뮤어헤드의 부등식 문서 원본 보기

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'''뮤어헤드의 부등식'''(Muirhead's inequality, -不等式)은 [[로버트 프랭클린 뮤어헤드]](Robert Franklin Muirhead)의 이름을 붙인 [[부등식]]이다. [[뉴턴의 부등식]] 및 [[매클로린의 부등식]]과 유사하게 대칭적인 형태의 식에 관한 부등식 중 하나로, 상당히 강력한 부등식의 일종이다. 이 부등식을 이용하여 [[산술-기하 평균 부등식]]을 유도할 수도 있다.

== 공식화 ==
2n개의 [[실수]] <math>a_n \le a_{n-1} \le ... \le a_1</math> 와 <math>b_n \le b_{n-1} \le ... \le b_1</math> 이 다음 두 식을 만족한다고 하자.

# <math>\sum_{i=1}^{k} b_i \le \sum_{i=1}^{k} a_i.</math> (k<n인 모든 자연수 k에 대하여)
# <math>\sum_{i=1}^{n} b_i = \sum_{i=1}^{n} a_i.</math>

그러면, 뮤어헤드의 부등식은 다음과 같이 공식화할 수 있다.<ref>류한영 외, 《한국수학올림피아드 바이블 2》, 도서출판 세화, 2008, 83쪽.</ref>

* n개의 임의 양의 실수 <math>x_1, x_2, ..., x_n</math> 에 대하여, <math>\sum_{sym} x_1^{b_1}x_2^{b_2}...x_n^{b_n} \le \sum_{sym} x_1^{a_1}x_2^{a_2}...x_n^{a_n}.</math>

여기서, <math>\sum_{sym} f(x_1, x_2, ..., x_n)</math> 은 <math>(x_1, x_2, ..., x_n)</math> 의 순서를 바꾸어 가능한 모든 n!개의 경우에 대한 합을 계산하는 것이다. 예를 들어, <math>\sum_{sym} f(x, y, z)</math> 은 <math>f(x, y, z) + f(x, z, y) + f(y, z, x) + f(y, x, z) + f(z, x, y) + f(z, y, x)</math> 을 의미한다.

== 같이 보기 ==
* [[뉴턴의 부등식]]
* [[매클로린의 부등식]]

== 각주 ==
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== 참고 문헌 ==
* 류한영 외, 《한국수학올림피아드 바이블 2》, 도서출판 세화, 2008

{{전거 통제}}

[[분류:부등식]]
[[분류:대칭]]
[[분류:대수학]]