미분 리 대수 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
{{다른 뜻|미분 등급 리 대수|어떤 이항 연산에 대하여 [[곱 규칙]]을 따르는 [[선형 변환]]으로 구성된 [[리 대수]]|[[사슬 복합체]] 구조를 갖는 [[리 초대수]]}}
[[리 대수]] 이론에서, '''미분 리 대수'''(微分Lie代數, {{llang|en|derivation Lie algebra}})는 어떤 쌍선형 [[이항 연산]]에 대한, [[곱 규칙]]을 따르는 미분 연산들로 구성된 리 대수이다.<ref>{{서적 인용|first=Nicolas|last=Bourbaki|authorlink=니콜라 부르바키|title=Algèbre. Chapitres 1 à 3|year=1970|publisher=Gauthier-Villars|series=Éléments de mathématique|언어=fr}}</ref>{{rp|AⅢ.117, §Ⅲ.10.2}}<ref>{{서적 인용|first=David|authorlink=데이비드 아이젠버드|last=Eisenbud|title=Commutative algebra with a view toward algebraic geometry|isbn=978-0-387-94269-8|publisher=Springer-Verlag|year=1999|판=3|언어=en}}</ref>{{rp|383, Chapter 16}}<ref>{{서적 인용|first=Hideyuki|last=Matsumura|title=Commutative ring theory|publisher=Cambridge University Press|year=1989|series=Cambridge Studies in Advanced Mathematics|isbn= 978-0521367646|언어=en}}</ref>{{rp|190, §25}} 대략, 이 [[대수 구조]]의 무한소 [[자기 동형 사상|자기 동형]]을 나타낸다.

== 정의 ==
다음이 주어졌다고 하자.
* [[가환환]] <math>K</math>
* <math>K</math>-[[가군]] <math>A_0, A_1</math>. <math>A=A_0\oplus A_1</math>로 표기하자.
* <math>K</math>-[[가군 준동형]] <math>(\cdot) \colon A\otimes_KA\to A</math>, <math>(a\otimes b)\mapsto a\cdot b</math>
* <math>\epsilon \in \{0,1\}</math>
그렇다면, <math>(A,\cdot)</math>의 <math>\epsilon</math>-'''미분'''은 다음과 같은 데이터로 주어진다.
* <math>d_0 \colon A_0 \to A_1</math>
* <math>d_1 \colon A_1 \to A_0</math>
편의상 <math>d = d_0 \oplus d_1 \colon A \to A</math>로 표기하자. 이는 다음 두 조건을 만족시켜야 한다.
:<math>d(a\cdot b) = da\cdot b + a\cdot db \qquad\forall a\in A_0,\;b\in A</math>
:<math>d(a\cdot b) = da\cdot b + \epsilon a\cdot db \qquad\forall a\in A_1,\;b\in A</math>
이는
:<math>\deg a = \begin{cases}
0 & a\in A_0 \\
1 & a \in A_1
\end{cases} \in \{0,1\}</math>
을 정의하면
:<math>d(a\cdot b) = (da)\cdot b + (-)^{\epsilon\deg a}a\cdot db</math>
로 표기될 수 있다.

<math>(A,\cdot)</math> 위의 <math>\epsilon</math>-미분들의 집합을 <math>\mathfrak{der}_\epsilon(A)</math>로 표기하자. 그렇다면,
:<math>\mathfrak{der}(a) = \mathfrak{der}_0(A) \oplus \mathfrak{der}_1(A)</math>
위에 [[리 초괄호]]
:<math>[d,d'\} = d\circ d' - (-)^{\epsilon \epsilon'} d'\circ d\qquad(d\in \mathfrak{der}_\epsilon(A),\;d'\in\mathfrak{der}_{\epsilon'}(A))</math>
을 정의하면, 이는 <math>K</math>-[[리 초대수]]를 이룬다. 이를 <math>(A,\cdot)</math>의 '''미분 리 초대수'''({{llang|en|derivation Lie superalgebra}})라고 한다.

물론, 만약 <math>A_1 = 0</math>일 때, 모든 등급을 잊을 수 있으며, 이 경우 <math>(A_0,\cdot)</math>의 '''미분 리 대수'''({{llang|en|derivation Lie algebra}}) <math>\mathfrak{der}(A_0)</math>를 정의할 수 있다. 이는 <math>K</math>-[[리 대수]]이다.
리 대수 이론에서, '''리 대수 미분'''({{llang|en|derivation of a Lie algebra}})은 리 대수 위의, [[곱 규칙]]을 따르는 [[자기 사상|자기]] [[선형 변환]]이다. 일종의 무한소 [[자기 동형]]을 나타낸다.

