모스 호몰로지 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[미분위상수학]]에서 '''모스 호몰로지'''({{llang|en|Morse homology}})는 [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[매끄러운 다양체]]의 [[호몰로지]]를 그 위의 실수 값 함수를 통해 구성하는 방법이다.<ref>{{서적 인용|title=Lectures on Morse Homology|series=Kluwer Texts in the Mathematical Sciences|volume=29|issn=0927-4529|last=Banyaga|first=Augustin|coauthors=David Hurtubise|date=2004|isbn=978-1-4020-2695-9|doi=10.1007/978-1-4020-2696-6|publisher=Kluwer|mr=2145196|언어=en}}</ref><ref>{{서적 인용|title=Morse Homology|series=Progress in Mathematics|volume=111|last=Schwarz|first=Matthias|date=1993|isbn=978-3-0348-9688-7|doi=10.1007/978-3-0348-8577-5|publisher=Birkhäuser|mr=1239174|언어=en}}</ref> 다양체의 위상을 실수 값 함수를 통해 분석하는 이론인 [[모스 이론]]의 일부이다.

== 정의 ==
=== 모스-스메일 함수 ===
[[파일:UprightTorusFlowLines.png|섬네일|오른쪽|기울이지 않은 [[원환면]] 위의 높이 함수는 [[모스 함수]]이지만, 안장점에서 횡단 교차 조건을 충족시키지 못하여 모스-스메일 함수가 아니다.]]
[[파일:TiltedTorusFlowLines.png|섬네일|오른쪽|살짝 기울인 [[원환면]] 위의 높이 함수는 모스-스메일 함수이다.]]

[[콤팩트 공간|콤팩트]] [[매끄러운 다양체]] <math>M</math> 위에 임의의 [[리만 계량]] <math>g</math>와 모스 함수 <math>f</math>를 정의하자. 이 경우 그 [[기울기 (벡터)|기울기]] [[벡터장]] <math>\nabla f\in\Gamma(TM)</math>을 정의할 수 있다. 각 임계점 <math>x\in M</math>에 대하여, <math>\nabla f</math>의 안정 부분 공간(stable subspace) <math>W^\text{s}(x)</math>과 불안정 부분 공간(unstable subspace) <math>W^\text{u}(x)</math>을 정의할 수 있다. 만약 모든 임계점들의 안정 부분공간과 불안정 부분공간이 횡단 교차({{lang|en|transversal intersection}})한다면 (즉, 모든 <math>y\in W^\text{s}(x)\cap W^\text{u}(x)</math>에서 <math>T_yM=T_yW^\text{s}(x)\oplus T_yW^\text{u}(x)</math>이라면) 순서쌍 <math>(g,f)</math>를 '''모스-스메일 함수'''(Morse-Smale函數, {{llang|en|Morse–Smale function}})라고 한다.<ref>{{저널 인용|제목=Morse–Smale systems|이름=Michael|성=Shub|date=2007|저널=Scholarpedia|권=2|호=3|쪽=1785|doi=10.4249/scholarpedia.1785|issn=1941-6016|언어=en}}</ref> 이는 [[마스턴 모스]]와 [[스티븐 스메일]]의 이름을 딴 것이다.

=== 모스 호몰로지의 고전적 정의 ===
<math>f</math>의 기울기 흐름({{llang|en|gradient flow}})은 <math>f</math>의 임계점들을 연결시킨다. 두 임계점 <math>x_i</math>, <math>x_j</math> 사이의 기울기 흐름들의 [[모듈라이 공간]] <math>\mathcal F(x_i,x_j)</math>을 정의하자. 이 모듈러스 공간의 차원은 임계점들의 [[모스 지표]]의 차의 [[절댓값]]과 같다.
:<math>\dim\mathcal F(x_i,x_j)=|\gamma(x_i)-\gamma(x_j)|</math>

모스-스메일 함수 <math>(g,f)</math>가 주어진 콤팩트 매끄러운 다양체 <math>M</math> 위에, '''모스 [[사슬 복합체]]'''(Morse사슬複合體, {{llang|en|Morse chain complex}}) <math>C_i(M)</math>는 모스 지표가 <math>i</math>인 임계점들로 생성되는 [[자유 아벨 군]]이며, 그 위에 정의된 경계 연산자
:<math>\partial_i\colon C_i(M)\to C_{i-1}(M)</math>
는 <math>x_i\in C_i(M)</math>을 <math>x_i</math>로부터 시작하는 <math>f</math>의 기울기 흐름들의 (부호가 붙은) 종점들의 합으로 대응시킨다. 이 사슬 복합체로부터 정의한 [[호몰로지]]
:<math>H_\text{M}(M)=\ker\partial_i/\operatorname{im}\partial_{i+1}</math>
를 '''모스 호몰로지'''라고 한다. 이는 모스-스메일 함수의 선택에 의존하지 않으며, 또한 다른 호몰로지 이론([[특이 호몰로지]], [[세포 호몰로지]] 등)과 일치함을 보일 수 있다.

