무게 (표현론) 문서 원본 보기

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[[리 대수]] 이론에서, '''무게'''({{llang|en|weight}})는 [[리 대수의 표현]]을 분류하는 일련의 수들이다.

== 정의 ==
[[체 (수학)|체]] <math>K</math>에 대한 [[리 대수]] <math>\mathfrak g</math>의 '''무게''' <math>\lambda\in\mathfrak g^\vee</math>는 다음 성질을 만족시키는 <math>K</math>-선형 범함수이다. (여기서 <math>(-)^\vee</math>는 [[쌍대 공간]]이다.)
:<math>\lambda([a,b])=0\qquad\forall a,b\in\mathfrak g</math>
무게는 [[리 괄호]]에 대하여 0이므로, 리 대수 <math>\mathfrak g</math>의 무게는 그 가환화 <math>\mathfrak g/[\mathfrak g,\mathfrak g]</math>의 무게로 제한될 수 있다. 즉, <math>\mathfrak g</math>의 무게는 <math>(\mathfrak g/[\mathfrak g,\mathfrak g])^*</math>의 원소를 정의한다.

=== 무게 가군 ===
다음이 주어졌다고 하자.
* [[체 (수학)|체]] <math>K</math>
* <math>K</math>-리 대수 <math>\mathfrak g</math>
* <math>\mathfrak g</math>의 [[리 대수의 표현|표현]] <math>\mathfrak g\to\operatorname{\mathfrak{gl}}(V;K)</math>
* <math>\mathfrak g</math>의 무게 <math>\lambda\in\mathfrak g^*</math>
그렇다면, <math>V</math> 속의, 무게 <math>\lambda</math>의 '''무게 공간'''({{llang|en|weight space}}) <math>V_\lambda</math>는 <math>V</math>의 다음과 같은 부분 공간이다.
:<math>V_\lambda=\{v\in V\colon \forall a\in\mathfrak g\colon av=\lambda(a)v\}</math>
<math>V_\lambda\ne\{0\}</math>이라면 <math>\lambda</math>를 <math>V</math>의 '''무게'''라고 하고, 무게 공간의 원소를 '''무게 벡터'''({{llang|en|weight vector}})라고 한다.

만약 <math>V</math>가 그 무게 공간들의 [[직합]]이라면, <math>V</math>를 <math>\mathfrak g</math>의 '''무게 가군'''(-加群, {{llang|en|weight module}})이라고 한다.

마찬가지로, 다음을 정의하자. <math>V</math> 속의, 무게 <math>\lambda</math>의 '''일반화 무게 공간'''({{llang|en|generalized weight space}}) <math>V_\lambda</math>는 <math>V</math>의 다음과 같은 부분 공간이다.<ref name="Knapp">{{서적 인용|last=Knapp|first=Anthony W.|title=Lie groups beyond an introduction|edition= 2판|총서=Progress in Mathematics |권=140|publisher=Birkhäuser|place= Boston|날짜= 2002|isbn=0-8176-4259-5 | zbl=1075.22501|mr=1920389 |url=https://www.springer.com/birkhauser/mathematics/book/978-0-8176-4259-4|언어=en}}</ref>{{rp|130}}
:<math>V_\lambda=\{v\in V\colon \forall a\in\mathfrak g\colon\exists n\in\mathbb Z^+\colon(a-\lambda(a))^nv=v\}</math>
<math>V_\lambda\ne\{0\}</math>이라면 <math>\lambda</math>를 <math>V</math>의 '''일반화 무게'''({{llang|en|generalized weight}})라고 하고, 무게 공간의 원소를 '''일반화 무게 벡터'''({{llang|en|generalized weight vector}})라고 한다. (유한 차원 <math>V</math>의 경우 사실 항상 <math>n=\dim V</math>로 잡을 수 있다.)

마찬가지로, 일반화 무게 공간들의 직합으로 표현되는 표현을 '''일반화 무게 가군'''({{llang|en|generalized weight module}})이라고 한다.

== 성질 ==
복소수체 위의 유한 차원 [[멱영 리 대수]] <math>\mathfrak n</math>의 모든 유한 차원 표현은 항상 일반화 무게 가군이다.<ref name="Knapp"/>{{rp|130, Proposition II.2.4}}

복소수체 위의 유한 차원 [[아벨 리 대수]] <math>\mathfrak a</math>의 모든 유한 차원 표현은 항상 무게 가군이다.

=== 반단순 리 대수의 카르탕 부분 대수의 무게 ===
만약 <math>\mathfrak g</math>가 [[복소수체]] 위의 유한 차원 [[반단순 리 대수]]라고 하고, 그 [[카르탕 부분 대수]] <math>\mathfrak h\subseteq\mathfrak g</math>를 고르자. <math>[\mathfrak g,\mathfrak g]=\mathfrak g</math>이므로, <math>\mathfrak g</math> 위의 모든 무게는 자명하다. 그러나 [[아벨 리 대수]] <math>\mathfrak h</math>는 (물론) 자명하지 않을 수 있다. 이 경우, <math>\mathfrak g</math>의 모든 유한 차원 표현은 (<math>\mathfrak h</math>에 제한되었을 때) <math>\mathfrak h</math>의 무게 가군을 이룬다.

