미분 대수 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[추상대수학]]에서 '''미분 대수'''(微分代數, {{llang|en|differential algebra}})는 [[곱 규칙]]을 만족하는 [[자기 사상|자기]] [[선형 변환]]이 갖추어진 [[결합 대수]]이다. [[해석학 (수학)|해석학]]에서의 [[미분]] 연산을 공리화한 개념이다.

== 정의 ==
=== 미분 ===
다음이 주어졌다고 하자.
* [[가환환]] <math>K</math>
* <math>K</math> 위의 [[결합 대수]]  <math>(A,+,0_A,\cdot,1_A)</math>
* <math>(A,A)</math>-[[쌍가군]] <math>_AM_A</math>. 또한, 왼쪽과 오른쪽 <math>K</math>-작용이 서로 일치한다고 하자 (<math>km=mk\;\forall m\in M,\;k\in K</math>). (다시 말해, <math>M</math>은 <math>A^{\operatorname e}=A\otimes_KA^{\operatorname{op}}</math> 위의 [[왼쪽 가군]]이다.)
그렇다면, <math>M</math> 값의, <math>A</math> 위의 '''미분'''(微分, {{llang|en|derivation}})은 다음과 같은 <math>K</math>-[[선형 변환]]이다.
:<math>\partial\colon A\to M</math>
이는 다음과 같은 [[곱 규칙]]을 만족시켜야 한다.
:<math>\partial(ab)=(\partial a)b+a(\partial b)\qquad\forall a,b\in A</math>
흔히, <math>_AM_A={}_AA_A</math>를 사용한다.

=== 미분 대수 ===
'''미분 대수''' <math>(K,A,\partial)</math>는 다음과 같은 데이터로 주어진다.
* [[가환환]] <math>K</math>
* <math>K</math> 위의 [[결합 대수]] <math>(A,+,0_A,\cdot,1_A)</math>
* 미분을 이루는 [[자기 사상]] <math>\partial\colon A\to A</math>. (이는 [[결합 대수]] 준동형이 될 필요가 없다.)

특히, [[정수환]] <math>\mathbb Z</math> 위의 [[결합 대수]]는 [[환 (수학)|환]]이므로, 만약 <math>K=\mathbb Z</math> ([[정수환]])인 경우, 그 위의 미분 대수를 '''미분환'''(微分環,{{llang|en|differential ring}})이라고 한다. 또한, <math>K=\mathbb Z</math>이며 <math>A</math>가 [[체 (수학)|체]]를 이루는 경우, <math>(K,A,\partial)</math>를 '''미분체'''(微分體, {{llang|en|differential field}})라고 한다.

만약 미분 대수의 개념에, [[등급환|등급]]을 주어 일반화하면 '''[[미분 등급 대수]]'''의 개념을 얻는다.

=== 미분 대수 준동형 ===
같은 가환환 <math>K</math> 위의 두 미분 대수 <math>A</math>, <math>B</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, '''미분 대수 준동형'''(微分代數準同形, {{llang|en|differential algebra homomorphism}})은 [[대수 구조]]로서의 [[준동형]]이다. 즉, <math>K</math>-[[결합 대수]] 준동형 <Math>f\colon A\to B</math>가 다음 조건들을 만족시킨다면, 미분 대수 준동형을 이룬다.
:<math>f(\partial a)=\partial f(a)\qquad\forall a\in A</math>

'''미분체 확대'''(微分體擴大, {{llang|en|differential field extension}})는 두 미분체 사이의 미분 대수 준동형이다. 이는 [[체의 확대]]이므로 항상 [[단사 함수]]이다.

