면적분 문서 원본 보기

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{{미적분학}}
[[미적분학]]에서 '''면적분'''(面積分, {{llang|en|surface integral}})은 3차원 [[유클리드 공간]]에 매장된 [[곡면]] 위에 정의된 함수에 대한 [[적분]]이다. [[평면]] 위에 정의된 함수의 [[이중 적분]]을 일반화한 개념이다.

== 정의 ==
[[파일:Surface integral illustration.svg|대체글=직사각형과 유사한 작은 도형들로 분할된 곡면|섬네일|스칼라 장의 면적분을 정의하려면 곡면을 작은 면적소들로 나누어야 한다.]]

=== 스칼라 장의 경우 ===
[[파일:Surface integral1.svg|대체글=3차원 좌표 공간 속의 곡면과 그 위의 한 면적소|섬네일|곡면의 면적소들의 면적이 한없이 작아질 때, 이에 대응하는 리만 합은 스칼라 장의 면적분에 한없이 가까워진다.]]
[[스칼라 장]] <math>f\colon\mathbb R^3\to\mathbb R</math>의 [[곡면]] <math>\vec\varphi\colon D\to\mathbb R^3</math> (<math>D\subseteq\mathbb R^2</math>) 위의 '''면적분'''은 다음과 같다.
:<math>\int_{\vec\varphi(D)}fdS=
\int_Df(\vec\varphi(s,t))\Vert\vec\varphi_u\times\vec\varphi_v\Vert dsdt=
\int_Df(\vec\varphi(s,t))\sqrt{EF-G^2}dsdt</math>
여기서 <math>EF-G^2</math>는 [[제1 기본 형식]]의 [[행렬식]]이다.

특히, 곡면 <math>\vec\varphi(D)</math>의 '''[[면적]]'''은 다음과 같다.
:<math>\int_{\vec\varphi(D)}dS=
\int_D\Vert\vec\varphi_u\times\vec\varphi_v\Vert dsdt=
\int_D\sqrt{EF-G^2}dsdt</math>

=== 벡터 장의 경우 ===
[[파일:Surface vectors.png|대체글=|섬네일|곡면 위의 벡터 장]]
[[벡터 장]] <math>\vec F\colon\mathbb R^3\to\mathbb R^3</math>의, 곡면 <math>\vec\varphi\colon D\to\mathbb R^3</math> (<math>D\subseteq\mathbb R^2</math>) 위의 '''면적분'''은 다음과 같다.
:<math>\iint_{\vec\varphi(D)}\vec F\cdot d\vec S=
\iint_{\vec\varphi(D)}\vec F\cdot\frac{\vec\varphi_u\times\vec\varphi_v}{\Vert\vec\varphi_u\times\vec\varphi_v\Vert}dS=
\iint_D\vec F(\vec\varphi(s,t))\cdot(\vec\varphi_u\times\vec\varphi_v)dsdt</math>

== 같이 보기 ==
* [[선속]]

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Surface integral}}
* {{매스월드|id=SurfaceIntegral|title=Surface Integral}}
* {{플래닛매스|urlname=surfaceintegrationwithrespecttoarea|title=Surface integration with respect to area}}

{{전거 통제}}

[[분류:다변수 미적분학]]
[[분류:넓이]]
[[분류:곡면]]