특히, 이 정의는 <math>(A,\cdot)</math>가 리 대수 또는 [[리 초대수]]일 때 적용될 수 있다.

== 성질 ==
=== 내부 미분 ===
[[가환환]] <math>K</math> 위의 [[리 대수]] <math>\mathfrak g</math>의 임의의 원소 <math>x</math>에 대하여, [[딸림표현]]
:<math>\operatorname{ad}(x)\colon y \mapsto [x,y]</math>
은 ([[야코비 항등식]]에 의하여) 미분을 이룬다. 즉, 이는 [[리 대수 준동형]]
:<math>\operatorname{ad}\colon\mathfrak g\to\mathfrak{der}(\mathfrak g)</math>
을 정의한다. 그 [[상 (수학)|상]] <math>\mathfrak{inn}(\mathfrak g)\subseteq\mathfrak{der}(\mathfrak g)</math>은 일반적으로 [[리 대수 아이디얼]]이 아니지만, 그 상에 대한 <math>K</math>-[[몫가군]]은 다음과 같은, [[딸림표현]] 계수 1차 [[리 대수 코호몰로지]]로 주어진다. 
:<math>\frac{\mathfrak{der}(\mathfrak g)}{\mathfrak{inn}(\mathfrak g)}=\operatorname H^1(\mathfrak g;\mathfrak g)</math>

[[표수 0]]의 [[체 (수학)|체]] <math>K</math> 위의 [[반단순 리 대수]] <math>\mathfrak g</math> 위의 모든 미분은 내부 미분이며, 이 경우 중심 또한 자명하므로, 다음이 성립한다.
:<math>\mathfrak g\cong\mathfrak{der}(\mathfrak g)</math>
반면, [[표수 0]]의 [[체 (수학)|체]] 위에서도, <math>\mathfrak g\cong\mathfrak{der}(\mathfrak g)</math>를 만족시키는 [[가해 리 대수]] 및 가해 리 대수도, [[반단순 리 대수]]도 아닌 [[리 대수]]가 존재한다.<ref>{{저널 인용|제목=Complete Lie algebras|이름=Daoji|성=Meng|저널=Chinese Science Bulletin|날짜=1999-06|권=44|호=11|쪽=961–964|언어=en}}</ref>{{rp|961, §1}}

=== 리 대수 자기 동형 ===
[[표수 0]]의 체 <math>K</math> 위의 [[리 대수]] <math>\mathfrak g</math> 위의 미분 <math>d\colon \mathfrak g\to\mathfrak g</math>가 [[멱영원]]이라고 하자. 즉,
:<math>\exists n\in\mathbb N\colon d^n = 0 \colon \mathfrak g\to\mathfrak g</math>
라고 하자.
그렇다면, 다음과 같은 지수 함수를 정의할 수 있다.
:<math>\exp(d) = \sum_{n=0}^\infty \frac1{n!} d^n \colon \mathfrak g\to\mathfrak g</math>
이는 <math>\mathfrak g</math>의 [[리 대수]] [[자기 동형 사상]]을 이룬다. 즉,
:<math>[\exp(d)(x), \exp(d)(y)] = \exp(d)([x,y])</math>
가 성립한다.

== 같이 보기 ==
* [[켈러 미분]]
== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Derivation in a ring}}
* {{매스월드|id=DerivationAlgebra|title=Derivation algebra}}
* {{매스월드|id=Derivation|title=Derivation}}
* {{nlab|id=derivation|title=Derivation}}
* {{nlab|id=derivation Lie algebra|title=Derivation Lie algebra}}
* {{nlab|id=automorphism infinity-Lie algebra|title=Automorphism infinity-Lie algebra}}
* {{nlab|id=inner derivation Lie 2-algebra|title=Inner derivation Lie 2-algebra}}
* {{웹 인용|url=https://unapologetic.wordpress.com/2012/08/10/derivations/ | 제목= Derivations | 날짜=2012-08-10| 웹사이트=The Unapologetic Mathematician | 이름=John | 성=Armstrong  | 언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://unapologetic.wordpress.com/2012/09/11/all-derivations-of-semisimple-lie-algebras-are-inner/ | 날짜=2012-09-11| 제목=All derivations of semisimple Lie algebras are inner | 웹사이트=The Unapologetic Mathematician | 이름=John | 성=Armstrong | 언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://unapologetic.wordpress.com/2012/08/18/automorphisms-of-lie-algebras/ | 날짜=2012-08-18 | 제목=Automorphisms of Lie algebras | 웹사이트=The Unapologetic Mathematician | 이름=John | 성=Armstrong | 언어=en}}

[[분류:리 대수]]