모듈러 자기 동형 문서 원본 보기

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[[함수해석학]]에서 '''모듈러 자기 동형'''(modular自己同型, {{llang|en|modular automorphism}})은 [[힐베르트 공간]]의 한 [[단위 벡터]]로 정의되는, [[폰 노이만 대수]]의 특별한 [[자기 동형]]이다. 이를 사용하여 [[인자 대수]] 및 [[폰 노이만 대수]]를 분류할 수 있다.

== 정의 ==
다음 데이터가 주어졌다고 하자.
* [[복소수 힐베르트 공간]] <math>H</math>
* <math>H</math> 위에 작용하는 [[폰 노이만 대수]] <math>\mathcal A\subseteq\operatorname B(H,H)</math>
* 다음 두 조건을 만족시키는 [[단위 벡터]] <math>|v\rangle\in H</math>
** <math>\mathcal A|v\rangle</math>는 <math>H</math>의 [[조밀 집합]]이다.
** <math>\mathcal A\to H</math>, <math>A\mapsto A|v\rangle</math>는 [[단사 함수]]이다.
이제, 다음과 같은 [[실수 선형 변환]]을 정의하자.
:<math>S\colon D\to H</math>
:<math>SA|v\rangle=A^*|v\rangle\qquad\forall A\in\mathcal A,\;|v\rangle\in A^{-1}(D)</math>
이는 복소수 반선형 변환이다.
:<math>S|\alpha u\rangle=\bar\alpha S|u\rangle\qquad\forall|u\rangle\in D,\;\alpha\in\mathbb C</math>
[[정의역]] <math>D\subseteq H</math>는 <math>H</math>의 [[조밀 집합]]이다.

<math>S</math>의 극분해({{llang|en|polar decomposition}})가 다음과 같다고 하자.
:<math>S=J\Delta^{1/2}=D^{-1/2}J</math>
:<math>J^2=1</math>, <math>J=J^*</math>
여기서 스펙트럼 이론을 사용하여, 모든 실수 <math>t\in\mathbb R</math>에 대하여 <math>\Delta^{\mathrm it}</math>를 정의할 수 있다.

'''도미타 정리'''({{llang|en|Tomita’s theorem}})에 따르면, 다음이 성립한다.
:<math>J|v\rangle=|v\rangle=\Delta|v\rangle</math>
:<math>J\mathcal AJ=\operatorname C_{\operatorname B(H,H)}(\mathcal A)</math>
:<math>\Delta^{\mathrm it}\mathcal A\Delta^{-\mathrm it}=\mathcal A\qquad\forall t\in\mathbb R</math>
여기서 <math>\operatorname C_{\operatorname B(H,H)}(-)</math>는 <math>\operatorname B(H,H)</math>에서 취한 [[중심화 부분환]]이다. 이에 따라,
:<math>\Delta^{\mathrm it}(-)\Delta^{-\mathrm it}\colon\mathcal A\to\mathcal A</math>
:<math>A\mapsto \Delta^{\mathrm it}A\Delta^{-\mathrm it}</math>
는 <math>\mathcal A</math>의 [[자기 동형]]을 이룬다. 이를 <math>|v\rangle</math>에 대응하는 '''모듈러 자기 동형'''({{llang|en|modular automorphism}})이라고 한다.

=== 콘 모듈러 군 ===
임의의 [[대합환]] <math>(A,^*)</math>가 주어졌을 때, 임의의 [[유니터리 원소]] <math>u\in\operatorname U(A)</math> (즉, <math>uu^*=u^*u=1</math>인 원소)에 대하여
:<math>A\mapsto A</math>
:<math>a\mapsto uau^*</math>
는 <math>A</math>의 자기 동형을 이룬다. 이는 [[군 준동형]]
:<math>\operatorname U(A)\to\operatorname{Aut}(A)</math>
를 정의하며, 따라서 '''외부 자기 동형군'''({{llang|en|outer automorphism group}})
:<math>\operatorname{Out}(A)=\operatorname{Aut}(A)/\operatorname U(A)</math>
을 정의할 수 있다.

