멱영 공간 문서 원본 보기

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[[호모토피 이론]]에서 '''멱영 공간'''(冪零空間, {{llang|en|nilpotent space}})은 [[기본군]]이 [[멱영군]]이며 고차 [[호모토피 군]]에 특별히 간단하게 작용하는 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]이다. 멱영 공간의 경우 [[유리수 호모토피 이론]]을 깔끔하게 전개할 수 있다.

== 정의 ==
[[점을 가진 공간]] <math>(X,\bullet)</math>가 주어졌다고 하자. 이 경우, [[기본군]] <Math>\pi_1(X,\bullet)</math>은 고차 호모토피 군 <Math>\pi_n(X,\bullet)</math> 위에 다음과 같이 작용한다. 우선, <math>\{\bullet\}\hookrightarrow\mathbb S^n</math>은 [[쌍대올뭉치]]이므로, 호모토피 확장 성질을 사용하여 임의의 [[경로 (위상수학)|경로]]
:<math>\{\bullet\}\times[0,1]\to X</math>
:<math>(\bullet,0)\mapsto \bullet_X</math>
:<math>(\bullet,1)\mapsto \bullet_X'</math>
및 호모토피 군의 원소
:<math>f\colon(\mathbb S^n,\bullet_{\mathbb S^n})\to (X,\bullet_X)</math>
:<math>[f]\in\pi_n(X,\bullet_X)</math>
에 대하여 [[호모토피류]]
:<math>f'\colon (\mathbb S^n,\bullet_{\mathbb S^n})\to (X,\bullet_X')</math>
:<math>[f']\in\pi_n(X,\bullet_X')</math>
를 유일하게 정의할 수 있다. 만약 <math>\bullet_X'=\bullet_X</math>인 경우 위와 같은 경로의 [[호모토피류]]는 [[기본군]] <math>\pi_1(X,\bullet)</math>의 원소이므로, 이는 [[군의 작용]]
:<math>\pi_1(X,\bullet)\times\pi_n(X,\bullet)\to \pi_n(X,\bullet)</math>
을 정의한다.

주어진 [[점을 가진 공간]] <math>(X,\bullet_X)</math>에서, 만약 각 <Math>i\in\mathbb N</math>에 대하여 다음 조건을 만족시키는 유한한 길이의 [[호모토피 군]] [[중심열]]
:<math>\pi_i(X,\bullet_X)=G^i_1\vartriangleright G^i_2\vartriangleright\dotsb\vartriangleright G^i_{n_i}=1</math>
이 존재한다면, <math>(X,\bullet_X)</math>를 '''멱영 공간'''이라고 한다.
* 임의의 <math>i\in\mathbb N</math> 및 <math>1\le j\le n_i</math>에 대하여, <math>\pi_1(X,\bullet_X)\cdot G^i_j\subseteq G^i_{j+1}</math>이다. 즉, <math>\pi_1(X,\bullet_X)</math>의 <math>G^i_j/G^i_{j+1}</math> 위의 작용은 자명하다.

(특히, <math>i=1</math>인 경우의 조건은 [[기본군]] <math>\pi_1(X,\bullet_X)</math>이 [[멱영군]]인 것이다.)

마찬가지로, 주어진 [[점을 가진 공간]] <math>(X,\bullet_X)</math>에서, 만약 [[기본군]] <math>\pi_1(X,\bullet_X)</math>의, 임의의 차수 [[호모토피 군]]에 대한 작용이 모두 자명하다면, <math>(X,\bullet_X)</math>를 '''단순 공간'''(單純空間, {{llang|en|simple space}})이라고 한다. (특히, <math>i=1</math>인 경우의 조건에 따라 기본군 <Math>\pi_1(X,\bullet_X)</math>아 [[아벨 군]]이어야 한다.)

== 성질 ==
모든 단순 공간은 멱영 공간이다. [[단일 연결 공간]]은 ([[기본군]]이 [[자명군]]이므로) 항상 단순 공간이다.

== 역사 ==
에마누엘 드로르 파르준({{llang|he|עִמָּנוּאֵל דְרוֹר פַרְג׳וּן}}, {{llang|en|Emmanuel Dror Farjoun}})이 도입하였다.<ref>{{서적 인용|성=Dror|이름=Emmanuel|날짜=1971|제목=A generalization of the Whitehead theorem|출판사=Springer-Verlag|총서=Lecture Notes in Mathematics|권=249|zbl=0243.55018|언어=en}}</ref>

== 예 ==
홀수 차원 [[실수 사영 공간]]은 멱영 공간이다. 그러나 (예를 들어) 실수 [[사영 평면]]은 멱영 공간이 아니다.

== 참고 문헌 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{nlab|id=nilpotent topological space|title=Nilpotent topological space}}
* {{nlab|id=nilpotent homotopy type|title=Nilpotent homotopy type}}
* {{웹 인용|url=https://topospaces.subwiki.org/wiki/Simple_space|제목=Simple space|웹사이트=Topospaces|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://topospaces.subwiki.org/wiki/Actions_of_the_fundamental_group|제목=Actions of the fundamental group|웹사이트=Topospaces|언어=en}}

[[분류:대수적 위상수학]]
[[분류:위상 공간의 성질]]