무어-펜로즈 유사역행렬 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[선형대수학]]에서 '''무어-펜로즈 유사역행렬'''(Moore-Penrose疑似逆行列, {{llang|en|Moore–Penrose pseudoinverse matrix}})은 모든 모양의 행렬에 대하여 정의되는 연산이며, [[가역 행렬]]의 [[역행렬]] 연산을 일반화한다.<ref>{{서적 인용|제목= 통계학을 위한 행렬대수학|판=2|날짜=2001|저자=김병천|출판사=자유아카데미|isbn=978-89-7338255-2|언어=ko}}</ref>{{rp|제8장}}<ref>{{서적 인용|제목= 통계학을 위한 행렬대수|저자=김종덕|판=2|날짜=1998|출판사=자유아카데미|isbn=978-89-7338135-7|언어=ko}}</ref>{{rp|제13장}}<ref>{{서적 인용|제목= 통계학을 위한 선형대수학|저자=김주성|저자2=류제복|출판사=청문각|판=2|날짜=1997|isbn=978-89-7088012-9|언어=ko}}</ref>{{rp|제6장}} [[특잇값 분해]]를 통해 계산할 수 있다.

== 정의 ==
[[체 (수학)|체]] <math>K</math>가 주어졌다고 하고, 그 위의 체의 [[대합 (수학)|대합]]
:<math>\bar{\color{White}a} \colon K \to K</math>
:<math>\bar{\color{White}a} \circ \bar{\color{White}a} = \operatorname{id}_K</math>
이 주어졌다고 하자. (예를 들어, 복소수체의 [[복소켤레]] 등이 있다. 이를 [[항등 함수]]로 놓을 수도 있다.) 그렇다면, <math>K</math> 계수 행렬의 [[에르미트 수반]]
:<math>(-)^*\colon \operatorname{Mat}(m,n;K) \to \operatorname{Mat}(n,m;K)</math>
의 개념이 정의된다.

임의의 <math>K</math>계수 <math>m\times n</math> [[행렬]]
:<math>A \in \operatorname{Mat}(m,n;K)</math>
의 '''무어-펜로즈 유사역행렬'''
:<math> A^+ \in \operatorname{Mat}(n, m;K)</math>
은 다음 네 조건들을 모두 만족시키는 행렬이다.
* <math>A A^+A = A</math>
** 즉, {{math|''AA''<sup>+</sup>}}는 일반적인 단위행렬일 필요는 없으나, {{math|''A''}}의 모든 열벡터를 보존하는 행렬이어야 한다.
* <math>A^+A A^+ = A^+</math>
** 즉, {{math|''A''<sup>+</sup>}}는 [[반군]]에서의 [[약한 역]]이다.
* <math>(AA^+)^* = AA^+</math>
** 즉, {{math|''AA''<sup>+</sup>}}는 [[에르미트 행렬]]이다.
* <math>(A^+A)^* = A^+A</math>
** 즉, {{math|''A''<sup>+</sup>''A''}}도 에르미트 행렬이다.

== 성질 ==
=== 존재와 유일성 ===
무어-펜로즈 유사역행렬은 항상 존재하며, 유일하다. 즉, 임의의 행렬 <math>A</math>에 대하여, 무어-펜로즈 유사역행렬 정의의 네 가지 조건을 만족하는 행렬 <math>A^+</math>는 반드시 정확히 한 개 존재한다.

반면, 이 네 조건 가운데 하나를 제거하면 이는 더 이상 유일하지 않다.

=== 연산과의 호환 ===
무어-펜로즈 유사역행렬 연산은 [[전치 행렬]] 연산 · 성분별 [[켤레 복소수|켤레]] · [[켤레전치]]와 교환 법칙을 따른다.
:<math>(A^\top)^+ = (A^+)^\top</math>
:<math>(\bar A)^+ = \overline{A^+}</math>
:<math>(A^*)^+ = (A^+)^*</math>

행렬 <math>A</math>에 스칼라를 곱한 행렬의 무어-펜로즈 유사역행렬은 <math>A^+</math>를 그 스칼라로 나눈 것과 같다.
:<math>(\alpha A)^+ = \alpha^{-1} A^+ \qquad\forall A\in\operatorname{Mat}(m,n;K),\;\alpha \in K^\times</math>

무어-펜로즈 유사역행렬은 스스로의 역함수이다.
:<math>(A^+)^+ = A\qquad\forall A\in\operatorname{Mat}(m,n;K)</math>

==== 행렬 곱셈과의 호환 ====
무어-펜로즈 유사역행렬은 ([[역행렬]] 연산과 달리) 일반적으로 행렬 곱셈과 호환되지 못한다. 다만, 호환을 보장하는 [[충분 조건]]들이 존재한다.

