미분학적 공간 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[기하학]]에서, '''미분학적 공간'''(微分學的空間, {{llang|en|diffeological space|디피올로지컬 스페이스}})은 [[매끄러운 다양체]]의 개념의 일반화이다.<ref>{{서적 인용|이름=Patrick|성=Iglesias-Zemmour|제목=Diffeology |총서=Mathematical Surveys and Monographs|권= 185|출판사= American Mathematical Society|날짜=2013|url=https://bookstore.ams.org/surv-185|언어=en}}</ref> 미분학적 공간과 [[매끄러운 다양체]] 사이의 관계는 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]과 [[다양체]] 사이의 관계와 유사하며, 미분학적 공간의 “차원”은 국소적으로 바뀔 수도, 잘 정의되지 않을 수도 있다.

== 정의 ==
[[집합]] <math>X</math> 위의 '''미분학적 구조'''(微分學的構造, {{llang|en|diffeology|디피올로지}}) <math>\mathcal D = \{(n_i,U_i,f_i)\}_{i\in I}</math>는 다음과 같은 꼴의 순서쌍들의 집합이다.
* <math>(n,U,f)</math>에서, <math>n\in\mathbb N</math>은 [[자연수]]이며, <math>U\subseteq\mathbb R^n</math>는 <math>n</math>차원 [[유클리드 공간]]의 [[열린집합]]이며, <math>f\colon U \to X</math>는 [[함수]]이다.
이는 다음 조건들을 만족시켜야 한다.
* 임의의 [[유클리드 공간]] <math>\mathbb R^n</math>의 [[열린집합]] <math>U\subseteq\mathbb R^n</math> 및 임의의 원소 <math>x\in X</math>에 대하여, <math>x</math> 값의 [[상수 함수]] <math>(n,U,f\colon U\to X)</math>는 <math>\mathcal D</math>의 원소이다.
* 임의의 [[유클리드 공간]] <math>\mathbb R^n</math>의 [[열린집합]] <math>U\subseteq\mathbb R^n</math> 및 임의의 함수 <math>f\colon U\to X</math>에 대하여, 만약 다음 조건이 성립한다면, <math>(n,U,f)\in\mathcal D</math>이다.
*: 임의의 <math>u\in U</math>에 대하여, <math>(n,V,f\restriction V) \in \mathcal D</math>인 <math>u</math>의 [[열린 근방]] <math>u\in V\subseteq U</math>가 존재한다.
* 임의의 <math>(n,U,f)\in\mathcal D</math> 및 임의의 <math>V\subseteq\mathbb R^m</math> 및 임의의 [[매끄러운 함수]] <math>\phi\colon V\to U</math>에 대하여, <math>(m,V,f\circ\phi)\in\mathcal D</math>이다.

미분학적 구조를 갖춘 집합을 '''미분학적 공간'''이라고 한다.

두 미분학적 공간 <math>(X,\mathcal D)</math>, <math>(Y,\mathcal E)</math> 사이의 '''매끄러운 함수''' <math>\phi\colon X\to Y</math>는 다음 조건을 만족시키는 함수이다.
* 임의의 <math>(n,U,f)\in\mathcal D</math>에 대하여, <math>(n,U,\phi\circ f)\in\mathcal E</math>이다.
이를 통해 미분학적 공간의 [[범주 (수학)|범주]]를 정의할 수 있다.

== 성질 ==
미분학적 공간 <math>(X,\mathcal D)</math> 위에는 표준적인 [[위상 공간 (수학)|위상]]을 줄 수 있으며, 이 경우 집합이 [[열린집합]]일 [[필요 충분 조건]]은 다음과 같다.
:<math>B \in \operatorname{Open}(X) \iff \forall (n,U,f)\in\mathcal D\colon f^{-1}(B) \in \operatorname{Open}(\mathbb R^n)</math>
여기서 <math>\operatorname{Open}(\mathbb R^n)</math>은 <math>\mathbb R^n</math>의 [[열린집합]]들의 집합이다. 즉, 이 위상은 모든 함수 <math>f</math>들의 [[연속 함수]]가 되는 가장 섬세한 위상이다.

미분학적 공간의 [[범주]]는 [[준토포스]]를 이룬다.

== 연산 ==
미분학적 공간의 [[부분 집합]]은 표준적으로 미분학적 공간을 이룬다.

미분학적 공간의 [[몫집합]]은 표준적으로 미분학적 공간을 이룬다.

== 예 ==
모든 <math>n</math>차원 [[매끄러운 다양체]] <math>M</math>은 미분학적 공간이다. 이 경우 미분학적 구조는 <math>\mathbb R^n</math>의 열린집합에서 <math>M</math>으로 가는 모든 [[매끄러운 함수]]들의 집합이다. 보다 일반적으로, 모든 [[프레셰 다양체]]는 미분학적 공간이다.

1차원 유클리드 공간 <math>\mathbb R</math>의 몫
:<math>\frac{\mathbb R}{\mathbb Z+\alpha\mathbb Z}</math>
을 생각하자. 이는 미분학적 공간의 몫이므로 미분학적 공간을 이룬다. 만약 <math>\alpha</math>가 [[유리수]]라면 이는 원과 동형이지만, 만약 [[무리수]]라면 이는 [[매끄러운 다양체]]가 아니다. 이 경우, 이는 위상 공간으로서 [[비이산 공간]]이나, 이는 자명하지 않은 미분학적 공간이다.

== 역사 ==
[[파일:Jean-Marie Souriau.jpg|섬네일|오른쪽|미분학적 공간의 개념을 발견한 장마리 수리오]]
미분학적 공간의 개념은 장마리 수리오({{llang|fr|Jean-Marie Souriau}}, 1922〜2012)가 1979년에 도입하였다.<ref>{{서적 인용|이름=Jean-Marie|성=Souriau|장=Groupes différentiels|제목=Differential Geometrical Methods in Mathematical Physics. Proceedings of the Conferences Held at Aix-en-Provence, September 3–7, 1979 and Salamanca, September 10–14, 1979|doi=10.1007/BFb0089728|총서=Lecture Notes in Mathematics|권= 836|출판사= Springer-Verlag|날짜=1980|쪽=91–128|언어=fr}}</ref> ‘미분학적 공간’({{llang|fr|espace difféologique|에스파스 디페올로지크}})이라는 이름은 {{llang|fr|difféomorphisme|디페오모르피즘}}([[미분 동형 사상]])과 {{llang|fr|espace topologique|에스파스 토폴로지크}}([[위상 공간 (수학)|위상 공간]])의 합성어이다.

== 참고 문헌 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{nlab|id=diffeological space|title=Diffeological space}}

{{전거 통제}}

[[분류:미분기하학]]
[[분류:매끄러운 다양체]]