모노드로미 문서 원본 보기

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[[수학]]에서 '''모노드로미'''({{llang|en|monodromy}})는 [[피복 공간]]이 [[특이점]] 주변에서 보이는 구조를 나타내는 수학적 대상이다.

== 정의 ==
<math>X</math>가 [[연결 공간|연결]] [[국소 연결 공간]]이라고 하자. <math>p\colon\tilde X\to X</math>가 <math>X</math>의 [[피복 공간]]이라고 하자. 또한, <math>x\in X</math>에 대하여 <math>F=p^{-1}(x)</math>가 그 올({{lang|en|fiber}})이라고 하자.

폐곡선 <math>\gamma\colon[0,1]\to X</math>가 <math>x</math>에서 시작하고 끝난다고 하자. 즉, <math>\gamma(0)=\gamma(1)=x</math>이다. 그렇다면 이 폐곡선을 피복 공간으로 올려({{lang|en|lift}}) <math>\tilde\gamma\colon[0,1]\to\tilde X</math>를 생각할 수 있다. 이 곡선은 더 이상 일반적으로 폐곡선이 아니다. <math>\tilde\gamma</math>가 <math>\tilde x_1\in F</math>에서 시작하여 <math>\tilde x_2\in F</math>에 끝난다고 하자. 이에 따라, 이를 [[기본군]] <math>\pi_1(X,x)</math>의 <math>F</math>에 대한 [[군의 작용]]으로 생각할 수 있다. 이 작용을 '''모노드로미 작용'''({{lang|en|monodromy action}})이라고 하며, [[군 준동형]] <math>\pi_1(X,x)\to\operatorname{Aut}(F)</math>의 [[상 (수학)|상]]을 '''모노드로미 군'''({{lang|en|monodromy group}})이라고 한다.

== 예 ==
[[파일:Riemann surface log.jpg|섬네일|right|복소 로그로 의하여 주어지는 복소 평면의 [[피복 공간]]]]
모노드로미는 [[복소해석학]]에서 중요한 역할을 한다. 예를 들어, 복소 [[로그]] <math>\log(z)</math>를 원점을 한 번 도는 폐곡선을 따라 [[해석적 연속]]을 통하여 연장하면, 시작한 점에서 <math>2\pi i</math>만큼 다른 값을 얻는다. 복소 로그를 <math>p\colon\mathbb C\to\mathbb C\setminus\{0\}</math> 꼴의 [[피복 공간]]으로 생각하면, <math>x\in\mathbb R^+</math>에 대응하는 올은 <math>F=\{\log(x)+2\pi ni|n\in\mathbb Z\}</math>이다. <math>\mathbb C\setminus\{0\}</math>의 [[기본군]]은 그 감음수로 나타내어지는 <math>\pi_1(\mathbb C\setminus\{0\})=\mathbb Z</math>이므로, 그 모노드로미 작용은 <math>n\colon\log(x)\mapsto\log(x)+2\pi ni</math>임을 알 수 있고, 그 모노드로미 군은 <math>\mathbb Z</math>이다.

[[리만 기하학]]의 [[홀로노미]]도 모노드로미의 일종으로 생각할 수 있다.

== 같이 보기 ==
* [[초기하함수]]

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Monodromy group}}
* {{eom|title=Monodromy theorem}}
* {{eom|title=Monodromy transformation}}
* {{매스월드|id=MonodromyGroup|title=Monodromy group}}
* {{매스월드|id=MonodromyTheorem|title=Monodromy theorem}}
* {{수학노트|title=맴돌이군과 미분방정식}}
* {{수학노트|title=맴돌이군이 유한인 초기하 미분방정식에 대한 슈바르츠 목록}}

{{전거 통제}}

[[분류:복소해석학]]
[[분류:미분기하학]]
[[분류:대수적 위상수학]]
[[분류:호모토피 이론]]