모스 이론 문서 원본 보기

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[[미분위상수학]]에서 '''모스 이론'''(Morse理論, {{llang|en|Morse theory}})은 [[다양체]]의 [[위상수학]]을 그 위에 정의된 [[매끄러운 함수]]로 분석하는 분야이다.<ref>{{서적 인용|last=Matsumoto|first=Yukio|date=2002|title=An Introduction to Morse Theory|url=http://www.ams.org/bookstore-getitem/item=MMONO-208|publisher=American Mathematical Society|series=Iwanami Series in Modern Mathematics|isbn=978-0-8218-1022-4|mr=1873233|언어=en}}</ref><ref>{{서적 인용|last=Nicolaescu|first=Liviu|title=An Invitation to Morse Theory|date=2011|isbn=978-1-4614-1104-8|series=Universitext|issn=0172-5939|publisher=Springer|doi=10.1007/978-1-4614-1105-5|edition=2판|mr=2883440|언어=en}}</ref><ref>{{저널 인용|title=Lectures on Morse theory, old and new|first=Raoul|last=Bott|authorlink=라울 보트|journal=Bulletin of the American Mathematical Society (new series)|volume=7|issue=2|date=1982-09|pages=331–358|issn=0273-0979|mr=663786|doi=10.1090/S0273-0979-1982-15038-8|언어=en}}</ref><ref name="Bott1988">{{저널 인용|이름=Raoul|성=Bott|저자링크=라울 보트|제목=Morse theory indomitable|doi=10.1007/BF02698544|mr=1001450|날짜=1988|저널=Publications Mathématiques de l'Institut des Hautes Études Scientifiques|권=68|호=1|쪽=99–114|issn=0073-8301|언어=en}}</ref><ref>{{저널 인용|title=Commentary on “Lectures on Morse theory, old and new”|first=Daniel S.|last=Freed|journal=Bulletin of the American Mathematical Society|issn=0273-0979|volume=48|date=2011|pages=517–523|doi=10.1090/S0273-0979-2011-01349-0 |mr=2823021|언어=en}}</ref><ref>{{서적 인용|title=Lectures on Morse Homology|series=Kluwer Texts in the Mathematical Sciences|volume=29|issn=0927-4529|last=Banyaga|first=Augustin|coauthors=David Hurtubise|date=2004|isbn=978-1-4020-2695-9|doi=10.1007/978-1-4020-2696-6|publisher=Kluwer|mr=2145196|언어=en}}</ref><ref>{{서적 인용|title=Morse Homology|series=Progress in Mathematics |volume=111|last=Schwarz|first=Matthias|date=1993|isbn=978-3-0348-9688-7|doi=10.1007/978-3-0348-8577-5|publisher=Birkhäuser|mr=1239174|언어=en}}</ref><ref>{{저널 인용|arxiv=math/0104155|title=Morse theory in the 1990’s|first=Martin|last=Guest|날짜=2001|bibcode=2001math......4155G|언어=en}}</ref> 이 경우 함수의 [[임계점 (수학)|임계점]]을 통해 콤팩트 매끄러운 다양체 <math>M</math>의 호몰로지를 모스 이론으로 구성할 수 있다. 이 구성을 '''[[모스 호몰로지]]'''라고 한다.

== 정의 ==
=== 모스 지표 ===
<math>M</math>이 [[매끄러운 다양체]]라고 하고, 그 위에 [[매끄러운 함수]] <math>f\colon M\to\mathbb R</math>이 있다고 하자. <math>f</math>의 '''[[임계점 (수학)|임계점]]'''들은 <math>f</math>의 [[기울기 (벡터)|기울기]]가 0인 <math>M</math>의 부분 집합이다. 이를
:<math>\operatorname{Crit}(f) = \{x\in M\colon \mathrm df = 0 \in\mathrm T^*_xM\} \subseteq M</math>
로 표기하자.

<math>\operatorname{Crit}(f)</math>에 속하는 <math>M</math>의 부분 다양체
:<math>\Sigma\subseteq \operatorname{Crit}(f) \subseteq M</math>
가 주어졌다고 하자. 그렇다면, <math>M</math>의 [[접다발]]을 어떤 임의의 [[리만 계량]]을 사용하여 <math>\Sigma</math> 위에서 [[접다발]]과 [[법다발]]로 분해할 수 있다.
:<math>\mathrm TM\restriction \Sigma = \mathrm T\Sigma \oplus \mathrm N_M\Sigma</math>
(물론, 만약 <math>\Sigma = \{x\}</math>가 [[한원소 공간]]일 경우, <math>\mathrm T\Sigma = 0</math>이며 <math>\mathrm TM\restriction \Sigma = \mathrm N_M\Sigma</math>이다.)

