뫼비우스 반전 공식 문서 원본 보기

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[[수론]]에서, '''뫼비우스 반전 공식'''(Möbius反轉公式, {{llang|en|Möbius inversion formula}})은 [[수론적 함수]]의 약수에 대한 합으로부터 원래 함수를 되찾는 공식이다.

== 정의 ==
양의 정수의 집합 <math>\mathbb Z^+</math>을 정의역으로 하고, [[가환환]] <math>R</math>를 공역으로 하는 임의의 두 함수
:<math>f,g\colon\mathbb Z^+\to R</math>
에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.<ref name="Apostol">{{서적 인용|성=Apostol|이름=Tom Mike|저자링크=톰 어포스톨|제목=Introduction to analytic number theory|언어=en|총서=Undergraduate Texts in Mathematics|출판사=Springer-Verlag|위치=[[뉴욕]]|날짜=1976|isbn=978-1-4419-2805-4|doi=10.1007/978-1-4757-5579-4|mr=0434929|zbl=0335.10001|issn=0172-6056}}</ref>{{rp|32, Theorem 2.9}}
:<math>g(n)=\sum_{d\mid n}f(d)\qquad\forall n\in\mathbb Z^+</math>
:<math>f(n)=\sum_{d\mid n}\mu(d)g(n/d)\qquad\forall n\in\mathbb Z^+</math>
이를 '''뫼비우스 반전 공식'''이라고 한다. 두 등식의 우변의 합은 <math>n</math>의 양의 약수 <math>d</math>에 대한 합이다. 가환환 <math>R</math>의 대표적인 예는 [[복소수체]] <math>\mathbb C</math>이다. 첫째 등식은 <math>g(n)</math>을 모든 <math>d\mid n</math>에 대한 <math>f(d)</math>들의 합으로 나타낸다. 둘째 등식은 <math>f(n)</math>을 <math>g(n/d)</math>들의 정수 계수 선형 결합으로 나타낸다. 여기에 붙는 계수는 [[뫼비우스 함수]] <math>\mu\colon\mathbb Z^+\to\mathbb Z</math>이며, 이는 정수 <math>-1,0,1</math>을 값으로 한다. (0개 이상의 서로 다른 소수 <math>p_1,\dots,p_k</math>에 대하여
:<math>\mu(p_1\dots p_k)=(-1)^k</math>
이며, 소수 <math>p</math> 및 양의 정수 <math>n</math>에 대하여
:<math>\mu(p^2n)=0</math>
이다.)

두 공식에서 <math>n</math>에 대한 전칭은 필수적이다. 만약 임의의 <math>n</math>에서 첫째 등식이 성립한다면 임의의 <math>n</math>에서 둘째 등식이 성립하며, 그 역도 성립한다. 그러나 어떤 <math>n</math>에서 첫째 등식이 성립한다고 하여 그 <math>n</math>에서 둘째 등식이 성립하지는 않으며, 그 역도 마찬가지다.

두 함수가 [[곱셈적 함수]]인지 여부는 서로 [[동치]]이다. 즉, 만약 <math>f</math>가 곱셈적 함수라면, 그 상 <math>g</math> 역시 곱셈적 함수이다. 반대로 만약 <math>g</math>가 곱셈적이라면, 그 원상 <math>f</math> 역시 곱셈적이다.

=== 디리클레 합성곱과의 관계 ===
[[가환환]] <math>R</math>가 주어졌을 때, 두 함수 <math>f,g\colon\mathbb Z^+\to R</math>의 [[디리클레 합성곱]]
:<math>(f*g)(n)=\sum_{d\mid n}f(d)g(n/d)</math>
을 정의할 수 있으며, 함수 <math>\mathbb Z^+\to R</math>의 집합 <math>R^{\mathbb Z^+}</math>은 점별 덧셈과 디리클레 합성곱에 대하여 [[가환환]]을 이룬다.

[[디리클레 합성곱]]을 사용하여, 뫼비우스 반전 공식의 첫째 등식을 다음과 같이 쓸 수 있다.
:<math>g=1*f</math>
여기서 1은 모든 양의 정수를 가환환의 곱셈 항등원 <math>1\in A</math>로 보내는 상수 함수를 나타낸다. 마찬가지로, 둘째 등식은 다음과 같이 쓸 수 있다.
:<math>f=\mu*g</math>
여기서 <math>\mu</math>는 뫼비우스 함수와 유일한 환 준동형 <math>\mathbb Z\to R</math>의 합성이며, 여기서는 뫼비우스 함수와 같은 기호로 나타낸다. 뫼비우스 반전 공식에 따르면, 두 등식이 서로 동치이다.

