몰리 삼등분 정리 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[파일:Morley triangle.svg|섬네일|6개의 선분이 큰 삼각형의 세 각을 삼등분한다면 가운데에 위치한 삼각형의 세 변의 길이는 같다.]]
[[기하학]]에서 '''몰리 삼등분 정리'''({{lang|en|Morley}}三等分定理, {{llang|en|Morley's trisector theorem}})는 [[삼각형]]의 한 가지 경이로운 성질에 대한 정리이다. 이에 따르면, 임의의 삼각형의 각의 [[각의 삼등분선|삼등분선]]의 이웃하는 것들끼리의 교점은 [[정삼각형]]의 꼭짓점을 이룬다.
 
== 정의 ==
삼각형 <math>\triangle ABC</math>의 각 <math>\angle B</math>와 <math>\angle C</math>의 변 <math>BC</math>와 더 가까운 [[각의 삼등분선|삼등분선]]의 교점이 <math>X</math>라고 하자. 마찬가지로 각 <math>\angle A</math>와 <math>\angle C</math>의 변 <math>AC</math>와 더 가까운 삼등분선의 교점이 <math>Y</math>라고 하고, 각 <math>\angle A</math>와 <math>\angle B</math>의 변 <math>AB</math>와 가까운 삼등분선의 교점이 <math>Z</math>라고 하자. '''몰리 삼등분 정리'''에 따르면, 삼각형 <math>\triangle XYZ</math>는 [[정삼각형]]이다. 삼각형 <math>\triangle XYZ</math>를 삼각형 <math>\triangle ABC</math>의 '''몰리 삼각형'''({{lang|en|Morley}}三角形, {{llang|en|Morley triangle}})이라고 한다. 즉, 몰리 삼등분 정리는 임의의 삼각형의 몰리 삼각형은 정삼각형이라는 내용이다.
 
== 증명 ==
=== 초등적 증명 ===
정삼각형 <math>\triangle XYZ</math>를 고정하자.<ref name="Isaacs">{{서적 인용
|성=Isaacs
|이름=I. Martin
|제목=Geometry for College Students
|언어=en
|총서=The Brooks/Cole Series in Advanced Mathematics
|출판사=Brooks/Cole
|날짜=2001
|isbn=0-534-35179-4
}}</ref>{{rp|82-85, §2G}} 임의의 삼각형 <math>\triangle A'B'C'</math>에 대하여, 다음 두 조건을 만족시키는 삼각형 <math>\triangle ABC</math>를 찾는 것으로 족하다.
* 삼각형 <math>\triangle ABC</math>와 <math>\triangle A'B'C'</math>은 서로 [[닮음 (기하학)|닮음]]이다.
* 삼각형 <math>\triangle ABC</math>의 몰리 삼각형은 삼각형 <math>\triangle XYZ</math>이다.
우선
:<math>\angle A'=3\alpha,\;\angle B'=3\beta,\;\angle C'=3\gamma</math>
이라고 하자. 그렇다면
:<math>\alpha+\beta+\gamma=60^\circ</math>
이다. 삼각형 <math>\triangle XYZ</math> 외부의 세 점 <math>A,B,C</math>를 다음과 같이 정의하자.
:<math>\angle BZX=\angle CYX=60^\circ+\alpha</math>
:<math>\angle CXY=\angle AZY=60^\circ+\beta</math>
:<math>\angle AYZ=\angle BXZ=60^\circ+\gamma</math>
그렇다면
:<math>\angle YAZ=\alpha,\;\angle XBZ=\beta,\;\angle XCY=\gamma</math>
이다. 이제 <math>AY</math>와 <math>AZ</math>, <math>BX</math>와 <math>BZ</math>, <math>CX</math>와 <math>CY</math>가 삼각형 <math>\triangle ABC</math>의 세 각의 삼등분선이라는 사실을 증명하자. 직선 <math>BZ</math>와 <math>CY</math>의 교점이 <math>U</math>라고 하고, 직선 <math>AZ</math>와 <math>CX</math>의 교점이 <math>V</math>라고 하고, 직선 <math>AY</math>와 <math>BX</math>의 교점을 <math>W</math>라고 하자. 그렇다면
:<math>\angle UYZ=\angle UZY=60^\circ-\alpha</math>
이므로 <math>UY=UZ</math>이며, 삼각형 <math>\triangle UYX</math>와 <math>\triangle UZX</math>는 서로 [[합동 (기하학)|합동]]이다. 특히, 반직선 <math>UX</math>는 각 <math>\angle U</math>의 [[각의 이등분선|이등분선]]이다. 또한,
:<math>\angle BUC=180^\circ-\angle UYZ-\angle UZY=60^\circ+2\alpha</math>
:<math>\angle BXC=180^\circ-\angle CXW=120^\circ+\alpha</math>
이므로,
:<math>\angle BXC=90^\circ+\frac 12\angle BUC</math>
이다. 즉, <math>X</math>는 삼각형 <math>\triangle BCU</math>의 [[내심]]이며, 반직선 <math>BX</math>와 <math>CX</math>는 각 <math>\angle CBU</math>와 <math>\angle BCU</math>의 이등분선이다. 마찬가지로, 반직선 <math>AY</math>와 <math>CY</math>는 삼각형 <math>\triangle ACV</math>의 두 각의 이등분선이며, 반직선 <math>AZ</math>와 <math>BZ</math>는 삼각형 <math>\triangle ABW</math>의 두 각의 이등분선이다. 즉, 이 6개의 반직선은 모두 삼각형 <math>\triangle ABC</math>의 세 각의 삼등분선이며, 삼각형 <math>\triangle XYZ</math>는 삼각형 <math>\triangle ABC</math>의 몰리 삼각형이다. 또한,
:<math>\angle BAC=3\alpha=\angle A'</math>
:<math>\angle ABC=3\beta=\angle B'</math>
:<math>\angle ACB=3\gamma=\angle C'</math>
이므로, 삼각형 <math>\triangle ABC</math>와 <math>\triangle A'B'C'</math>은 서로 닮음이다. 닮음은 직선을 보존하고 두 직선 사이의 각의 크기를 보존하며, 특히 각의 삼등분선을 각의 삼등분선으로, 정삼각형을 정삼각형으로 변환한다. 이에 의하여 원래 삼각형 <math>\triangle A'B'C'</math>의 몰리 삼각형 역시 정삼각형이다.