[[폰 노이만 대수]] <math>\mathcal A</math> 및 위 조건을 만족시키는 두 [[단위 벡터]] <math>|v\rangle,|v'\rangle\in H</math>에 대하여, 각각 모듈러 자기 동형을 정의할 수 있다.
:<math>\Delta^{\mathrm it}(-)\Delta^{-\mathrm it}\colon A\to A</math>
:<math>\Delta'^{\mathrm it}(-)\Delta'^{-\mathrm it}\colon A\to A</math>
이 둘은 일반적으로 서로 다르지만, 같은 외부 자기 동형류를 정의한다. 즉, 이들이 정의하는 [[군 준동형]]
:<math>\delta\colon (\mathbb R,+)\to\operatorname{Out}(A)</math>
은 서로 일치한다. 이 [[군 준동형]]의 상을 '''콘 모듈러 군'''({{llang|en|Connes modular group}})이라고 하며, 이는 선택한 [[단위 벡터]]에 의존하지 않는, [[폰 노이만 대수]] 고유의 불변량이다.

== 성질 ==
콘 준동형을 사용하여 [[폰 노이만 대수]]를 분류할 수 있다. 구체적으로, [[폰 노이만 대수]] <math>A</math>의 콘 준동형 <math>\delta\colon\mathbb R\to\operatorname{Out}(A)</math>를 생각하자. 그 [[핵 (수학)|핵]] <math>\ker\delta</math>는 <math>(\mathbb R,+)</math>의 [[부분군]]이다. 만약 <math>A</math>가 [[인자 대수]]라면, 다음이 성립한다.
{| class=wikitable
|-
! 콘 준동형의 핵 <math>\ker\delta</math> || [[인자 대수]] <math>A</math>의 분류
|-
| <math>\mathbb R</math> || I종 인자 대수 또는 II종 인자 대수
|-
| <math>\mathbb R</math>의 [[조밀 집합]] (그러나 <math>\mathbb R</math> 전체가 아님) || III<sub>0</sub>종 인자 대수
|-
| [[무한 순환군]] <Math>t\mathbb Z</math>, <math>t\in\mathbb R^+</math> || III<sub>''a''</sub>종 인자 대수 (<math>a=\exp(-2\pi/t)</math>)
|-
| [[자명군]] <math>\{0\}</math> || III<sub>1</sub>종 인자 대수
|}

== 역사 ==
도미타-다케사키 이론은 도미타 미노루({{llang|ja|冨田 稔}}, 1924~2015)가 1967년에 도입하였다. 그러나 도미타의 논문은 매우 난해하여 별로 주목받지 못했다. 이후 다케사키 마사미치({{llang|ja|竹崎 正道}}, 1933~)가 1970년에 도미타의 이론을 개량하여 출판하였으며,<ref>{{서적 인용|first=Masamichi|last= Takesaki|title=Tomita’s theory of modular Hilbert algebras and its applications|총서= Lecture Notes in Mathematics|volume= 128 |publisher= Springer-Verlag |날짜=1970|doi=10.1007/BFb0065832 |isbn =978-3-540-04917-3|언어=en}}</ref> 이후 학계에서 주목받게 되었다.

이후 [[알랭 콘]]이 콘 모듈러 군을 정의하였다.

== 참고 문헌 ==
{{각주}}
* {{서적 인용|arxiv=math-ph/0511034|장=Tomita–Takesaki modular theory|이름=Stephen J.|성=Summers|제목=Encyclopedia of Mathematical Physics|출판사=Elsevier|쪽=251–257|doi=10.1016/B0-12-512666-2/00019-5|날짜=2006|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://pillet.univ-tln.fr/data/pdf/Tomita-Takesaki_theory.pdf|제목=Tomita–Takesaki theory|이름=Jan|성=Dereziński|이름2=Claude-Alain|성2=Pillet|언어=en}}
* {{저널 인용|제목=On revolutionizing quantum field theory with Tomita’s modular theory|이름=H. J.|성=Borchers|doi=10.1063/1.533323|저널=Journal of Mathematical Physics|권=41|쪽=3604|날짜=2000|언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Tomita-Takesaki theory}}

{{전거 통제}}

[[분류:연산자 이론]]