이 경우, <math>x\in \Sigma</math> 및 그 [[근방]]의 국소 좌표계에 대하여, [[헤세 행렬]]
:<math>(\mathcal H_xf)_{ij} = \partial_i \partial_j f</math>
을 정의할 수 있으며, 이를 <math>\mathrm N_M\Sigma</math>에 제한할 수 있다. 이 경우, <math>f</math>의 <math>\Sigma</math>에 대한 '''모스-보트 지표'''(Morse-Bott指標, {{llang|en|Morse–Bott index}}) <math>\operatorname{ind}_f(\Sigma)</math>는 <math>\mathcal H_xf \restriction \mathrm N_M\Sigma</math>의 음의 고윳값의 수이다. (이는 사용한 국소 좌표계 및 <math>x\in \Sigma</math>의 선택 및 [[리만 계량]]에 의존하지 않는다.) 특히, 만약 <math>\Sigma = \{x\}</math>인 경우, <math>\operatorname{ind}_f(\{x\})</math>는 단순히 [[헤세 행렬]] <math>\mathcal H_xf</math>의 음의 [[고윳값]]의 수이다. 이를 <Math>\operatorname{ind}_f(x)</math>라고 쓰며, <math>f</math>의 <math>x</math>에서의 '''모스 지표'''(Morse指標, {{llang|en|Morse index}})라고 한다.

=== 모스 함수와 모스-보트 함수 ===
[[매끄러운 함수]] <math>f\colon M\to\mathbb R</math>가 다음 조건들을 만족시킨다면, <math>f</math>를 '''모스-보트 함수'''(Morse-Bott函數, {{llang|en|Morse–Bott function}})라고 한다.<ref name="Hurtubise"/>{{rp|Definition 3.1}}
* <math>\operatorname{Crit}(f)</math>는 <math>M</math>의 부분 다양체들의 [[합집합]]이다. (각 [[연결 성분]]들은 서로 다른 차원을 가질 수 있으나, 이들은 맞닿을 수 없다.)
* <math>\operatorname{Crit}(f)</math>의 임의의 연결 성분 <math>\Sigma</math>를 골랐을 때, 모든 <math>x\in \Sigma</math>에 대하여 제한된 헤세 행렬 <math>\mathcal H_xf \restriction \mathrm N_M\Sigma</math>는 [[비퇴화 쌍선형 형식]]이다. 이 경우, <math>\Sigma</math>의 '''모스-보트 지표'''(Morse-Bott指標, {{llang|en|Morse–Bott index}}) <math>\operatorname{ind}_f(\Sigma)</math>는 <math>\mathcal H_xf \restriction \mathrm N_M\Sigma</math>의 음의 고윳값의 수이다. (이는 <math>x\in\Sigma</math>에 의존하지 않는다.)
이 경우, 각 <math>\Sigma_i \subseteq \operatorname{Crit}(f)</math>를 <math>f</math>의 '''임계 부분 다양체'''(臨界部分多樣體, {{llang|en|critical submanifold}})라고 한다.

또한, [[매끄러운 함수]] <math>f\colon M\to\mathbb R</math>에 대하여 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 함수를 '''모스 함수'''라고 한다.
* '''모스 함수'''(Morse函數, {{llang|en|Morse function}})는 모든 임계점들의 헤세 행렬이 [[비퇴화 쌍선형 형식]]인 함수다. 즉, [[헤세 행렬]]이 0을 [[고윳값]]으로 갖지 않는다.
* <math>\operatorname{Crit}(f)</math>의 모든 연결 성분이 0차원인 모스-보트 함수이다.

== 성질 ==
=== 모스 함수의 조밀성 ===
매끄러운 함수 <math>M\to\mathbb R</math>의 공간 <math>\mathcal C^\infty(M,\mathbb R)</math> 위에 임의의 [[리만 계량]]을 가해, 다음과 같은 일련의 [[노름공간|노름]]들로 [[프레셰 공간]]의 구조를 줄 수 있다.
:<math>\Vert f\Vert|_k=\sup_M|f|^2+\sup_M\Vert\nabla f\Vert^2+\cdots+\sup_M\Vert\nabla^kf\Vert^2</math>
이 프레셰 위상을 <math>\mathcal C^\infty</math> 위상이라고 하고, 이는 사실 사용된 [[리만 계량]]에 의존하지 않는다.

