 선택에 의존하지 않음을 보일 수 있다. 그러나 다양체에 주어진 방향이 반대가 되면, 미분 형식의 적분은 <math>-1</math>배가 된다. 즉, 연결 다양체 위의 미분 형식의 적분의 [[절댓값]]은 방향에 의존하지 않는다.

=== 내적 ===
만약 <math>n</math>차원 [[매끄러운 다양체]] <math>M</math> 위에 (유사) [[리만 계량]] <math>g</math>가 주어졌다면, 이를 사용하여 두 미분 형식의 '''내적''' <math>\langle\cdot,\cdot\rangle\colon\Omega^\bullet(M)\times\Omega^\bullet(M)\to\Omega^0(M)</math>을 정의할 수 있다. 이는 다음 성질들을 만족시킨다.
* 서로 차수가 다른 두 미분 형식의 내적은 항상 0이다.
* 내적은 쌍선형이다.
* 임의의 <math>k</math>개의 1차 형식 <math>\eta_i</math>, <math>\eta'_j</math>에 대하여,{{mindent|<math>\langle\eta_1\wedge\dots\wedge\eta_k,\eta'_1\wedge\dots\wedge\eta'_k\rangle=\det(g(\eta_i,\eta_j))_{ij}</math>}}이다.
즉, 성분으로 쓰면 ([[아인슈타인 표기법]]을 가정하자)
:<math>\left\langle\frac1{k!}A_{i_1\dots i_k} dx^{i_1}\wedge\cdots\wedge dx^{i_n},
\frac1{k!}B_{j_1\dots j_k} dx^{j_1}\wedge\cdots\wedge dx^{j_k}\right\rangle=\frac1{k!}A_{i_1\dots i_k}B_{j_1\dots j_k}g^{i_1j_1}\dots g^{i_kj_k}</math>
이다. 이에 따라 부피 형식의 노름은 1이다.
:<math>\langle\omega,\omega\rangle=\frac1{n!}(\det g)\epsilon_{i_1\dots i_n}\epsilon_{j_1\dots j_n}g^{i_1j_1}\dots g^{i_nj_n}=1</math>.

=== 호지 쌍대 ===
{{본문|호지 쌍대}}
<math>n</math>차원 [[방향 (다양체)|유향]] (유사) [[리만 다양체]] <math>(M,g,\omega)</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면 다음과 같은 '''[[호지 쌍대]]''' 연산자를 정의할 수 있다.
:<math>*\colon\Omega^\bullet(M)\to\Omega^{n-\bullet}(M)</math>
이는 다음 항등식으로 정의할 수 있다.
:<math>\alpha\wedge*\beta=\langle\alpha,\beta\rangle\omega</math>
성분으로 쓰면 다음과 같다.
:<math>(*A)_{j_{k+1}\dots j_n}=\frac1{k!}\sqrt{|\det g|}\alpha_{i_1\dots i_k}\epsilon_{j_1\dots j_n}g^{i_1j_1}\cdots g^{i_kj_k}</math>
예를 들어, 4차원 공간에서 2차 미분 형식의 호지 쌍대는
:<math>(*A)_{kl}=\frac12\sqrt{|\det g|}\epsilon_{ijkl}A_{i'j'}g^{ii'}g^{jj'}</math>
이다.

== 역사 ==
미분 형식의 기호 및 [[외미분]], [[쐐기곱]] 등은 [[엘리 카르탕]]이 도입하였다.

== 응용 ==
[[다변수 미적분학]] 및 [[미분위상수학]] 등에서 다루고, [[물리학]]에서도 [[전기장]]과 [[자기장]] 등의 여러 물리량을 다루기 위하여 쓴다.

== 각주 ==
{{각주}}

== 같이 보기 ==
* [[켈러 미분]]
* [[드람 코호몰로지]]
* [[복소 미분 형식]]

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Differential form}}
* {{매스월드|id=DifferentialForm|title=Differential form}}
* {{웹 인용|url=http://ncatlab.org/nlab/show/differential+form|제목=Differential form|웹사이트=nLab|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://ncatlab.org/nlab/show/integration+of+differential+forms|제목=Integration of differential forms|웹사이트=nLab|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://ncatlab.org/nlab/show/pullback+of+a+differential+forms|제목=Pullback of a differential form|웹사이트=nLab|언어=en}}{{깨진 링크|url=http://ncatlab.org/nlab/show/pullback+of+a+differential+forms }}
* {{수학노트|title=미분형식 (differential forms)과 다변수 미적분학}}
* {{수학노트|title=미분형식과 맥스웰 방정식}}

{{전거 통제}}

[[분류:미분 형식| ]]