== 예 ==
=== 교환자 ===
{{본문|교환자 (환론)}}
[[가환환]] <math>K</math> 위의 [[결합 대수]] <math>A</math>의 원소 <math>a\in A</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, [[교환자 (환론)|교환자]]
:<math>[a,-]\colon b\mapsto [a,b]=ab-ba</math>
를 정의한다면 <math>(K,A,[a,-])</math>는 다음과 같이 미분 대수를 이룬다.
:<math>[a,bc]=abc-bca=abc-bac+bac-bca=[a,b]c+b[a,c]</math>

=== 다항식환 ===
{{본문|다항식환}}
[[환 (수학)|환]] <math>R</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, [[다항식환]] <math>R[x]</math> 위에 다음과 같은 [[선형 변환]] <math>\partial\colon R[x]\to R[x]</math>을 정의할 수 있다.
:<math>\partial \colon rx^n\mapsto\begin{cases}
nrx^{n-1}&n>0\\
0&n=0
\end{cases}\qquad\forall r\in R,\;n\in\mathbb N</math>
그렇다면 <math>(R,R[x],\partial)</math>는 미분 대수를 이룬다.

=== 매끄러운 함수 ===
{{본문|매끄러운 함수}}
다음 데이터가 주어졌다고 하자.
* [[매끄러운 다양체]] <math>M</math>
* [[벡터장]] <math>X</math>
그렇다면,  <math>M</math> 위의 실수 값 [[매끄러운 함수]]들의 [[집합]] <math>\mathcal C^\infty(M;\mathbb R)</math>를 생각하자. 이는 [[실수 벡터 공간]]을 이루며, 또한 점별 합과 곱에 대하여 실수 [[결합 대수]]를 이룬다.

벡터장은 <math>\mathcal C^\infty(M;\mathbb R)</math> 위에 미분 연산자로 작용한다. 국소 좌표계로 표현하면 다음과 같다.
:<math>Xf=X^\mu\partial_\mu f</math>
그렇다면, <math>(\mathbb R,\mathcal C^\infty(M;\mathbb R),X)</math>는 미분 대수를 이룬다.

=== 리 대수 ===
[[가환환]] <math>K</math> 위의 [[리 대수]] <math>\mathfrak g</math>가 주어졌다고 하자. <math>\mathfrak g</math> 위의 '''미분''' <math>\partial\colon\mathfrak g\to\mathfrak g</math>은 다음 조건을 만족시키는 <math>K</math>-[[선형 변환]]이다.
:<math>\partial[a,b]=[\partial a,b]+[a,\partial b]</math>
이 경우, <math>\partial</math>은 <math>\mathfrak g</math>의 [[보편 포락 대수]] <math>\operatorname U(\mathfrak g)</math> 위에 자연스럽게 다음과 같이 확장된다.
:<math>\partial a_1a_2\cdots a_k=\sum_{i=1}^ka_1\cdots a_{i-1}(\partial a_i)a_{i+1}\cdots a_k\qquad (k\in\mathbb N,\;a_1,\dots,a_k\in\mathfrak g)</math>
그렇다면, <math>(K,\operatorname U(\mathfrak g),\partial)</math>는 미분 대수를 이룬다.

== 같이 보기 ==
* [[산술 도함수]]
* [[켈러 미분]]

== 참고 문헌 ==
* {{저널 인용|url=http://www.ams.org/notices/199909/fea-magid.pdf|제목=Differential Galois theory|이름=Andy R.|성=Magid|날짜=1999-10|저널=Notices of the American Mathematical Society|권=46|호=9|쪽=1041–1049|언어=en}}
* {{서적 인용|장=Model theory of differential fields|이름=David|성=Marker|제목=Model Theory, Algebra, and Geometry|총서=Mathematical Sciences Research Institute Publications|권=39|날짜=2000|editor1-first=Deirdre|editor1-last=Haskell|editor2-first=Anand|editor2-last=Pillay|editor3-first=Charles|editor3-last=Steinhorn|장url=http://library.msri.org/books/Book39/files/dcf.pdf|isbn=978-0-52178068-1|출판사=Cambridge University Press|url=http://library.msri.org/books/Book39/|언어=en|access-date=2016-12-23|archive-date=2016-12-24|archive-url=https://web.archive.org/web/20161224164012/http://library.msri.org/books/Book39/|url-status=}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Derivation in a ring}}
* {{eom|title=Differential field}}
* {{eom|title=Differential algbra}}
* {{eom|title=Extension of a differential field}}
* {{nlab|id=differential algebra|title=Differential algebra}}
* {{nlab|id=differential Galois theory|title=Differential Galois theory}}

{{전거 통제}}

[[분류:대수]]