이 위상에서, 모스 함수들의 부분 공간은 <math>\mathcal C^\infty(M,\mathbb R)</math>의 [[조밀 집합]]을 이룬다.

=== 모스 세포 구조 ===
다음이 주어졌다고 하자.
* [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[매끄러운 다양체]] <math>M</math>
* <math>M</math> 위의 모스 함수 <math>f</math>
그렇다면, 각 <math>a\in\mathbb R</math>에 대하여 부분 공간
:<math>M^a=f^{-1}(-\infty,a] \subseteq M</math>
을 정의할 수 있다. 이는 사실 [[경계다양체]]를 이룬다.

그렇다면, 임의의 <math>a,b\in\mathbb R</math>, <math>a<b</math>에 대하여, 다음이 성립한다.
* 만약 <math>f^{-1}[a,b]\subseteq M</math>이 <math>f</math>의 임계점을 포함하지 않는다면, <math>M^a</math>와 <math>M^b</math>는 서로 [[미분 동형]]이다.
* 만약 <math>f^{-1}(a,b)</math>이 <math>f</math>의 임계점 가운데 하나 <math>x\in M</math>를 포함하며, 또한 <math>f^{-1}[a,b]</math>가 <math>x</math> 이외의 다른 임계점을 포함하지 않는다면, <math>M^b</math>는 <math>M^a</math>에 <math>\gamma(x)</math>차 [[CW 복합체|세포]]를 추가한 공간과 [[호모토피 동치]]이다.
따라서, 만약 서로 다른 두 임계점에 대하여 <math>f</math>의 값이 항상 서로 다르다면, <math>f</math>는 모스 함수 <math>f</math>는 다양체 <math>M</math>와 [[호모토피 동치]]인 [[세포 복합체]]를 결정짓는다. 이 세포 복합체에서 지표가 <math>k</math>인 특이점은 <math>k</math>차 세포에 대응된다. 또한, 모든 매끄러운 다양체에 대하여 이와 같은 꼴의 모스 함수를 찾을 수 있음을 보일 수 있다.

{| class=wikitable
|-
! 모스 이론 !! 세포 복합체
|-
| 모스 함수의 임계점 || 세포
|-
| 모스 함수의 임계점의 모스 지표 || 세포의 차수
|-
| <math>M^a</math> (<math>a</math>는 임계값이 아님) || <math>f(x) < a</math>인 임계점들 <math>x\in M</math>에 대응하는 세포들로 구성된 뼈대
|}

=== 모스 부등식 ===
[[매끄러운 다양체]] <math>M</math> 위의 모스-보트 함수 <math>f</math>가 주어졌다고 하면, 다음과 같은 '''모스-보트 다항식'''({{llang|en|Morse–Bott polynomial}})을 정의할 수 있다.<ref name="Hurtubise"/>{{rp|Definition 3.4}}
:<math>\operatorname{MB}_f(t) = \sum_i \operatorname P_{\Sigma_i}(t) t^{\gamma(\Sigma_i)}</math>
이는 물론 모스 다항식의 일반화이다. 만약 <math>f</math>가 모스 함수일 경우, 이를 '''모스 다항식'''({{llang|en|Morse polynomial}})이라고 한다.

이제, <math>M</math>이 콤팩트 [[가향 다양체]]이며, 각 <math>\Sigma_i</math> 또한 모두 [[가향 다양체]]라고 하자. (만약 <math>f</math>가 모스 함수라면, 둘째 조건은 자명하게 성립한다.) 그렇다면, '''모스-보트 부등식'''에 따르면,
:<math>\operatorname{MB}_f(t) = \operatorname P_M(t) + (1+t) R(t)</math>
가 되는, [[자연수]](음이 아닌 정수) 계수의 다항식
:<math>R(t) \in \mathbb N[t]</math>
이 존재한다.<ref name="Hurtubise">{{저널 인용|이름=David E.|성=Hurtubise|날짜=2012|제목= Three approaches to Morse–Bott homology|arxiv=1208.5066|언어=en}}</ref>{{rp|Theorem 3.5}}

여기서
:<math>\operatorname P_M(t) = \sum_{n=0}^\infty (\dim_{\mathbb Q}\operatorname H_n(M;\mathbb Q)) t^n</math>
는 <math>M</math>의 [[푸앵카레 다항식]]이다.

