멜린 변환 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[해석학 (수학)|해석학]]에서 '''멜린 변환'''(Mellin變換, {{llang|en|Mellin transform}})은 양의 실수선 위의 함수에 대하여 정의되는 [[적분 변환]]의 일종이다.<ref name=Zagier>{{서적 인용|장=The Mellin transform and related analytic techniques|장url=http://people.mpim-bonn.mpg.de/zagier/files/tex/MellinTransform/fulltext.pdf|제목=Quantum field theory I: basics in mathematics and physics. A bridge between mathematicians and physicists|이름=Don|성=Zagier|doi=10.1007/978-3-540-34764-4|isbn=978-3-540-34762-0|출판사=Springer-Verlag|날짜=2006|언어=en}}</ref> [[푸리에 변환]]에 [[지수 함수]]를 합성한 것이다. 이에 따라, 푸리에 변환이나 [[라플라스 변환]]이 [[평행]] 이동에 대하여 호환되는 것에 반해, 멜린 변환은 확대 변환에 대하여 호환된다. 원래 함수의 0 또는 무한대에서의 점근적 급수의 계수는 멜린 변환의 [[극점 (복소해석학)|극점]]의 계수로 주어진다.

== 정의 ==
<math>\mathbb K\in\{\mathbb R,\mathbb C\}</math>라고 하자. 양의 실수선 (<math>\mathbb R^+=(0,\infty)</math>) 위에 정의된 실수 값 함수
:<math>f\in\operatorname L^1(\mathbb R^+;\mathbb K)</math>
:<math>f\colon(0,\infty)\to\mathbb K</math>
가 주어졌다고 하자. (<math>\operatorname L^1</math>은 1차 [[르베그 공간]], 즉 [[절댓값]] 적분 가능 함수 공간이다.) <math>\mathcal Mf</math>의 [[정의역]]은 위 적분이 수렴하는 복소수 <math>s\in\mathbb C</math>들의 집합이다.

그렇다면, <math>f</math>의 '''멜린 변환'''은 (만약 존재한다면) 다음과 같은 [[적분 변환]]이다.
:<math>\mathcal Mf(s)=\int_0^\infty x^sf(x)\,\frac{\mathrm dx}x</math>

=== 확장된 멜린 변환 ===
만약 위와 같은 멜린 변환이 수렴하지 않더라도, 일부 경우 멜린 변환을 다음과 같이 정의할 수 있다.<ref name="Zagier"/>{{rp|§1}}

우선, 함수 <math>f\in\operatorname L^1(\mathbb R^+;\mathbb C)</math>가 0 근처에서 점근적 급수
:<math>f(x)\sim\sum_{i=0}^\infty a_ix^{\alpha_i}(\ln x)^{m_i}</math>
를 갖는다고 하자. (이 급수는 점근적 급수이다. 즉, 수렴할 필요는 없다.) 여기서
:<math>\alpha_i\in\mathbb C</math>
는
:<math>\Re\alpha_0\le\Re\alpha_1\le\Re\alpha_2\le\cdots</math>
:<math>\sup_{i=0}^\infty\Re\alpha_i=\infty</math>
를 만족시키는 [[복소수열]]이며,
:<math>m_i\in\mathbb N</math>
는 [[자연수]](음이 아닌 정수)의 [[수열]]이다.

그렇다면, 임의의 <math>0<T<\infty</math>에 대하여 "부분 멜린 변환"
:<math>\mathcal Mf(s)=\int_0^T x^sf(x)\,\frac{\mathrm dx}x</math>
는 [[해석적 연속]]을 가하면 [[복소평면]] 위의 [[유리형 함수]]이며, 그 [[극점 (복소해석학)|극점]]들은 <math>-\alpha_i</math>에 위치하며, 극점 근처에서의 [[로랑 급수]]는 다음과 같다.
:<math>\mathcal Mf(s)=\frac{(-1)^{m_i}m_i!a_i}{(s+\alpha_i)^{m_i+1}}+\mathcal O\left((s+\alpha_i)^{-m_i}\right)</math>

