모리타 동치 문서 원본 보기

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[[환론]]에서 '''모리타 동치'''([森田]同値, {{llang|en|Morita equivalence}})는 두 [[환 (수학)|환]] 위의 [[가군]] [[범주 (수학)|범주]]가 서로 [[범주의 동치|동치]]가 되는 현상이다.

== 정의 ==
=== 모리타 동치 ===
환 <math>R</math> 위의 [[오른쪽 가군]] <math>U_R</math>가 주어졌을 때, 이에 대응하는 [[모리타 문맥]] <math>(R,S,U,V,\phi,\psi)</math>을 다음과 같이 정의할 수 있다.
* <math>S=\hom_R(U_R,U_R)</math>
* <math>{}_RV=\hom_R(_SU_R,_RR_R)</math>
* <math>\phi\colon U\otimes_RV\to S</math>, <math>(u\otimes v)\mapsto (u'\mapsto uv(u'))</math>
* <math>\psi\colon V\otimes_SU\to R</math>, <math>(v\otimes u)\mapsto v(u)</math>

<math>U_R</math>가 [[사영 가군]]이자, [[유한 생성 가군]]이자, [[범주 (수학)|범주]] <math>\operatorname{Mod}_R</math>의 [[생성 대상]]이라고 하자. 그렇다면, <math>U_R</math>에 대응되는 [[모리타 문맥]] <math>(R,S,U,V,\phi,\chi)</math>에 대하여,
* <math>\otimes_RV_S\colon\operatorname{Mod}_R\rightleftarrows\operatorname{Mod}_S\colon\otimes_SU_R</math>는 [[범주의 동치]]를 이룬다.
* <math>_SU\otimes_R\colon{}_R\operatorname{Mod}\rightleftarrows{}_S\operatorname{Mod}_S\colon _SV\otimes_R</math>는 [[가법 범주]]의 가법 [[범주의 동치|동치]]를 이룬다.

반대로, 모든 가군 [[가법 범주]]의 가법 동치는 [[모리타 문맥]]에 의하여 유도되며, 이 [[모리타 문맥]]은 [[사영 가군]]이자, [[유한 생성 가군]]이자, [[범주 (수학)|범주]] <math>\operatorname{Mod}_R</math>의 [[생성 대상]]인 가군에 의하여 유도된다. 즉, [[가법 범주]]의 가법 [[범주의 동치|동치]]
:<math>F\colon\operatorname{Mod}_R\rightleftarrows\operatorname{Mod}_S\colon G</math>
가 주어졌을 때,
* <math>_SU_R=G(_SS_S)</math>
* <math>_RV_S=F(_RR_R)</math>
로 놓으면, <math>U_R</math>는 [[사영 가군]]이자, [[유한 생성 가군]]이자, [[범주 (수학)|범주]] <math>\operatorname{Mod}_R</math>의 [[생성 대상]]이며, 위 [[범주의 동치]]는 <math>U_R</math>에 의하여 생성되는 [[모리타 문맥]]에 의하여 생성된다. 특히, 다음과 같은 [[자연 동형]]이 존재한다.
:<math>F\cong \otimes_RV</math>
:<math>G\cong \otimes_SU</math>

또한, 임의의 두 환 <math>(R,S)</math>에 대하여 다음 두 모임이 서로 표준적으로 [[일대일 대응]]한다.
* 가법 [[범주의 동치|동치]] <math>\operatorname{Mod}_R\to\operatorname{Mod}_S</math>의 ([[자연 동형]]에 대한) 동형류
* 다음 두 조건을 만족시키는 <math>(S,R)</math>-[[쌍가군]] <math>_SU_R</math>들의 동형류
** <math>U_R</math>는 [[사영 가군]]이며, [[유한 생성 가군]]이며, [[범주 (수학)|범주]] <math>\operatorname{Mod}_R</math>의 [[생성 대상]]이다.
** <math>_SU_R</math>는 [[충실하게 균형 잡힌 쌍가군]]이다.

이와 같이, 두 환 <Math>R</math>, <math>S</math> 위의 [[가군]] 범주가 서로 가법 동치라면, 두 환이 서로 '''모리타 동치'''({{llang|en|Morita-equivalent}})라고 하며,
:<math>R\approx S</math>
로 표기한다.