특히, 만약 <math>t=-1</math>일 경우
:<math>\operatorname{MB}_f(-1) = \operatorname P_M(-1) = \chi(M)</math>
이 된다. 여기서 <math>\chi(M)</math>은 [[오일러 지표]]이다. (만약 <math>f</math>가 모스 함수일 때, 이 사실은 [[세포 복합체]]의 [[세포 호몰로지]]로부터 간단하게 알 수 있다.)

<math>f</math>가 모스 함수일 때, 위 다항식을 차수별로 분해하면,
:<math>|\{x\in \operatorname{Crit}(f)\colon \gamma(x) = k\}| \ge \dim_{\mathbb Q}\operatorname H_k(M;\mathbb Q)</math>
이다. 즉, <math>k</math>차 임계점의 수는 <math>k</math>차 [[베티 수]]의 [[상계 (수학)|상계]]를 이룬다. (이 역시 [[세포 복합체]]의 [[세포 호몰로지]]로부터 간단하게 알 수 있다.)

== 예 ==
=== 초구 ===
<math>n+1</math>차원 유클리드 공간 속의 표준적 (반지름 1의) <math>n</math>차원 [[초구]]
:<math>\mathbb S^n = \{x=(t_0,t_1,\dotsc,t_n)\in\mathbb R^{n+1} \colon t_0^2 + t_1^2 + \dotsb + t_n^2 = 1\}</math>
를 생각하자. 이 경우, 높이 <math>t_0</math>는 모스 함수를 이루며, 이는 두 개의 임계점
:<math>x_\pm = (\pm 1,0,0,\dotsc,0)</math>
을 가지며, <math>x_+</math>는 북극, <math>x_-</math>는 남극에 해당한다. 이 경우, <math>x_+</math>의 모스 지표는 <math>n</math>이며, <math>x_-</math>의 모스 지표는 0이다. 이로부터 정의되는 세포 복합체 구조는 하나의 0차원 세포(남극) 및 하나의 <math>n</math>차원 세포(남극을 제외한 모든 점)으로 구성된다.

=== 수직 원환면 ===
2차원 [[원환면]] <math>\mathbb T^2</math>을 3차원 [[유클리드 공간]]에 다음과 같이 매장하였을 때, 높이 함수는 모스 함수를 이룬다.
:[[파일:UprightTorusFlowLines.png]]
이는 네 개의 임계점을 가지며, 그 지표는 (아래서부터) 각각 0, 1, 1, 2이다. 이는 원환면의 다음과 같은 [[세포 복합체]] 구조를 정의한다. 우선,
:<math>\mathbb T^2 = \mathbb S^1 \times \mathbb S^1</math>
이다. 임의의 두 점 <math>t,t' \in \mathbb S^1</math>을 골랐을 때,
:<math>e_0 = \{(t,t')\} </math>
:<math>e_1 = \{t\}\times (\mathbb S^1 \setminus \{t'\})</math>
:<math>e_1' = (\mathbb S^1 \setminus \{t\}) \times \{t'\}</math>
:<math>e_2 = \mathbb S^1 \setminus\{t\} \times \mathbb S^1 \setminus \{t'\}</math>
는 원환면의 세포 복합체를 정의하며, 이는 위의 모스 함수를 통하여 얻은 것과 동치이다.

보다 일반적으로, 종수 <math>g</math>의 콤팩트 가향 곡면 <math>\Sigma_g</math>를 위와 같이 배치하자. 그렇다면, 높이 함수는 모스 함수이며, 이는 <math>2g+2</math>개의 임계점을 갖는다. 이를 각각 순서대로 <math>x_1,x_2,\dotsc,x_{2g+2}</math>라고 할 때,
:<math>\gamma(x_1) = 0</math>
:<math>\gamma(x_2) = \dotsb = \gamma(x_{2g+1}) = 1</math>
:<math>\gamma(x_{2g+2}) = 2</math>
이다. 이것이 정의하는 [[세포 복합체]] 구조에서, <math>x_2, \dotsc,x_{2g+1}</math>는 <math>\operatorname H_1(\Sigma_g) \cong \mathbb Z^{2g}</math>의 표준적 기저에 해당한다.