=== 모스-위튼 코호몰로지 ===
모스 호몰로지는 [[초대칭 양자역학]]과 밀접한 관계를 가진다. 이를 사용하여, 모스 (코)호몰로지를 [[드람 코호몰로지]]와 [[호지 이론]]을 사용하여 재정의할 수 있다.<ref name="Bott1988">{{저널 인용|이름=Raoul|성=Bott|저자링크=라울 보트|제목=Morse theory indomitable|doi=10.1007/BF02698544|mr=1001450|날짜=1988|저널=Publications Mathématiques de l'Institut des Hautes Études Scientifiques|권=68|호=1|쪽=99–114|issn=0073-8301|언어=en}}</ref><ref>{{저널 인용|성=Henniart|이름=Guy|제목=Les inégalités de Morse (d’après E. Witten)|저널=Astérisque|권=121–122|날짜=1985|쪽=43–61|mr=768953|zbl=0565.58033|url=http://www.numdam.org/numdam-bin/fitem?id=SB_1983-1984__26__43_0|언어=fr|확인날짜=2018-06-09|보존url=https://web.archive.org/web/20150413193804/http://www.numdam.org/numdam-bin/fitem?id=SB_1983-1984__26__43_0#|보존날짜=2015-04-13|url-status=dead}}</ref> 이는 [[에드워드 위튼]]이 발견하였고,<ref name="Witten"/> '''모스-위튼 코호몰로지'''({{llang|en|Morse–Witten cohomology}})라고 불린다.

[[모스 함수]] <math>f</math>가 주어진 [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[리만 다양체]] <math>(M,g)</math> 위에 다음과 같은 연산자들을 정의하자.
:<math>d_t=\exp(-tf)d\exp(tf)</math>
:<math>d^\dagger_t=\exp(-tf)d^\dagger\exp(tf)</math>
:<math>\Delta_t=d_td^\dagger_t+d^\dagger_td_t</math>
그렇다면 <math>\Delta_t</math>의 [[고윳값]]에 따라, <math>M</math> 위의 <math>k</math>차 [[미분 형식]]들의 공간 <math>\Omega^k</math>을 다음과 같이 분해할 수 있다.
:<math>\Omega^k=\bigoplus_\lambda\Omega^k_\lambda(t)</math>
:<math>\Delta_t\alpha=\lambda\alpha\forall\alpha\in\Omega^k_\lambda(t)</math>
이 경우, <math>t=0</math>일 때 [[호지 이론]]에 따라서
:<math>\Omega^k_0(0)\cong H_\text{dR}^k(M)</math>
이다. 여기서 <math>H_\text{dR}^\bullet</math>은 [[드람 코호몰로지]]다. 반면, <math>t\to\infty</math>로 보내자. 그렇다면 <math>\Omega^k_0(\infty)</math>는 모스 지표가 <math>k</math>인 임계점 근처에 국소화된 <math>k</math>차 미분형식들로 이루어진 [[기저 (선형대수학)|기저]]를 가진다. 즉,
:<math>\dim\Omega^k_0(\infty)=N_k</math>
이다. 여기서 <math>N_k</math>는 모스 지표가 <math>k</math>인 임계점들의 개수다.

이 경우, 다음과 같은 '''모스-위튼 복합체'''(Morse-Witten複合體, {{llang|en|Morse–Witten complex}})가 존재한다.
:<math>\Omega_0^1(\infty)\xrightarrow{d_\infty}\Omega_0^1(\infty)\xrightarrow{d_\infty}\cdots\xrightarrow d\Omega_0^k(\infty)\xrightarrow{d_\infty}\Omega_0^{k+1}(\infty)\xrightarrow {d_\infty}\cdots</math>
여기서 공경계 연산자 <math>d_\infty</math>는 모스-스메일 호몰로지에서의 기울기 흐름과 대응한다.
이 복합체의 [[코호몰로지]]는 [[드람 코호몰로지]]와 일치하며, '''모스-위튼 코호몰로지'''라고 한다.