마찬가지로, <math>f</math>가 무한대 근처에서 점근적 급수
:<math>f(x)\sim\sum_{i=0}^\infty b_ix^{\beta_i}(\ln x)^{n_i}</math>
를 갖는다고 하자. 여기서
:<math>\beta_i\in\mathbb C</math>
는
:<math>\Re\beta_0\ge\Re\beta_1\ge\Re\beta_2\ge\cdots</math>
:<math>\inf_{i=0}^\infty\Re\beta_i=-\infty</math>
를 만족시키는 [[복소수열]]이며,
:<math>n_i\in\mathbb N</math>
는 [[자연수]](음이 아닌 정수)의 [[수열]]이다. 그렇다면, 임의의 <math>0<T<\infty</math>에 대하여 "부분 멜린 변환"
:<math>\mathcal Mf(s)=\int_T^\infty x^sf(x)\,\frac{\mathrm dx}x</math>
는 [[해석적 연속]]을 가하면 [[복소평면]] 위의 [[유리형 함수]]이며, 그 [[극점 (복소해석학)|극점]]들은 <math>-\beta_i</math>에 위치하며, 극점 근처에서의 [[로랑 급수]]는 다음과 같다.
:<math>\mathcal Mf(s)=-\frac{(-1)^{n_i}n_i!b_i}{(s+\beta_i)^{n_i+1}}+\mathcal O\left((s+\beta_i)^{-n_i}\right)</math>
이에 따라, 임의의 <math>0<T<\infty</math>에 대하여 (일반화) 멜린 변환을 위와 같은 두 "부분 멜린 변환"의 [[해석적 연속]]의 합인 [[유리형 함수]]로 정의할 수 있으며, 이는 <math>0<T<\infty</math>의 선택에 의존하지 않는다.

이러한 꼴의 함수에 대하여, 기본대는
:<math>(\alpha_0,\beta_0)</math>
이다. 특히 <math>\beta>\alpha_0</math>일 수 있는데, 이 경우 고전적 멜린 변환은 정의되지 않는다.

== 성질 ==
=== 정의역 ===
임의의 <math>f\in\operatorname L^1((0,\infty);\mathbb K)</math>에 대하여, <math>\mathcal Mf</math>의 정의역은 다음과 같은 꼴이다.
:<math>(a,b)+\mathrm i\mathbb R\subseteq\mathcal Mf\subseteq[a,b]+\mathrm i\mathbb R\qquad(a,b\in\mathbb R)</math>
즉, 경계에서의 [[영집합]]을 제외하면 나머지는 <math>(a,b)+\mathrm i\mathbb R</math> 꼴의, [[복소평면]]의 띠이다. 이를 <math>f</math>의 '''기본대'''(基本帶, {{llang|en|fundamental strip}})라고 한다.

특히, 임의의 <math>f\in\operatorname L^2((0,\infty);\mathbb K)</math>에 대하여, <math>f</math>의 기본대는 항상 <math>1/2+\mathrm i\mathbb R</math>를 포함한다.

임의의 두 실수 <math>\alpha,\beta</math>에 대하여, 만약 함수 <math>f\in\operatorname L^1(\mathbb R^+;\mathbb K)</math>가
:<math>f\in\operatorname O(x^{-\alpha})\qquad(x\to0^+)</math>
:<math>f\in\operatorname O(x^{-\beta})\qquad(x\to+\infty)</math>
와 같은 점근적 성질을 갖는다면, [[열린구간]] <Math>(\alpha,\beta)\subseteq\mathbb R</math>는 <math>f</math>의 기본대에 속한다.

=== 멜린 역변환 ===
멜린 변환은 다음과 같은 역을 갖는다.
:<math>\mathcal M^{-1}F(x)
=\frac1{2\mathrm\pi i}\int_{c-\mathrm i\infty}^{c+\mathrm i\infty}x^{-s}F(s)\,\mathrm ds
</math>
여기서 <math>c\in\mathbb R</math>는 임의의 상수이며, <math>x^{-s}</math>는 주분지({{llang|en|principal branch}})를 사용한다.
특히, 만약 <math>f\in\operatorname L^2((0,\infty);\mathbb K)</math>일 경우, 항상 <math>c=1/2</math>로 잡을 수 있다.

