모멘트 문제 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[해석학 (수학)|해석학]]에서, '''모멘트 문제'''(moment問題, {{llang|en|moment problem}})는 어떤 값들이 분포의 모멘트가 될 수 있는지 및 모멘트로부터 분포를 재구성할 수 있는지 여부에 대한 문제이다.

== 정의 ==
어떤 측도 공간 <math>X</math> 위에, 일련의 적분 가능 함수들의 집합 <math>\{u_i\}_{i\in I}\in L^1(X)</math>이 주어졌다고 하자. 그렇다면 '''모멘트 문제'''는 다음과 같은 일련의 문제들이다.
* (존재 문제) 임의의 수열 <math>\{m_i\}_{i\in I}</math>에 대하여, <math>\int_Xu_if=m_i\,\forall i\in I</math>인 <math>f</math>가 존재하는가?
* (유일성 문제) 임의의 수열 <math>\{m_i\}_{i\in I}</math>에 대하여, <math>\int_Xu_if=m_i\,\forall i\in I</math>인 <math>f</math>가 유일한가? 아니면, 이러한 <math>f</math>의 공간이 어떤 모양인가?

== 고전적 모멘트 문제 ==
다음과 같은 특별한 모멘트 문제들은 이름이 붙어 있다.
* '''함부르거 모멘트 문제'''({{llang|en|Hamburger moment problem}})는 <math>X=\mathbb R</math>이며 <math>u_i=x^i\qquad(i=0,1,2,\dots)</math>인 경우이다.
* '''스틸티어스 모멘트 문제'''({{llang|en|Stieltjes moment problem}})는 <math>X=[0,\infty)</math>이며 <math>u_i=x^i\qquad(i=0,1,2,\dots)</math>인 경우이다.
* '''하우스도르프 모멘트 문제'''({{llang|en|Hausdorff moment problem}})는 <math>X=[0,1]</math>이며 <math>u_i=x^i\qquad(i=0,1,2,\dots)</math>인 경우이다.

=== 함부르거 문제 ===
함부르거 모멘트 문제의 해는 다음과 같다.

존재 문제의 경우, 수열 <math>m_i</math>가 모멘트를 이룰 필요충분조건은 [[항켈 행렬]]의 열
:<math>(H_n)_{ij}=m_{i+j}\qquad(0\le i,j\le n-1)</math>
가 모든 <math>n</math>에 대하여 [[양의 준정부호]]이어야 한다는 것이다.

유일성 문제의 경우는 복잡하며, '''칼레만 조건'''({{llang|en|Carleman’s condition}}) 및 '''크레인 조건'''({{llang|en|Krein’s condition}})이라는 충분 조건이 알려져 있다.

'''칼레만 조건'''에 따르면, 만약 모멘트 <math>m_i</math>가
:<math>\sum_{i=1}^\infty m_{2i}^{-1/2i}=+\infty</math>
라면, 모멘트 <math>m_i</math>에 대응하는 측도는 유일하다. 특히, 만약 짝수 차수 모멘트가
:<math>m_{2i}\in\mathcal O((2i)!)</math>
이라면, 모멘트에 대응하는 측도는 유일하다.

'''크레인 조건'''에 따르면, 만약 모멘트 <math>m_i</math>를 갖는 함수 <math>f</math>가
:<math>\int_{-\infty}^\infty -\frac{\ln f(x)}{1 + x^2} \, dx < \infty </math>
를 만족시킨다면, 모멘트 <math>m_i</math>에 대응하는 측도는 유일하지 않다.

=== 스틸티어스 문제 ===
스틸티어스 모멘트 문제에서, 수열 <math>m_i</math>가 주어졌을 때 행렬
:<math>\Delta_n=\begin{pmatrix} m_0 & m_1 & m_2 & \cdots & m_{n} \\ m_1 & m_2 & m_3 & \cdots & m_{n+1} \\ m_2& m_3 & m_4 & \cdots & m_{n+2} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ m_{n} & m_{n+1} & m_{n+2} & \cdots & m_{2n} \end{pmatrix}</math>
:<math>\Delta_n^{(1)}=\begin{pmatrix} m_1 & m_2 & m_3 & \cdots & m_{n+1} \\ m_2 & m_3 & m_4 & \cdots & m_{n+2} \\ m_3 & m_4 & m_5 & \cdots & m_{n+3} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ m_{n+1} & m_{n+2} & m_{n+3} & \cdots & m_{2n+1} \end{pmatrix}</math>
을 정의하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.
* <math>m_n</math>이 어떤 분포의 모멘트를 이룰 필요충분조건은 모든 <math>n</math>에 대하여 <math>\det\Delta_n>0</math>이며 <math>\det\Delta_n^{(1)}>0</math>인 것이다.

