멱영군 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[군론]]에서 '''멱영군'''(冪零群, {{llang|en|nilpotent group}}, {{문화어|제곱령군}}<ref>{{웹 인용|url=http://www.nktech.net/science/science/science_v.jsp?record_no=88648|제목=제곱령군 (nilpotent group)|출판사=북한과학기술네트워크|언어=ko}}{{깨진 링크|url=http://www.nktech.net/science/science/science_v.jsp?record_no=88648 }}</ref>)은 [[아벨 군]]에 가까운 [[군 (수학)|군]]이다. 구체적으로, 충분히 많은 수의 [[교환자]]를 취하면 단위원이 되는 군이다.

== 정의 ==
군 <math>G</math>의 '''하중심렬'''(下中心列, {{llang|en|lower central series}})
:<math>G=G_0\triangleright G_1\triangleright G_2\triangleright\cdots</math>
은 다음과 같다.
:<math>G_0=G</math>
:<math>G_{n+1}=[G_n,G]</math>
군 <math>G</math>의 '''상중심렬'''(上中心列, {{llang|en|upper central series}})
:<math>1=Z_0\triangleleft Z_1\triangleleft Z_2\triangleleft\cdots</math>
은 다음과 같다.
:<math>Z_0=1</math>
:<math>Z_{n+1}=\{x\in G\colon [x,G]\subset Z_n\}</math>
상중심렬에서 <math>Z_1</math>은 군 <math>G</math>의 [[군의 중심|중심]] <math>Z(G)</math>이다.

임의의 군 <math>G</math>에 대하여, 다음 두 조건은 서로 [[동치]]이다. '''멱영군'''은 이 조건을 만족시키는 군이다.
* 하중심렬이 유한하다. 즉, <math>G_{n+1}=1</math>인 음이 아닌 정수 <math>n</math>이 존재한다.
* 상중심렬이 유한하다. 즉, <math>Z_{n+1}=G</math>인 음이 아닌 정수 <math>n</math>이 존재한다.
이를 만족하는 가장 작은 <math>n</math>이 주어지면, <math>G</math>를 '''''n''류 멱영군'''({{llang|en|nilpotent group of class ''n''}})이라고 한다.

== 성질 ==
다음과 같은 포함 관계가 성립한다.
:[[아벨 군]]  ⊊ [[데데킨트 군]]  ⊊ 멱영군 ⊊ [[가해군]]
즉, 모든 [[아벨 군]] 및 [[데데킨트 군]]은 멱영군이며, 모든 멱영군은 [[가해군]]이다.

== 예 ==
* [[아벨 군]]은 0류 멱영군이다.
* [[사원수군]] <math>Q_8</math>은 2류 멱영군이다.
* 유한 개의 멱영군의 [[직접곱]]은 멱영군이다.
* 모든 유한 멱영군은 ''p''-군 (단위원이 아닌 모든 원소의 계수(order)가 [[소수 (수론)|소수]] ''p''인 군)의 [[직접곱]]으로 나타낼 수 있다.

== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용|성=Hungerford|이름=Thomas Gordon |title=Algebra |url=https://archive.org/details/algebra0000hung_f8t3|publisher=Springer-Verlag |location=Berlin |날짜=1974|isbn=0-387-90518-9 |언어=en}}
* {{서적 인용|이름=Friedrich|성=Von Haeseler |제목=Automatic Sequences|총서=De Gruyter Expositions in Mathematics|권=36|publisher=Walter de Gruyter |날짜=2002 |pages= |isbn=3-11-015629-6 |언어=en}}
* {{서적 인용|last= Isaacs |first= I. Martin |제목= Finite group theory|날짜=2008|publisher=American Mathematical Society|isbn=0-8218-4344-3 |언어=en}}
* {{서적 인용|성=Tabachnikova|이름=Olga|공저자=Geoff Smith|제목=Topics in group theory |url=https://archive.org/details/topicsingroupthe0000smit|총서=Springer Undergraduate Mathematics Series |publisher=Springer |location=Berlin |날짜=2000 |isbn=1-85233-235-2 |언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Nilpotent group}}
* {{매스월드|id=NilpotentGroup|title=Nilpotent group}}
* {{웹 인용|url=http://groupprops.subwiki.org/wiki/Nilpotent_group|제목=Nilpotent group|웹사이트=Groupprops|언어=en}}
* {{nlab|id=nilpotent group|title=Nilpotent group}}

== 같이 보기 ==
* [[가해군]]
* [[멱영 리 대수]]
* [[멱영 행렬]]

== 각주 ==
{{각주}}

{{전거 통제}}

[[분류:군론]]