구체적으로, 임의의 두 행렬
:<math>A \in \operatorname{Mat}(m,n;K)</math>
:<math>B \in \operatorname{Mat}(n,p;K)</math>
이 주어졌으며, 다음 네 조건 가운데 적어도 하나 이상이 성립한다고 하자.
* <math>A^*A = 1_{n\times n}</math>이다.
* <math>BB^* = 1_{n\times n}</math>이다.
* <math>A</math>의 열벡터들은 모두 서로 [[선형 독립]]이며, 또한 <math>B</math>의 행벡터들도 모두 서로 [[선형 독립]]이다.
* <math>A = B^*</math>이다.
그렇다면, 다음과 같이 무어-펜로즈 유사역행렬은 행렬 곱셈과 호환된다.
:<math>(AB)^+ = B^+ A^+</math>
그러나 이는 임의의 행렬에 대하여 성립하지 않는다.

=== 대수적 표현 ===
<math> A^+ </math>는 모든 행렬 <math> A </math>에 대하여 항상 유일하게 존재하지만, 일부 경우 이는 간단한 대수적 공식을 갖는다.

구체적으로, 만약 <math>A\in\operatorname{Mat}(m,n;K)</math>의 열벡터가 모두 <math>K</math>-[[선형 독립]]이라면, <math>A^* A\in\operatorname{Mat}(n,n;K)</math>는 [[가역 행렬]]이며, 이 경우 무어-펜로즈 유사역행렬은 다음과 같다.
:<math> A^+ = (A^* A)^{-1} A^*</math>
이러한 무어-펜로즈 유사역행렬을 '''좌측 역행렬'''이라고 하는데, <math> A^+A = I </math>가 성립하기 때문이다.

반대로, <math>A\in\operatorname{Mat}(m,n;K)</math>의 행벡터가 모두 <math>K</math>-[[선형 독립]]인 경우, <math>AA^* \in \operatorname{Mat}(m,m;K)</math>는 [[가역 행렬]]이며, 이 경우 무어-펜로즈 유사역행렬은 다음과 같다.
:<math> A^+ = A^*(A A^*)^{-1}</math>
이러한 경우에는 <math> A A^+=I</math>가 성립하므로, <math>A^+</math>를 '''우측 역행렬'''이라고 부른다.

물론, <math>A</math>의 열벡터와 행벡터 모두 <math>K</math>-[[선형 독립]]인 경우는 <math>A</math> 및 <math>A^*</math>가 가역 행렬이며, 이 경우
:<math>A^+ = (A^*A)^{-1} A^* = A^*(AA^*)^{-1} = A^{-1}</math>
이다.

=== 특잇값 분해로의 표현 ===
행렬 <math>A \in \operatorname{Mat}(m,n;K)</math>가 다음과 같은 [[특잇값 분해]]를 갖는다고 하자.
:<math>A = U\Sigma V^*</math>
:<math>U \in \operatorname U(m;K)</math>
:<math>V \in \operatorname U(n;K)</math>
:<math>\Sigma = \operatorname{diag}_{m,n}(\lambda_1,\dotsc,\lambda_{\min\{m,n\}}) \in \operatorname{Mat}(m,n;K)</math>
그렇다면, <math>A</math>의 무어-펜로즈 유사역행렬은 다음과 같다.
:<math>A^+ = V\Sigma^+U^* = V \operatorname{diag}_{n,m}(\lambda_1^+, \dotsc,\lambda_{\min\{m,n\}}^+) U^*</math>
여기서, <math>\lambda\in K</math>에 대하여
:<math>\lambda^+ = \begin{cases}
\lambda^{-1} & \lambda \ne 0 \\
0 & \lambda = 0
\end{cases}</math>
이다.