=== 연산과의 호환 ===
멜린 변환은 다음 성질들을 만족시킨다.<ref name="Zagier"/>{{rp|§1, (2)}}
:<math>\mathcal M(x\mapsto f(\alpha x))\colon s\mapsto \alpha^{-s}\mathcal Mf(s)</math>
:<math>\mathcal M(x\mapsto x^\alpha f(x))\colon s\mapsto \mathcal Mf(s+\alpha)</math>
:<math>\mathcal M(x\mapsto f(x^\alpha))\colon s\mapsto \alpha^{-s}\mathcal Mf(s/\alpha)</math>
:<math>\mathcal M(x\mapsto f(1/x))\colon s\mapsto \mathcal Mf(-s)</math>
:<math>\mathcal M(x\mapsto \mathrm df(x)/\mathrm dx)\colon s\mapsto (1-s)\mathcal Mf(s-1)</math>

=== 유니터리성 ===
[[복소수 힐베르트 공간]] <math>\operatorname L^2(\mathbb R^+;\mathbb C)</math>에서, 다음을 정의하자.
:<math>\tilde{\mathcal M}f(s)=\frac1{\sqrt{2\pi}}\mathcal Mf(s+\mathrm is)</math>
:<math>\tilde{\mathcal M}^{-1}F(x)=\frac1{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty x^{-1/2-\mathrm is}F(s)\;\mathrm ds</math>
그렇다면,
:<math>\tilde{\mathcal M}\colon\operatorname L^2(\mathbb R^+;\mathbb C)\to\operatorname L^2(\mathbb R;\mathbb C)</math>
는 두 [[복소수 힐베르트 공간]] 사이의 [[유니터리 변환]](=[[등거리 변환|등거리]] [[복소수 선형 변환]])을 정의한다.

=== 다른 변환과의 관계 ===
적절한 조건 아래, 멜린 변환은 다음과 같이 [[푸리에 변환]](<math>\mathcal F</math>)으로 표현된다.
:<math>\mathcal Mf(s)=\mathcal F[f\circ\exp](-\mathrm is)</math>
:<math>\mathcal Ff(s)=\mathcal M[f\circ(-\ln)](\mathrm is)</math>
마찬가지로, 양쪽 [[라플라스 변환]] <math>\mathcal B</math>와의 관계는 다음과 같다.
:<math>\mathcal Bf(s)=\mathcal M[f\circ(-\ln)](s)</math>
:<math>\mathcal Mf(s)=\mathcal B[x\mapsto f(\exp(-x))](s)</math>

== 예 ==
[[수론]]에서 자주 등장하는 함수
:<math>f(x)=[x>1]x^a</math>
를 생각하자. (<math>[\cdots]</math>는 [[아이버슨 괄호]], 즉 괄호 속의 명제가 참이면 1, 거짓이면 0이다.)
그 멜린 변환은 다음과 같다.
:<math>\mathcal Mf(s)=-\frac1{s+a}\qquad(\Re(s+a)<0)</math>

=== 지수 함수 → 감마 함수 ===
함수
:<math>f\colon x\mapsto\exp(-x)</math>
의 멜린 변환은 다음과 같이 [[감마 함수]]이다.
:<math>\mathcal Mf(s)=\int_0^\infty x^{s-1}\exp(-x) dx=\Gamma(s)</math>
위 적분이 수렴하는 <math>s\in\mathbb C</math>의 값, 즉 멜린 변환의 정의역은 다음과 같다.
:<math>\operatorname{dom}(\mathcal Mf)=([0,\infty)+\mathrm i\mathbb R)\setminus\{0\}</math>
특히, <math>x\mapsto\exp(-x)</math>의 멜린 변환의 기본띠는 <math>\mathbb R^++\mathrm i\mathbb R</math>이다.