유일성에 대하여, 여러 충분 조건이 존재한다. 함부르거 문제와 마찬가지로, '''칼레만 조건'''에 따르면, 만약 모멘트 <math>m_i</math>가
:<math>\sum_{i=1}^\infty m_i^{-1/2i}=+\infty</math>
라면, 모멘트 <math>m_i</math>에 대응하는 측도는 유일하다.

'''크레인 조건'''에 따르면, 만약 모멘트 <math>m_i</math>를 갖는 함수 <math>f</math>가
:<math>\int_0^\infty -\frac{\sqrt x\ln f(x)}{1 + x} \, dx < \infty </math>
를 만족시킨다면, 모멘트 <math>m_i</math>에 대응하는 측도는 유일하지 않다.

=== 하우스도르프 문제 ===
하우스도르프 모멘트 문제의 경우, 존재와 유일성은 다음과 같다.

수열 <math>m_i</math>가 어떤 측도의 모멘트일 필요충분조건은 모든 <math>n,k\ge0</math>에 대하여
:<math>(-1)^k(\Delta^k m)_n \ge 0</math>
인 것이다. 여기서 <math>\Delta</math>는 수열의 차 연산자
:<math>(\Delta m)_i=m_{i+1}-m_i</math>
이다.

모멘트가 주어지면 [[스톤-바이어슈트라스 정리]]에 의하여 이에 대응하는 분포는 유일하다.

== 체비쇼프-마르코프-크레인 부등식 ==
'''체비쇼프-마르코프-크레인 부등식'''({{llang|en|Chebyshev–Markov–Krein inequality}})은 모멘트가 알려져 있는 [[함수]] 또는 [[측도]]의 적분의 최솟값 및 최댓값을 제시하는 [[정리]]이다.

<math>X</math>가 [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[하우스도르프 공간]]이라고 하고, <math>\mu</math>가 <math>K</math> 위의 [[측도]]이며, <math>\mu(x)<\infty</math>라고 하자. <math>U\subset\mathcal C(K;\mathbb R)</math>가 임의의 유한 차원 실수 [[벡터 공간]]이라고 하자. 또한, <math>U</math>가 모든 <math>x\in X</math>에 대하여 <math>f(x)>0</math>인 함수 <math>f</math>를 적어도 한 개 포함한다고 하자.

<math>V(U,\mu)</math>가
:<math>\int_Xu\,d\mu=\int_Xu\,d\nu\qquad\forall u\in U</math>
:<math>\nu(X)<\infty</math>
인 측도 <math>\nu</math>들의 집합이라고 하자.

임의의 <math>f\in L^1(X,\mu;\mathbb R)</math>에 대하여, '''체비쇼프-마르코프-크레인 부등식'''은
:<math>\left\{\nu\in V(U,\mu)\colon \int_Xf\,d\nu\right\}</math>
의 [[상한]]과 [[하한]]에 대한 부등식이다.

이 경우, 다음이 성립한다.
:<math>\inf_{\nu\in V(U,\mu)}\int_Xf\,d\nu=\sup_{u\in U,\,u\le f}\int_Xu\,d\mu</math>
따라서, <math>\{\nu\in V(U,\mu)\colon \int_Xf\,d\nu\}</math>의 상한·하한을 찾는 문제는
:<math>\{\|u-f\|_1\colon u\in U\}</math>
의 최솟값을 찾는 문제와 동치이다. 임의의 <math>u_0\in U</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* <math>u_0</math>는 위 최솟값을 포화시키며, 모든 <math>x\in X</math>에 대하여 <math>u_0(x)\le f(x)</math>이다.
* 다음 두 조건을 만족시키는 <math>x_1,\dots,x_k\in X</math> 및 양의 실수 <math>\lambda_1,\dots,\lambda_k\in\mathbb R^+</math>가 존재한다 (<math>1\le k\le \dim U</math>).
** <math>f(x_i)=u_0(x_i)\qquad\forall i=1,\dots,k</math>
** <math>\textstyle\int_Xu\,d\mu=\sum_{i=1}^k\lambda_iu(x_i)\qquad\forall u\in U</math>
이러한 <math>\{(x_i,\lambda_i)\}_{i=1,\dots,k}</math>를 찾았을 때, 다음이 성립한다.
:<math>\inf_{v\in V(U,\mu)}\int_Xf\,d\nu=\sum_{i=1}^k\lambda_if(x_i)</math>
또한, 이 하한을 포화시키는 측도 <math>\nu</math>는 다음과 같다.
:<math>\nu_{\min}=\sum_{i=1}^k\lambda_i\delta_{x_i}</math>
여기서 <math>\delta_x</math>는 <math>x\in X</math>에서의 [[디랙 델타 측도]]이다. 즉,
:<math>\delta_x(A)=\begin{cases}1&x\in A\\0&x\not\in A\end{cases}</math>
이다.

