미분소 문서 원본 보기

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'''미분소'''(微分素)는 함수의 무한히 작은 변화값을 나타내는 [[무한소]] 값으로, <math>\mathrm d y</math>와 같이 나타낸다. 보통 함수의 변화값을 나타내는 기호로는 <math>\Delta x</math>, <math>\delta x</math> 등이 있지만, <math>\mathrm d x</math>는 무한히 작은 값을 의미한다는 점에서 이들과 구별된다.

예를 들어, <math>y</math>가 <math>x</math>에 대한 함수일 때, <math>x</math>의 변화량 <math>\mathrm d x</math>와 <math>y</math>의 변화량 <math>\mathrm d y</math>는 [[도함수]]에 의하여 관계 맺어진다.

:<math>\mathrm d y = \frac{\mathrm d y}{\mathrm d x} \mathrm d x</math>

여기에서 <math>\frac{\mathrm d y}{\mathrm d x}</math>는 <math>y</math>를 <math>x</math>로 미분한 [[도함수]]이다. 이는 <math>\frac{\Delta y}{\Delta x}</math>가 <math>\Delta x</math>가 무한히 작아지면서 도함수가 된다는 생각을 내포한다.

미분소를 수학적으로 정의하는 방법에는 여러 가지가 있고, 이때 미분소는 일반적인 실수 범위의 수는 아니며, [[선형 변환]], [[비표준해석학]], [[멱영원]] 등의 방법으로 정의할 수 있다.

== 곡선의 길이와 미분소 ==
[[유클리드 공간]] <math>\mathbb{R}^3</math>에 존재하는 길 <math>\mathbf{c}\left( t\right) =x\left( t\right)\mathbf{i}+y\left( t\right)\mathbf{j}+z\left( t\right)\mathbf{k}</math>를 따라 운동하는 물체의 [[무한소]] [[변위]]는 다음과 같다.

:<math>d\mathbf{s}=dx\mathbf{i}+dy\mathbf{j}+dz\mathbf{k}=\left(\frac{dx}{dt}\mathbf{i}+\frac{dy}{dt}\mathbf{j}+\frac{dz}{dt}\mathbf{k}\right) dt</math>

그리고 그 길이

:<math>ds=\sqrt{dx^2+dy^2+dz^2}=\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2+\left(\frac{dz}{dt}\right)^2}dt</math>

는 '''[[곡선]]의 [[길이]]의 미분소'''라고한다.

이 개념을 이용하면 곡선의 길이를 다음과 같이 아주 간단하게 나타낼 수 있다.

:<math>\int_{t_0}^{t_1}ds</math>

== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용 |isbn=0-7167-4992-0 |제목=Vector Calculus(Fifth Edition) |저자=Jerrold E. Marsden, Anthony J. Tromba |출판사=W. H. Freeman and Company |연도=2003}}

{{전거 통제}}

[[분류:미적분학]]