그 역변환인 적분
:<math>\mathcal M^{-1}\Gamma(x)=\frac1{2\mathrm\pi\mathrm i}\int_{c-\mathrm i\infty}^{c+\mathrm i\infty}x^{-s}\Gamma(s)\,\mathrm ds</math>
을 '''카앵-멜린 적분'''({{llang|en|Cahen–Mellin integral}})이라고 한다.

=== 세타 함수 → 리만 제타 함수 ===
[[야코비 세타 함수]] <math>\theta(x)</math>의 멜린 변환은 [[리만 제타 함수]]이다.
:<math>\mathcal M\theta(s)=\int_0^\infty x^{s-1}\theta(x)\;\mathrm dx=\zeta(s)</math>

=== 베르누이 수 ===
[[베르누이 수]]의 [[생성 함수 (수학)|생성 함수]]
:<math>f(x)=\sum_{i=0}^\infty\frac{B_ix^{i-1}}{i!}=\frac1{\exp(x)-1}</math>
의 멜린 변환은 다음과 같다.
:<math>\mathcal Mf(s)=\Gamma(s)\zeta(s)</math>
여기서 <math>\Gamma</math>는 [[감마 함수]]이며 <math>\zeta</math>는 [[리만 제타 함수]]이다. 이에 따라, [[감마 함수]]의 극점을 통해 [[리만 제타 함수]]의 음의 정수에서의 값이
:<math>\zeta(-n)=(-1)^n\frac{B_{n+1}}{n+1}\qquad(n\in\mathbb N)</math>
임을 알 수 있다.

== 역사 ==
[[핀란드]]의 수학자 로베르트 얄마르 멜린({{llang|sv|Robert Hjalmar Mellin}}, 1854~1933)이 도입하였다.<ref>{{저널 인용|이름=Hjalmar|성=Mellin|제목=Über die fundamentale Wichtigkeit des Satzes von Cauchy für die Theorien der Gamma- und hypergeometrischen Functionen|저널=Acta Societatis Scientiarum Fennicae |권=21|호=1|날짜=1896|쪽=1–115|jfm=28.0382.03|언어=de}}</ref><ref>{{저널 인용|이름=Hjalmar|성=Mellin|제목=
Über den Zusammenhang zwischen den Linearen Differential- und Differenzengleichungen|저널=Acta Mathematica|권=25|날짜=1902|쪽=139–164|jfm= 32.0348.02|doi= 10.1007/BF02419024|언어=de}}</ref> 이후 외젠 카앵({{llang|fr|Eugène Cahen}}, 1865~1941)이 그 이론을 개량하였다.

== 응용 ==
=== 물리학 ===
[[양자장론]]에서, [[분배 함수 (통계역학)|분배 함수]]의 멜린 변환은 1고리 진공 [[진폭]]({{llang|en|one-loop vacuum amplitude}})이라고 한다. 즉, [[해밀토니언 연산자]] <math>H</math>에 대하여,
:<math>\operatorname{tr}(H^{-s})</math>
를 생각하자. 이는 <math>s=1</math>일 때 [[그린 함수]]=[[전파 인자]]이다. 이는 다음과 같이 [[분배 함수 (통계역학)|분배 함수]]
:<math>Z(\beta)=\operatorname{tr}(-\beta H)</math>
의 멜린 변환으로 얻어진다.
:<math>\operatorname{tr}(H^{-s})
=\int_0^\infty\operatorname{tr}(-\beta H)\;\mathrm d\beta
</math>
여기서 <math>\beta</math>는 ([[분배 함수 (통계역학)|분배 함수]]의 관점에서) 온도의 역수이다.

이 사실은 [[파인먼 도형]]에 대응된 적분을 계산하는 데 매우 중요한 역할을 한다. 이 경우, 1고리 진공 진폭 <math>\operatorname{tr}(H^{-s})</math>을 계산하려면 이를 위와 같은 꼴의 멜린 변환으로 나타내는데, 이 경우 등장하는 보조 변수 <math>\beta</math>를 '''슈윙거 매개 변수'''({{llang|en|Schwinger parameter}})라고 한다. 이는 양자장론을 일종의 [[시그마 모형]]으로 간주하였을 때, 입자의 [[세계선]]의 시간( 의 <math>\mathrm i</math>배 --> [[비크 회전|윅 회전]] {{llang|en|Wick rotation}} )에 해당한다.