=== 모리타 쌍대성 ===
쌍가군 <math>_SU_R</math>이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 함자를 정의할 수 있다.
:<math>\hom_R\left((-)_R,_SU_R\right)\colon\operatorname{Mod}_R\to{}_S\operatorname{Mod}^{\operatorname{op}}</math>
:<math>\hom_S\left(_S(-),_SU_R\right)\colon{}_S\operatorname{Mod}\to\operatorname{Mod}_R^{\operatorname{op}}</math>
이는 항상 서로 [[수반 함자]]를 이룬다.
:<math>\hom_R\left((-)_R,_SU_R\right)\dashv \hom_S\left(_S(-),_SU_R\right)</math>
[[수반 함자]]의 성분인 자연스러운 사상
:<math>M_R\to \hom_S\left(\hom_R(M_R,_SU_R),_SU_R\right)</math>
이 [[동형 사상]]일 경우, <math>R</math>-[[오른쪽 가군]] <math>M_R</math>를 '''<math>U</math>-[[반사 가군]]'''({{llang|en|<math>U</math>-reflexive module}})이라고 하자. 마찬가지로 <math>S</math>-[[왼쪽 가군]]에 대하여 마찬가지로 [[반사 가군]]의 개념을 정의할 수 있다. [[반사 가군]]의 범주를 <math>\operatorname{Mod}_R[U]</math> 및 <math>_S\operatorname{Mod}[U]</math>로 표기하자. 이 경우, <math>\operatorname{Mod}_R[U]</math>와 <math>_S\operatorname{Mod}[U]^{\operatorname{op}}</math>는 위 함자에 대하여 서로 가법 [[범주의 동치|동치]]이다.

[[아벨 범주]] <math>\mathcal A</math>의 충만한 부분 가법 범주 <math>\mathcal C</math>가 다음 조건을 만족시킨다면 [[세르 부분 범주]]라고 한다.
:[[짧은 완전열]] <math>0\to A\to B\to C\to0</math>에 대하여, <math>A,C\in\mathcal C</math>라면 <math>B\in\mathcal C</math>이다.

[[쌍가군]] <math>_SU_R</math>에 대하여 다음 세 조건들이 서로 [[동치]]이다.
* <math>\operatorname{Mod}_R[U]</math>는 <math>\operatorname{Mod}_R</math>의 [[세르 부분 범주]]이며, <math>_S\operatorname{Mod}[U]</math>는 <math>_S\operatorname{Mod}</math>의 [[세르 부분 범주]]이며, <math>R_R\in \operatorname{Mod}_R[U]</math>이며, <math>_SS\in_S\operatorname{Mod}[U]</math>이다.
* <math>R_R</math>, <math>U_R</math>, <math>_SS</math>, <math>_SU</math>의 모든 몫가군은 <math>U</math>-[[반사 가군]]이다.
* <math>U_R</math>는 [[단사 가군]]이자 <math>\operatorname{Mod}_R</math>의 [[쌍대 생성 대상]]이며, 마찬가지로 <math>_SU</math>는 [[단사 가군]]이자 <math>_S\operatorname{Mod}</math>의 [[쌍대 생성 대상]]이며, 또한 <math>_SU_R</math>는 [[충실하게 균형 잡힌 쌍가군]]을 이룬다.
이 경우, <math>U</math>가 '''모리타 쌍대성'''({{llang|en|Morita duality}})을 정의한다고 한다.

또한, 위 조건이 성립한다면, 모든 [[유한 생성 가군]] 및 [[유한 쌍대 생성 가군]]은 <math>U</math>-[[반사 가군]]이다. 또한, 위 조건을 만족시키는 <math>U</math> 및 <math>U'</math>에 대하여, <math>U</math>-[[반사 가군]]인지 여부는 <math>U'</math>-[[반사 가군]]인지 여부와 일치한다. 즉, 위 조건이 성립한다고 가정하면, [[반사 가군]] 조건은 <math>U</math>에 의존하지 않는다.

모리타 쌍대성 아래, ([[반사 가군]]인) [[유한 생성 가군]]의 쌍대 가군은 [[유한 쌍대 생성 가군]]이며, 그 역도 성립한다. 모리타 쌍대성 아래, ([[반사 가군]]인) [[단순 가군]]의 쌍대 가군은 [[단순 가군]]이며, ([[반사 가군]]인) [[반단순 가군]]의 쌍대 가군은 [[반단순 가군]]이다.

== 예 ==
모든 환 <math>R</math> 및 양의 정수 <math>n</math>에 대하여, <math>R</math>는 <math>\operatorname{Mat}(n;R)</math>와 모리타 동치이다. 이를 정의하는 [[모리타 문맥]]은 <math>R</math>-[[자유 가군]] <math>U=R^{\oplus n}</math>에 의하여 생성된다. 즉,
* <math>S=\operatorname{End}_R(R^{\oplus n})=\operatorname{Mat}(n;R)</math>
* <math>_RU_S=R^{\oplus n}</math>. 이는 행벡터(=<math>1\times n</math> 행렬) [[쌍가군]]으로 생각할 수 있다.
* <math>_SV_R=R^{\oplus n}</math>. 이는 열벡터(=<math>n\times1</math> 행렬) [[쌍가군]]으로 생각할 수 있다.
* <math>\phi\colon _RU\otimes_SV_R\to {}_RR_R</math>는 행벡터와 열벡터의 [[스칼라곱]]이다.
* <math>\psi\colon _SV\otimes_RU_S\to _SS_S</math>는 열벡터와 행벡터의 [[외적]]이다.