[[가환환]] <math>(R^{\mathbb Z^+},+,*)</math>에서, 1과 <math>\mu</math>는 서로 곱셈 역원이다.
:<math>\mu*1=\delta</math>
여기서
:<math>\delta(n)=\begin{cases}
1&n=1\\
0&n\ne1
\end{cases}
</math>
는 <math>(\mathbb Z^{\mathbb Z^+},+,*)</math>의 곱셈 항등원이다. 이는 뫼비우스 반전 공식을 자명하게 함의한다. (즉, 만약 <math>g=1*f</math>라면
:<math>\mu*g=\mu*(1*f)=(\mu*1)*f=\delta*f=f</math>
이며, 만약 <math>f=\mu*g</math>라면
:<math>1*f=1*(\mu*g)=(1*\mu)*g=\delta*g=g</math>
이다.)

두 곱셈적 함수의 디리클레 합성곱은 곱셈적 함수이다. 또한, 1과 <math>\mu</math> 모두 곱셈적 함수이다. 뫼비우스 반전 공식에 등장하는 두 함수의 [[곱셈적 함수]] 여부가 [[동치]]임은 이로부터 자명하다.

== 연속 정의역 ==
[[조합론]]에서 자주 쓰이는 뫼비우스 반전 공식은 다음과 같다. 폐구간 <math>[1,\infty)</math>를 정의역으로 하고 [[아벨 군]] <math>(A,+)</math>을 공역으로 하는 임의의 두 함수 <math>f,g\colon[1,\infty)\to A</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
:<math>G(x)=\sum_{{\scriptstyle1\le n\le x\atop\scriptstyle n\in\mathbb Z^+}}F(x/n)\qquad\forall x\in[1,\infty)</math>
:<math>F(x)=\sum_{{\scriptstyle1\le n\le x\atop\scriptstyle n\in\mathbb Z^+}}\mu(n)G(x/n)\qquad\forall x\in[1,\infty)</math>
여기서 우변의 합은 <math>x</math>보다 작거나 같은 모든 양의 정수 <math>n</math>에 대한 합이다.

== 근접 대수 ==
{{본문|근접 대수}}
수론의 뫼비우스 반전 공식은 [[근접 대수]]에 대한 뫼비우스 반전 공식의 특수한 경우이다. 구체적으로, 양의 정수의 집합은 약수 관계에 따라 국소 유한 부분 순서 집합
:<math>(\mathbb Z^+,\mid)</math>
:<math>m\mid n\iff\exists d\in\mathbb Z^+\colon n=md</math>
을 이룬다. <math>(\mathbb Z^+,\mid)</math>의 [[근접 대수]]에 대한 뫼비우스 반전 공식은 수론의 뫼비우스 반전 공식이다.

함수 <math>[1,\infty)\to R</math>에 대한 뫼비우스 반전 공식 역시 [[근접 대수]]에 대한 뫼비우스 반전 공식의 특수한 경우이다. 구체적으로, 국소 유한 부분 순서 집합
:<math>([1,\infty),\preceq)</math>
:<math>x\preceq y\iff x\in\mathbb Z^+\land x\le y</math>
의 [[근접 대수]]에 대한 뫼비우스 반전 공식과 같다.

== 예 ==
대표적인 예는 다음과 같다. (모두 복소수체 <math>\mathbb C</math>를 공역으로 한다.)
{| class="wikitable"
! <math>f(n)</math> !! <math>g(n)</math>
|-
| 1 || [[약수 함수]] <math>\sigma_0(n)</math>
|-
| <math>n</math> || [[약수 함수]] <math>\sigma_1(n)</math>
|-
| [[오일러 피 함수]] <math>\phi(n)</math> || <math>n</math>
|-
| [[뫼비우스 함수]] <math>\mu(n)</math> || [[크로네커 델타|델타 함수]] <math>\delta(n)</math>
|-
| <math>\mu(n)/n</math> || <math>\phi(n)/n</math>
|-
| [[폰 망골트 함수]] <math>\Lambda(n)</math> || [[자연로그]] <math>\ln n</math>
|-
| <math>\cos(n\pi/2)</math> || 방정식 <math>x^2+y^2=n</math>의 정수해의 개수의 1/4
|}

== 역사 ==
19세기 수학자 [[아우구스트 페르디난트 뫼비우스]]의 이름을 딴 공식이다.

== 같이 보기 ==
* [[페리 수열]]
* [[포함배제의 원리]]

== 참고 문헌 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{수학노트|제목=뫼비우스 반전공식}}
* {{eom|제목=Möbius inversion}}
* {{매스월드|id=MoebiusInversionFormula|제목=Möbius inversion formula}}
* {{nlab|id=Möbius inversion}}
* {{플래닛매스|urlname=mobiusinversion|제목=Möbius inversion}}
* {{플래닛매스|urlname=alternateproofofmobiusinversionformula|제목=Alternate proof of Möbius inversion formula}}

[[분류:수론적 함수]]
[[분류:열거조합론]]
[[분류:수론 정리]]