=== 연산자의 제타 함수 ===
보다 일반적으로, [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[매끄러운 다양체]] <math>M</math>위의 복소수 [[매끄러운 벡터 다발]] <math>E</math>위의 [[라플라스형 연산자]] <math>H</math>의 [[열핵]]
:<math>K(t,-,-)\in\Gamma^\infty((E\otimes|\Lambda M|^{1/2})\boxtimes(E^*\otimes|\Lambda M|^{1/2})\qquad(t\in\mathbb R^+)</math>
를 생각하자. 이 경우, 임의의 함수 <math>f\in \mathcal C^\infty(M;\mathbb R)</math>에 대하여, [[힐베르트 공간]]
:<math>\mathcal H=\operatorname L^2(M;E)</math>
에서의 대각합
:<math>\operatorname{tr}\left(f\exp(-tH)\right)</math>
을 정의할 수 있다. 이제 이것의 <math>t</math>에 대한 멜린 변환을 취하자.
:<math>\Gamma(s)\zeta_D(s;f)=\int_0^\infty t^s\operatorname{tr}\left(f\exp(-tH)\right)\,\frac{\mathrm dt}t</math>
(편의상 [[감마 함수]] 인자 <math>\Gamma(s)</math>를 삽입하였다.) 이 경우, <math>\zeta_D(s;f)</math>는 (적절한 [[해석적 연속]]을 가하면) [[라플라스형 연산자]] <math>H</math>의 '''제타 함수'''({{llang|en|zeta function}})라고 한다. 제타 함수의 특이점들은 [[라플라스형 연산자]]에 대한 다양한 정보들을 담고 있다.<ref name="Vassilevich">{{저널 인용|arxiv=hep-th/0306138|제목=Heat kernel expansion: user’s manual|이름=D. V.|성=Vassilevich|doi=10.1016/j.physrep.2003.09.002|저널=Physics Reports|권=388|쪽=279–360|bibcode=2003PhR...388..279V|날짜=2003|zbl=1042.81093|언어=en}}</ref>{{rp|§2.2}}

=== 조합론 ===
멜린 변환은 또한 [[조합론]]에서도 자주 등장한다.<ref>{{저널 인용|제목=Mellin transforms and asymptotics: harmonic sums|이름=Philippe|성=Flajolet|이름2=Xavier|성2=Gourdon|이름3=Philippe|성3=Dumas|doi=10.1016/0304-3975(95)00002-E|url=http://algo.inria.fr/flajolet/Publications/FlGoDu95.pdf|저널=Theoretical Computer Science|권=144|호=1–2|날짜=1995-06-26|쪽=3–58|언어=en}}</ref>

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Mellin transform}}
* {{매스월드|id=MellinTransform|title=Mellin transform}}
* {{nlab|id=Mellin transform}}
* {{nlab|id=worldline formalism|title=Worldline formalism}}
* {{웹 인용|url=http://math.sun.ac.za/wp-content/uploads/2013/02/Hons-Projek.pdf|제목=The Mellin transform|이름=Joubert|성=Oosthuizen|기타=학사 학위 논문|날짜=2011-10|언어=en|확인날짜=2017-01-20|보존url=https://web.archive.org/web/20170215074747/http://math.sun.ac.za/wp-content/uploads/2013/02/Hons-Projek.pdf|보존날짜=2017-02-15|url-status=dead}}
* {{웹 인용|url=https://anhngq.wordpress.com/2009/03/31/mellin-transform-with-some-examples/|제목=Mellin transform with some examples|날짜=2009-03-31|저자=Ngô Quốc Anh|언어=en}}
* {{수학노트|title=푸리에 변환}}
* {{수학노트|title=멜린-반스 적분}}

[[분류:적분 변환]]
[[분류:복소해석학]]