== 예 ==
[[가역 행렬]]의 무어-펜로즈 유사역행렬은 [[역행렬]]이다.
:<math>\exists A^{-1} \implies A^+ = A^{-1}</math>

=== 1×1 행렬 ===
<math>1\times1</math> 행렬의 무어-펜로즈 유사역행렬은 다음과 같다.
:<math>\begin{pmatrix}
\lambda
\end{pmatrix}^+
=\begin{cases}
\begin{pmatrix}\lambda^{-1}\end{pmatrix} & \lambda \ne 0 \\
\begin{pmatrix}0\end{pmatrix} & \lambda = 0
\end{cases}</math>

=== 대각 행렬 ===
직사각형 대각 행렬
:<math>\operatorname{diag}_{m,n}(\lambda_1,\lambda_2,\dotsc,\lambda_{\min\{m,n\}}) \in \operatorname{Mat}(m,n;K)</math>
의 경우, 무어-펜로즈 유사역행렬은 다음과 같다.
:<math>\operatorname{diag}_{m,n}(\lambda_1,\lambda_2,\dotsc,\lambda_{\min\{m,n\}})^+ = 
\operatorname{diag}_{n,m}(\lambda_1^+,\lambda_2^+,\dotsc,\lambda_{\min\{m,n\}}^+)
 \in \operatorname{Mat}(n,m;K)</math>
여기서 <math>\lambda_i^+</math>는 1×1 행렬의 무어-펜로즈 유사역행렬(즉, 가역원일 경우 역원, 0일 경우 0)이다.

특히, 영행렬의 무어-펜로즈 유사역행렬은 그 행렬의 [[전치 행렬]]인 영행렬이다.
:<math>0_{m,n}^+ = 0_{m,n}</math>

== 응용 ==
무어-펜로즈 유사역행렬은 유일한 해가 존재하지 않는 [[선형연립방정식]]에서 [[최소제곱법]]에 따른 최적해를 구하기 위해 흔히 사용된다. 혹은 해가 여러 개 존재하는 선형연립방정식에서 [[유클리드 노름]]을 최소화하는 해를 찾는 데에 사용되기도 한다. 또한 무어-펜로즈 유사역행렬을 사용하면 선형대수학의 많은 부분을 보다 쉽게 서술하고 증명할 수 있다.

== 역사 ==
1920년에 [[일라이어킴 헤이스팅스 무어]]가 최초로 발견하였다.<ref>{{저널 인용| last=Moore | first=Eliakim Hastings | 저자링크=일라이어킴 헤이스팅스 무어 | title=On the reciprocal of the general algebraic matrix | journal=Bulletin of the American Mathematical Society | volume=26 |issue=9| pages=394–395 | year=1920 | url =http://projecteuclid.org/euclid.bams/1183425340 | doi = 10.1090/S0002-9904-1920-03322-7|언어=en }}</ref> 이후 아르네 볘르함마르({{llang|sv|Arne Bjerhammar}}, 1917〜2011)<ref>{{서적 인용 | last=Bjerhammar| first=Arne | title=Application of calculus of matrices to method of least squares with special references to geodetic calculations| 총서=Kungliga Tekniska högskolans handlingar | year=1951 | 권 = 49|출판사=Lindståhl | zbl= 0043.12203 | 언어=en}}</ref>와 [[로저 펜로즈]]<ref name="Penrose1955">{{저널 인용| last=Penrose | first=Roger | authorlink=로저 펜로즈 | title=A generalized inverse for matrices | journal=Proceedings of the Cambridge Philosophical Society | volume=51 | pages=406–413 | year=1955 | doi=10.1017/S0305004100030401|언어=en}}</ref>가 이 개념을 1950년대에 재발견하였다.

== 같이 보기 ==
* [[역원]]
* [[절대평탄환]]
== 참고 문헌 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{매스월드|id=Moore-PenroseMatrixInverse|title=Moore-Penrose matrix inverse}}
{{행렬의 종류}}

[[분류:선형대수학]]
[[분류:행렬론]]
[[분류:수치선형대수학]]