[[딸림표현]] <math>V=\mathfrak g</math>의 <math>\mathfrak h</math>-무게들을 <math>\mathfrak g</math>의 '''근'''(根, {{llang|en|root}})이라고 하며, 이들은 <math>\mathfrak h^*</math>의 벡터들의 집합으로서 [[근계]]를 이룬다. 근 <math>\lambda</math>에 대응하는 '''쌍대근'''(雙對根, {{llang|en|coroot}}) <math>\lambda^\vee\in\mathfrak h</math>은
:<math>\lambda^\vee=\frac{2\lambda}{\langle\lambda,\lambda\rangle}</math>
이다.

=== 단순 리 대수의 무게 ===
<math>\mathfrak g</math>가 [[복소수체]] 위의 유한 차원 [[단순 리 대수]]라고 하고, 그 [[카르탕 부분 대수]] <math>\mathfrak h\subseteq\mathfrak g</math>를 고르자. <math>\mathfrak g</math>의 '''정수 무게'''(整數-, {{llang|en|integral weight}}) <math>\lambda\in\mathfrak h^*</math>는 다음 조건을 만족시키는 무게이다.
* 모든 쌍대근 <math>\gamma^\vee=2\gamma/\langle\gamma,\gamma\rangle</math>에 대하여, <math>\lambda(\gamma^\vee)\in\mathbb Z</math>. (다시 말해, 모든 근 <math>\gamma</math>에 대하여, <math>2\langle \lambda,\gamma\rangle/\langle\gamma,\gamma\rangle \in \mathbb Z</math>.)
정수 무게들의 집합 <math>P(\mathfrak g,\mathfrak h)\subseteq\mathbb h</math>는 (덧셈군으로서) <math>\mathbb Z^{\oplus\dim\mathfrak h}</math>와 동형이며, 이를 '''정수 무게 격자'''({{llang|en|integral weight lattice}})라고 한다.

<math>\mathfrak g</math>의 [[근계]]의 [[양근 (수학)|양근]] <math>\Delta^+(\mathfrak g,\mathfrak h)\subseteq\Delta(\mathfrak g,\mathfrak h)</math> 및 이를 생성하는 단순근 <math>\operatorname S(\mathfrak g,\mathfrak h)\subseteq \Delta^+(\mathfrak g,\mathfrak h)</math>를 고르자.
그렇다면, <math>\mathfrak g</math>의 '''기본 무게'''(基本-, {{llang|en|fundamental weight}}) <math>\lambda_i</math>는 (선택한 [[양근 (수학)|양근]] 집합에 대한) 단순근에 대응되는 쌍대근들의 집합의 쌍대 기저의 원소이다. 즉, [[단순근]] 집합 <Math>\operatorname S(\mathfrak g,\mathfrak h)=(\alpha_i)_{i\in\{1,\dotsc,\dim_{\mathbb h}\}}</math>에 대하여 다음 조건을 만족시키는 무게 <math>(\omega_i)_{i\in\{1,\dotsc,\dim_{\mathbb h}\}}\subseteq\mathfrak h</math>이다.
:<math>2\frac{\langle\omega_i,\alpha_j\rangle}{\langle\alpha_j,\alpha_j\rangle} = \delta_{ij}</math>
이에 따라, 정수 무게는 기본 무게의 정수 계수 [[선형 결합]]이 된다.

<math>\mathfrak g</math>의 '''우세 무게'''(優勢-, {{llang|en|dominant weight}})는 기본 무게의 음이 아닌 실수 계수 [[선형 결합]]이다. 즉, 무게 <math>\gamma\in\mathfrak h</math>가 우세 무게가 될 [[필요 충분 조건]]은 모든 양근 (또는 [[단순근]]) <math>\alpha</math>에 대하여
:<math>\langle \gamma,\alpha\rangle\ge0</math>
인 것이다. <math>\mathfrak g</math>의 '''우세 정수 무게'''(優勢-, {{llang|en|dominant integral weight}})는 기본 무게들의 음이 아닌 정수 계수의 [[선형 결합]]이다. 우세 무게들의 [[닫힌집합]](즉, 우세 정수 무게들의 [[볼록포]])를 '''기본 바일 방'''({{llang|en|fundamental Weyl chamber}})이라고 한다.