이는 <math>M</math>을 과녁 공간으로 갖는 [[초대칭]] [[시그마 모형]]으로 다음과 같이 해석할 수 있다.
{| class="wikitable"
|-
! 기호 !! 수학적 설명 !! 물리학적 설명
|-
| <math>C^\infty(M;\mathbb C)</math> || <math>M</math> 위의 매끄러운 함수들 || <math>M</math> 위의 [[보손]]들의 [[힐베르트 공간]]
|-
| <math>\Omega^k(M)\otimes\mathbb C</math> || <math>M</math> 위의 <math>k</math>차 [[미분 형식]]들의 공간 || 페르미온 수가 <math>k</math>인 상태들의 [[힐베르트 공간]]
|-
| <math>d\colon\Omega^k(M)\to\Omega^{k+1}(M)</math> || [[외미분]] || [[초대칭]] 연산자의 하나
|-
| <math>d^\dagger\colon\Omega^{k+1}(M)\to\Omega^k(M)</math> || [[외미분]]의 수반(adjoint) || [[초대칭]] 연산자의 하나
|-
| <math>\Delta=dd^\dagger+d^\dagger d</math> || [[라플라스-벨트라미 연산자]] || 자유 입자의 [[해밀토니언]]
|-
| <math>\Omega^k_0(\infty)</math> || [[모스 지표]]가 <math>k</math>인 임계점들로 생성되는 [[벡터 공간]] || 페르미온 수가 <math>k</math>인 [[섭동 이론|섭동적]] 초대칭 [[바닥 상태]]들의 [[힐베르트 공간]]
|-
| <math>d_\infty^k\colon\Omega^k_0(\infty)\to\Omega^{k+1}_0(\infty)</math> || 모스-위튼 복합체의 공경계 연산자 || [[순간자]]로 매개되는 [[터널 효과]]
|-
| <math>H_\text{MW}^k=\ker d^k_\infty/\operatorname{im}d^{k-1}_\infty</math> || 모스-위튼 코호몰로지 군 || 참된 (비섭동적인) 초대칭 진공들의 [[힐베르트 공간]]
|}

== 역사 ==
[[마스턴 모스]]가 [[변분법]]을 연구하면서 1934년에 도입하였다.<ref>{{서적 인용|성=Morse|이름=Marston|날짜=1934|제목=The Calculus of Variations in the Large|총서=American Mathematical Society Colloquium Publication|권=18|위치=New York|출판사=American Mathematical Society|jfm=60.0450.01|언어=en}}</ref>

1950년대에, [[라울 보트]]는 모스 이론을 특이점들이 고립돼 있지 않고 닫힌 집합을 이루는 경우로 확장한 '''모스-보트 이론'''(Morse-Bott理論, {{llang|en|Morse–Bott theory}})을 도입하였고, 이를 사용하여 [[위상 K이론]]의 [[보트 주기성]]({{llang|en|Bott periodicity}})을 증명하였다.<ref>{{저널 인용 | last=Bott | first=Raoul | authorlink=라울 보트 | title=An application of the Morse theory to the topology of Lie-grboboups | url=http://www.numdam.org/item?id=BSMF_1956__84__251_0 | mr=0087035 | year=1956 | journal=Bulletin de la Société Mathématique de France | issn=0037-9484 | volume=84 | pages=251–281}}</ref><ref>{{저널 인용 | last=Bott | first=Raoul | authorlink=라울 보트 | title=The stable homotopy of the classical groups | jstor=89403 | mr=0102802 | year=1957 | journal=Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America | issn=0027-8424 | volume=43 | pages=933–935}}</ref><ref>{{저널 인용 | last=Bott | first=Raoul | authorlink=라울 보트 | title=The stable homotopy of the classical groups | jstor=1970106 | mr=0110104 | year=1959 | journal=Annals of Mathematics (second series) | issn=0003-486X | volume=70 | pages=313–337}}</ref>

1982년에 [[에드워드 위튼]]은 모스 이론을 [[초대칭 양자역학]]을 사용하여 재정의하였다. 이를 '''모스-위튼 이론'''(Morse-Witten理論, {{llang|en|Morse–Witten theory}})이라고 한다.<ref name="Witten">{{저널 인용|성=Witten|이름=Edward|저자링크=에드워드 위튼|제목=Supersymmetry and Morse theory|저널=Journal of Differential Geometry|권=17|호=4|날짜=1982|쪽=661–692|zbl=0499.53056|mr=683171|url=http://projecteuclid.org/euclid.jdg/1214437492|언어=en}}</ref> 1988년에 안드레아스 플뢰어({{llang|de|Andreas Floer}})는 함수 공간에서의 모스 코호몰로지를 사용하여, [[심플렉틱 다양체]] 및 3차원 다양체에 대한 '''[[플뢰어 호몰로지]]'''를 정의하였다.

== 같이 보기 ==
* [[초대칭 양자역학]]
* [[플뢰어 호몰로지]]

== 참고 문헌 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Morse-Smale system}}
* {{nlab|id=Morse homology}}

{{전거 통제}}

[[분류:호몰로지 이론]]
[[분류:미분위상수학]]
[[분류:모스 이론]]