[[아르틴-웨더번 정리]]에 따라서, 모든 [[반단순환]] <math>R</math>는 유한 개의 [[나눗셈환]] <math>D_1,\dots,D_k</math> 위의 행렬환 <math>\operatorname{Mat}(n_i,D_i)</math>들의 [[직접곱]]과 동형이며, 따라서 유한 개의 [[나눗셈환]]들의 [[직접곱]]과 모리타 동치이다.
:<math>R\cong\operatorname{Mat}(n_1;D_1)\times\cdots\times\operatorname{Mat}(n_k;D_k)\approx D_1\times\cdots\times D_k</math>

== 역사 ==
모리타 동치와 모리타 쌍대성은 [[모리타 기이치]](1915~1995)가 1958년에 도입하였다.<ref>{{저널 인용 | last=Morita | first=Kiiti | 저자링크=모리타 기이치|title=Duality for modules and its applications to the theory of rings with minimum condition | journal=Science reports of the Tokyo Kyoiku Daigaku. Section A | year=1958 | volume=6 | issue=150 | pages=83–142 | zbl=0080.25702 | issn=0371-3539|url=http://hdl.handle.net/2241/106282|언어=en }}</ref>

== 각주 ==
{{각주}}
*  {{서적 인용 | last=Lam | first=Tsit-Yuen | 저자링크=람짓윈 | title=Lectures on modules and rings | publisher=Springer | series=Graduate Texts in Mathematics | 권= 189 | isbn=978-0-387-98428-5 |mr=1653294 | year=1999 | doi=10.1007/978-1-4612-0525-8|언어=en}}
* {{서적 인용|arxiv=math/0310146|장=Morita theory in Abelian, derived and stable model categories|이름=Stefan|성=Schwede|제목=Structured ring spectra|쪽=33–86|총서=London Mathematical Society Lecture Notes|권=315|날짜=2004|bibcode=2003math.....10146S|url=http://www.cambridge.org/us/catalogue/catalogue.asp?isbn=9780521603058|editor-first=Andrew|editor-last=Baker|editor2-first=Birgit|editor2-last=Richter|isbn=978-0-52160305-8|출판사=Cambridge University Press|언어=en}}
* {{서적 인용|장=Morita duality — a survey|이름=Bruno J.|성=Müller|제목=Abelian groups and modules. Proceedings of the Udine Conference, Udine, April 9–14, 1984|쪽=395–414|doi=10.1007/978-3-7091-2814-5_30|총서=International Centre for Mechanical Sciences Courses and Lectures|권=287|날짜=1984|issn=0254-1971|출판사=Springer-Verlag|editor1-first=R.|editor1-last=Göbel|editor2-first=C.|editor2-last=Metelli|editor3-first=A.|editor3-last=Orsatti|editor4-first=L.|editor4-last=Salce|isbn=978-3-211-81847-3|언어=en}}
* {{서적 인용|장=Morita duality, linear compactness and AB5: a survey|저자=Phạm Ngọc Ánh|제목=Abelian groups and modules. Proceedings of the Padova Conference, Padova, Italy, June 23–July 1, 1994|쪽=17-28|doi=10.1007/978-94-011-0443-2_2|isbn=978-94-010-4198-0|총서=Mathematics and Its Applications|권=343|날짜=1985|출판사=Springer-Verlag|editor1-first=Alberto|editor1-last=Facchini|editor2-first=Claudia|editor2-last=Menini|언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Morita equivalence}}
* {{nlab|id=Morita equivalence}}
* {{nlab|id=Morita context}}
* {{nlab|id=derived Morita equivalence|title=Derived Morita equivalence}}
* {{웹 인용|url=https://qchu.wordpress.com/2012/02/16/morita-equivalence-and-the-bicategory-of-bimodules/|웹사이트=Annoying Precision|날짜=2012-02-16|이름=Qiaochu|성=Yuan|제목=Morita equivalence and the bicategory of bimodules|언어=en|확인날짜=2016-03-14|보존url=https://web.archive.org/web/20150908062624/https://qchu.wordpress.com/2012/02/16/morita-equivalence-and-the-bicategory-of-bimodules/|보존날짜=2015-09-08|url-status=dead}}

[[분류:가군론]]