즉, 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.
:{| style="text-align: center"
| 무게 || ⊃ || 정수 무게 || ⊃ || ''근'' || ⊃ || <u>''[[양근 (수학)|양근]]''</u> || ⊃ || <u>''[[단순근]]''</u>
|-
| ∪ || || ∪
|-
| <u>우세 무게</u> || ⊃ || <u>우세 정수 무게</u> || ⊃ || <u>''기본 무게''</u>
|-
| || || ⟒
|-
| || || ''영벡터'' (0)
|}
여기서
* <u>밑줄</u>로 강조된 것들은 [[양근 (수학)|양근]]의 선택에 의존하지만, 나머지는 그렇지 않다.
* ''기울어지게'' 쓰인 것들은 [[유한 집합]]이며, 나머지는 [[무한 집합]]이다.

== 예 ==
다음과 같은 A<sub>2</sub> [[근계]]를 생각하자.
:[[파일:Weights for A2 root system.png]]
여기서
* 평면의 모든 점은 무게이다. (즉, 그 수는 비가산 무한 개이다.)
* 삼각형 격자의 모든 꼭짓점은 정수 무게이다. (즉, 그 수는 [[가산 무한]] 개이다.)
* 굵게 칠해진 꼭짓점들은 우세 정수 무게이다. (즉, 그 수는 [[가산 무한]] 개이다.)
* 굵게 칠해진 꼭짓점들의 [[볼록포]]인 60° 부채꼴 속의 점은 우세 무게이다. (즉, 그 수는 비가산 무한 개이다.)
* 화살표의 머리들(<math>\pm\gamma_1</math>, <math>\pm\gamma_2</math>, <math>\pm(\gamma_1+\gamma_2)</math>)은 근이다. (즉, 총 6개의 근이 있다.)
* [[양근 (수학)|양근]]은 <math>\gamma_1</math>, <math>\gamma_2</math>, <math>\gamma_1+\gamma_2</math>이다. (즉, 총 3개의 [[양근 (수학)|양근]]이 있다.)
* [[단순근]]은 <math>\gamma_1</math>, <math>\gamma_2</math>이다. (즉, 총 2개의 [[단순근]]이 있다.)
* 기본 무게는 <math>\omega_1</math>, <math>\omega_2</math>이다. (즉, 총 2개의 기본 무게가 있다.)

다음과 같은 B<sub>2</sub> [[근계]]를 생각하자.
:[[파일:Root system B2.svg|360px]]
여기서
* 평면의 모든 점은 무게이다. (즉, 그 수는 비가산 무한 개이다.)
* 격자 <math>\mathbb Z\alpha + \mathbb Z\beta/2</math>의 원소는 정수 무게이다. (즉, 그 수는 [[가산 무한]] 개이다.)
* <math>\mathbb N(\alpha+\beta)+\mathbb N(\alpha+\beta/2)</math>의 원소는 우세 정수 무게이다. (즉, 그 수는 [[가산 무한]] 개이다.)
* 제1사분면의 점 가운데, y좌표가 x좌표보다 더 큰 점들로 구성된 45° 부채꼴 속의 점은 우세 무게이다. (즉, 그 수는 비가산 무한 개이다.)
* 화살표의 머리들(<math>\pm\alpha</math>, <math>\pm\beta</math>, <math>\pm(\alpha+\beta)</math> <math>\pm(2\alpha+\beta)</math>)은 근이다. (즉, 총 8개의 근이 있다.)
* [[양근 (수학)|양근]]은 <math>\alpha</math>, <math>\beta</math>, <math>\alpha+\beta</math>, <math>2\alpha+\beta</math>이다. (즉, 총 4개의 [[양근 (수학)|양근]]이 있다.)
* [[단순근]]은 <math>\alpha</math>, <math>\beta</math>이다. (즉, 총 2개의 [[단순근]]이 있다.)
* 기본 무게는 <math>\alpha+\beta</math>, <math>\alpha+\beta/2</math>이다. (즉, 총 2개의 기본 무게가 있다.)

== 같이 보기 ==
* [[리 대수의 표현]]
* [[근계]]
== 각주 ==
{{각주}}
* {{서적 인용|성=Fulton|이름=William|이름2=Joe|성2=Harris|날짜=1991|제목=Representation theory: a first course|총서=Graduate Texts in Mathematics|권=129|issn=0072-5285|출판사=Springer|mr=1153249|zbl=0744.22001|isbn= 978-3-540-00539-1|doi=10.1007/978-1-4612-0979-9|언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Weight of a representation of a Lie algebra}}
* {{매스월드|id=LieAlgebraWeight|title=Lie algebra weight}}
* {{매스월드|id=LieAlgebraRoot|title=Lie algebra root}}
* {{매스월드|id=RootLattice|title=Root lattice}}
* {{nlab|id=weight (in representation theory) |title=Weight (in representation theory) }}
* {{nlab|id=root (in representation theory) |title=Root (in representation theory) }}

{{전거 통제}}

[[분류:리 대수]]
[[분류:표현론]]