마찬가지로, 상한을 찾으려면 <math>\int_X-f\,d\nu</math>의 하한을 찾으면 된다.

== 구간 위의 모멘트 문제 ==
닫힌구간 <math>[a,b]</math> 위의 모멘트 문제를 생각하자. 만약 유한 차원 벡터 부분 공간 <math>T\subset\mathcal C^0([a,b];\mathbb R)</math>에 대하여, 임의의 <math>u\in T\setminus\{0\}</math>에 대하여 <math>u</math>가 <math>n</math>개 미만의 영점들을 갖는다면, <math>T</math>를 '''체비쇼프 공간'''({{llang|en|Chebyshev space}}, {{lang|en|T-space}})이라고 하며, 그 기저를 '''체비쇼프 계'''({{llang|en|Chebyshev system}}, {{llang|en|T-system}})라고 한다.

<math>[a,b]</math> 위의 체비쇼프 공간 <math>T</math>가 주어졌다고 하자. <math>[a,b]</math> 위의 유한 측도 <math>\mu</math>가, 임의의 <math>u\in T\setminus\{0\}</math>에 대하여 만약 <math>u(x)\ge0\forall x\in[a,b]</math>이면 <math>\int u\,d\mu>0</math>이라고 하자. 그렇다면, <math>\mu</math>에 대하여,
:<math>\int_a^bu\,d\mu=\int_a^b u\,d\nu\qquad\forall u\in T</math>
이며
:<math>\nu=\sum_{i=1}^n a_i\delta(x_i)\qquad(a\le x_1<x_2<\cdots x_n\le b)</math>
인 꼴의 측도 <math>\nu</math>가 정확히 두 개 존재하며, 두 개 가운데 하나는 <math>x_n=b</math>를 갖는다. 이를 <math>\mu_\pm</math>이라고 하며, <math>\mu</math>의 상·하 '''주표현'''({{llang|en|upper/lower principal representation}})이라고 한다. 임의의 <math>[a,b]</math> 위의 유한 측도 <math>\nu\in V(U,\mu)</math>에 대하여, 항상 다음과 같은 부등식이 성립한다.
:<math>\int_a^bf\,d\mu_-\le\int_a^bf\,d\mu\le\int_a^bf\,d\mu_+</math>
즉, 상·하 주표현들은 체비쇼프 공간에 대한 모멘트 문제의 상·하한을 이룬다.

== 예 ==
실수선 위의 함수
:<math>f(x)=\exp(-(\ln x)^2)</math>
를 생각하자. 이 함수의 모멘트는 모두 유한하다.
:<math>\int_{-\infty}^\infty x^nf(x)\,dx=\begin{cases}2e^{(n+1)^2/4}\sqrt{\pi}&2\mid n\\0&2\nmid n\end{cases}</math>
그러나 크레인 조건에 따라
:<math>\int_{-\infty}^\infty\frac{-\ln f(x)}{1+x^2}\,dx=\int_{-\infty}^\infty\frac{(\ln x)^2}{1+x^2}\,dx=\pi^3/4<\infty</math>
이므로, 이 함부르거 모멘트 문제는 유일하지 않다. 반대로, 칼레만 조건을 적용한다면, 짝수 차수 모멘트들은
:<math>m_{2n}\sim \exp(n^2)\gg(2n)!\sim\exp\left(2n\ln n+\cdots\right)</math>
이므로, 칼레만 조건을 통해 유일성을 보일 수 없다.

== 같이 보기 ==
* [[한켈 행렬]]
* [[모멘트 (수학)]]
== 참고 문헌 ==
* {{저널 인용|제목=On Chebyshev–Markov–Krein inequalities|이름=A.|성=Pinkus|공저자=J.M. Quesada|저널=Journal of Approximation Theory|권=164|날짜=2012|쪽=1262–1282|doi=10.1016/j.jat.2012.06.001|url=http://www2.math.technion.ac.il/~pinkus/papers/cmk.pdf|언어=en|access-date=2015-03-02|archive-date=2013-10-21|archive-url=https://web.archive.org/web/20131021012823/http://www2.math.technion.ac.il/~pinkus/papers/cmk.pdf|url-status=}}
* {{저널 인용|제목=The classical moment problem as a self-adjoint finite difference operator|이름=Barry|성=Simon|arxiv=math-ph/9906008|bibcode=1999math.ph...6008S|zbl=0910.44004|저널=Advances in Mathematics|issn=0001-8708|권=137|호=1|쪽=82–203|날짜=1998-07-15|doi=10.1006/aima.1998.1728|언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Moment problem}}

{{전거 통제}}

[[분류:해석학 (수학)]]
[[분류:확률론]]
[[분류:힐베르트 공간]]
[[분류:모멘트 (수학)]]