=== 삼각법을 통한 증명 ===
몰리 삼각형의 세 변의 길이를 직접 구하여 증명할 수 있다.<ref name="Bottema">{{서적 인용
|성=Bottema
|이름=O.
|제목=Topics in Elementary Geometry
|url=https://archive.org/details/topicsinelementa0000bott
|언어=en
|번역자-성=Erné
|번역자-이름=Reinie
|판=2
|출판사=Springer
|위치=New York, NY
|날짜=2008
|isbn=978-0-387-78130-3
|doi=10.1007/978-0-387-78131-0
|lccn=2008931335
}}</ref>{{rp|43-44, §10.2}} 삼각형 <math>\triangle ABC</math>의 [[외접원]]의 반지름이 <math>R</math>라고 하고,
:<math>\angle BAC=3\alpha,\;\angle ABC=3\beta,\;\angle ACB=3\gamma</math>
라고 하자. 그렇다면
:<math>\alpha+\beta+\gamma=60^\circ</math>
이다. 삼각형 <math>\triangle BCX</math>에 [[사인 법칙]]을 적용하면
:<math>\begin{align}CX
&=\frac{BC\cdot\sin\beta}{\sin(180^\circ-\beta-\gamma)}\\
&=\frac{2R\sin 3\alpha\sin\beta}{\sin(60^\circ-\alpha)}\\
&=8R\sin\alpha\sin\beta\sin(60^\circ+\alpha)
\end{align}</math>
를 얻는다. 마지막 등호는 항등식
:<math>\begin{align}\sin 3\alpha
&=3\sin\alpha-4\sin^3\alpha\\
&=4\sin\alpha\left(\left(\frac{\sqrt 3}2\right)^2-\sin^2\alpha\right)\\
&=4\sin\alpha(\sin 60^\circ+\sin\alpha)(\sin 60^\circ-\sin\alpha)\\
&=4\sin\alpha
\cdot 2\sin\frac{60^\circ+\alpha}2\cos\frac{60^\circ-\alpha}2
\cdot 2\sin\frac{60^\circ-\alpha}2\cos\frac{60^\circ+\alpha}2\\
&=4\sin\alpha\sin(60^\circ+\alpha)\sin(60^\circ-\alpha)
\end{align}</math>
때문이다. 마찬가지로,
:<math>CY=8R\sin\alpha\sin\beta\sin(60^\circ+\beta)</math>
가 성립한다. 삼각형 <math>\triangle CXY</math>에 [[코사인 법칙]]을 적용하면
:<math>\begin{align}XY^2
&=CX^2+CY^2-2CX\cdot CY\cdot\cos\gamma\\
&=64R^2\sin^2\alpha\sin^2\beta(
\sin^2(60^\circ+\alpha)+\sin^2(60^\circ+\beta)-2\sin(60^\circ+\alpha)\sin(60^\circ+\beta)\cos\gamma)\\
&=64R^2\sin^2\alpha\sin^2\beta\sin^2\gamma
\end{align}</math>
를 얻는다. 마지막 등호는 세 각의 크기가 <math>60^\circ+\alpha</math>와 <math>60^\circ+\beta</math> 및 <math>\gamma</math>인 삼각형에 코사인 법칙을 적용한 결과이다. 즉,
:<math>XY=8R\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma</math>
이다. 이는 <math>\alpha,\beta,\gamma</math>에 대하여 대칭적이므로,
:<math>XY=XZ=YZ</math>
가 성립한다.
 
== 역사 ==
[[미국]]의 수학자 [[프랭크 몰리]]가 1900년에 제시하였다.<ref name="Morley">{{저널 인용
|성=Morley
|이름=F.
|제목=On the Metric Geometry of the Plane N-Line
|언어=en
|저널=Transactions of the American Mathematical Society
|권=1
|호=2
|쪽=97-115
|날짜=1900-04
|issn=0002-9947
|jstor=1986387
}}</ref>
 
== 같이 보기 ==
* [[나폴레옹 정리]]
 
== 각주 ==
{{각주}}
 
== 외부 링크 ==
* {{매스월드|id=MorleysTheorem|title=Morley's theorem}}

[[분류:삼각형에 대한 정리]]