=== 수평 원환면 ===
반대로, 2차원 원환면을 3차원 [[유클리드 공간]] 속에서, xy 평면에 회전 대칭을 갖도록 매장하자. 이 경우, z방향 높이는 모스 함수를 이루지 못하지만, 모스-보트 함수를 이룬다. 이 경우 두 개의 임계 부분 다양체 <math>C_\pm</math>가 존재한다. 이 경우
* <math>C_-</math>는 “남극”에 있는 원이며, 그 모스-보트 지표는 0이다.
* <math>C_+</math>는 “북극”에 있는 원이며, 그 모스-보트 지표는 1이다.
원의 [[푸앵카레 대항식]]은
:<math>\operatorname P_{\mathbb S^1}(t) = 1 + t</math>
이므로, 이 모스-보트 함수의 모스-보트 다항식은
:<math>\operatorname{MB}_f(t) = (1+t) + (1+t)t = (1+t)^2</math>
이다. 원환면의 [[푸앵카레 다항식]]은
:<math>\operatorname P_{\mathbb T^2}(t) = (\operatorname P_{\mathbb S^1}(t))^2 =  (1 + t)^2</math>
이므로, 이 경우 모스-보트 부등식이 포화된다 (즉, <math>R(t) = 0 </math>이다).

=== 모스 함수가 아닌 함수 ===
1차원 이상의 [[매끄러운 다양체]] 위에서, [[상수 함수]]를 생각하자. 이 경우 모든 점이 임계점이며, 모든 임계점의 헤세 행렬은 0이다. 그러므로 이는 모스 함수가 되지 못한다. (그러나 0차원 다양체(즉, [[이산 공간]])의 경우 이는 모스 함수를 이룬다.)

임의의 다양체 <math>M</math>, <math>N</math> 및 <math>M</math> 위의 함수 <math>f</math>에 대하여, <math>M\times N</math> 위에 <math>f\circ \operatorname{proj}_M \colon M \times N \to \mathbb R</math>를 정의할 수 있다. 만약 <math>N</math>이 1차원 이상이라면, 이는 항상 모스 함수가 아니다. 그러나 만약 <math>f</math>가 모스 함수라면 <math>f\circ \operatorname{proj}_M</math>는 모스-보트 함수를 이룬다.

== 역사와 어원 ==
[[마스턴 모스]] 이전에도 이미 [[아서 케일리]]<ref>{{저널 인용|성=Cayley|이름=Arthur|날짜=1859|제목=On Contour and Slope Lines|저널=Philosophical Magazine (series 4)|권=18|호=120|쪽=264-268|doi=10.1080/14786445908642760|언어=en}}</ref>와 [[제임스 클러크 맥스웰]]<ref>{{저널 인용|성=Maxwell|이름=James Clerk|저자링크=제임스 클러크 맥스웰|날짜=1870|제목=On hills and dales|저널=Philosophical Magazine (series 4)|권=40|호=269|쪽=421–427|doi=10.1080/14786447008640422|언어=en}}</ref> 등이 [[측량학]]에 관련하여, 곡면 위에 정의된 높이 함수의 특이점들을 고려하였다.

[[마스턴 모스]]가 [[변분법]]을 연구하면서 모스 이론을 1934년 도입하였다.<ref>{{서적 인용|성=Morse|이름=Marston|저자링크=마스턴 모스|날짜=1934|제목=The Calculus of Variations in the Large|총서=American Mathematical Society Colloquium Publication|권=18|위치=New York|출판사=American Mathematical Society|jfm=60.0450.01|언어=en}}</ref> 이후 모스는 평생을 주로 모스 이론을 연구하는 데 바쳤다.

이후 [[스티븐 스메일]] · [[라울 보트]] · [[에드워드 위튼]] 등이 모스 이론에 공헌하였다.

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Morse theory}}
* {{eom|title=Morse inequalities}}
* {{eom|title=Morse function}}
* {{eom|title=Morse index}}
* {{eom|title=Morse lemma}}
* {{매스월드|id=MorseTheory|title=Morse theory}}
* {{매스월드|id=MorseFunction|title=Morse function}}
* {{nlab|id=Morse theory}}
* {{nlab|id=discrete Morse theory|title=Discrete Morse Theory}}

[[분류:모스 이론| ]]
[[분류:미분위상수학]]
[[분류:매끄러운 함수]]
[[분류:보조정리]]