멀티심플렉틱 다양체 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[미분기하학]]에서 '''멀티심플렉틱 다양체'''(multisymplectic多樣體, {{llang|en|multisymplectic manifold}})는 임의의 0이 아닌 벡터장과의 [[내부곱]]이 0이 아닌 [[닫힌 미분 형식]]을 갖춘 [[매끄러운 다양체]]이다.<ref name="Rogers">{{서적 인용|arxiv=1106.4068|이름=Christopher Lee|성=Rogers|기타=박사 학위 논문|제목=Higher symplectic geometry|출판사=University of California Riverside | 날짜=2011-06|언어=en}}</ref>{{rp|Chapter 2}} [[심플렉틱 다양체]]와 [[부피 형식]]의 개념의 공통적인 일반화이다.

== 정의 ==
자연수 <math>k\in\mathbb N</math>가 주어졌다고 하자. [[매끄러운 다양체]] <math>M</math> 위의 '''<math>k</math>차 멀티심플렉틱 구조'''({{llang|en|<math>k</math>-multisymplectic structure}})
:<math>\omega\in\Omega^{k+1}(M)</math>
은 다음과 같은 성질을 갖는 <math>k+1</math>차 [[닫힌 미분 형식]]이다.
* 임의의 점 <math>x\in M</math> 및 접벡터 <math>v\in\mathrm T_xM \setminus\{0\}</math>에 대하여, <math>v \lrcorner \omega_x \ne 0 \in \textstyle\bigwedge^k\mathrm T^*_xM</math>이다.
여기서
:<math>\lrcorner \colon \mathrm T_xM \times \bigwedge^{k+1}\mathrm T^*M \to \bigwedge^k\mathrm T^*M</math>
는 <math>x</math>에서, 접벡터와 미분 형식의 [[내부곱]]이다.

'''<math>k</math>차 멀티심플렉틱 다양체'''({{llang|en|<math>k</math>-multisymplectic manifold}}) <math>(M,\omega)</math>는 [[매끄러운 다양체]]와 그 위의 <math>k</math>차 멀티심플렉틱 구조의 순서쌍이다.

== 성질 ==
<math>n</math>차원 [[매끄러운 다양체]] 위에 <math>k</math>차 멀티심플렉틱 구조가 존재할 [[필요 조건]]은 다음과 같다.
:<math>k+1 \le n \le \binom nk</math>
여기서 첫째 부등식은 자명하지 않은 <math>k+1</math>차 미분 형식이 존재할 [[필요 조건]]이며, 둘째 부등식은 <math>\textstyle\bigwedge^k\mathrm T^*_xM</math>의 차원이 <math>\mathrm T_xM</math>의 차원보다 작지 않을 조건이다.

일반적으로, <math>n\ge6</math>차원 [[매끄러운 다양체]] 위에는 2차〜<math>n-4</math>차 멀티심플렉틱 구조가 항상 존재한다.<ref name="Rogers"/>{{rp|Remark 2.7}}

=== 멀티심플렉틱 다양체에 대응되는 L<sub>∞</sub>-대수 ===
<math>k</math>차 멀티심플렉틱 다양체 <math>(M,\omega)</math> 위의 '''해밀토니언 미분 형식'''({{llang|en|Hamiltonian differential form}})은 다음 조건을 만족시키는 <math>k-1</math>차 [[미분 형식]] <math>\alpha\in\Omega^{k-1}(M)</math>이다.
:<math>\exists X \in \operatorname{Vect}(M) \colon \mathrm d\alpha = X \lrcorner \omega</math>
그 공간을 <math>\Omega^{k-1}_{\operatorname{Ham}}(M)</math>이라고 하자.

이제, [[등급 벡터 공간]]
:<math>L = \bigoplus_{i=0}^{n-1}L_i</math>
:<math>L_0 = \Omega^{k-1}_{\operatorname{Ham}}(M)</math>
:<math>L_i = \Omega^{k-1-i}(M)\qquad(i\in\{1,2,\dotsc,n-1\}</math>
위에 다음과 같은 [[L∞-대수]]의 구조를 줄 수 있다.<ref name="Rogers"/>{{rp|Theorem 3.14}}
:<math>[\alpha] = \mathrm d\alpha\qquad\forall \alpha\in L,\;\deg \alpha>0</math>
:<math>[\alpha_1,\dotsc,\alpha_p] = (-)^{1+\lceil p/2\rceil}(X_1\wedge \dotsb \wedge X_p) \lrcorner \omega\qquad(\alpha_1,\dotsc,\alpha_k\in\Omega^{k-1}_{\operatorname{Ham}}(M),\;\forall i\colon \mathrm d\alpha_i = X_i\lrcorner \omega)</math>

== 연산 ==
(서로 다른 차원일 수 있는) 두 <math>k</math>차 멀티심플렉틱 다양체 <math>(M_1,\omega_1)</math>, <math>(M_2,\omega_2)</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, [[곱공간]]
:<math>M = M_1 \times M_2</math>
:<math>\pi_i \colon M \twoheadrightarrow M_i</math>
에 대하여,
:<math>\omega = \pi_1^*\omega_1 + \pi_2^*\omega_2</math>
를 정의하자. 만약 <math>k\ge1</math>이라면, 이는 <math>M</math> 위의 <math>k</math>차 멀티심플렉틱 구조를 이룬다.
<div class="mw-collapsible mw-collapsed toccolours">
'''증명''':
<div class="mw-collapsible-content">
임의의 <math>x=(x_1,x_2)\in M</math>에서, 접벡터
:<math>v = (v_1,v_2) \in \mathrm T_xM = \mathrm T_{x_1}M_1 \oplus \mathrm T_{x_2}M_2</math>
에 대하여,
:<math>v \lrcorner \omega = v_1\lrcorner\omega_1 + v_2 \lrcorner\omega_2</math>
이다. <math>k>0</math>이라면, 이 두 항은 서로 다른 벡터 공간에 속하므로, 합이 0일 [[필요 충분 조건]]은 각 항이 0인 것이다. 그런데 <math>M_1</math>과 <math>M_2</math>가 각각 <math>k</math>차 멀티심플렉틱 다양체이므로, 이것이 0일 필요 충분 조건은 <math>v_1</math>과 <math>v_2</math>가 각각 0인 것이다.
</div></div>

== 예 ==
0차 멀티심플렉틱 다양체는 1차원에서만 존재하며, 그 개념은 부피 형식을 갖춘 1차원 [[매끄러운 다양체]]와 같다.

1차 멀티심플렉틱 다양체의 개념은 [[심플렉틱 다양체]]의 개념과 같다.

<math>n</math>차원 <math>n-1</math>차 멀티심플렉틱 다양체의 개념은 [[부피 형식]]이 주어진 <math>n</math>차원 [[매끄러운 다양체]]의 개념과 같다.

=== 리 군 ===
콤팩트 [[단순 리 군]]이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 위에는 표준적인 [[3차 미분 형식]]이 존재하며, 그 계수는 리 대수의 구조 상수이다. 이를 통하여 콤팩트 단순 리 군은 2차 멀티심플렉틱 다양체를 이룬다. 마찬가지로, 콤팩트 [[단순 리 대수]]는 2차 멀티심플렉틱 벡터 공간을 이룬다.

<math>G</math>의 [[실수 리 대수]]를
:<math>\mathfrak g = \mathfrak{lie}(G)</math>
라고 하자. 그렇다면, 끈 L₂-대수({{llang|en|string algebra}})
:<math>\mathfrak{string}(\mathfrak g) = \mathfrak g\oplus \mathbb R[1]</math>
:<math>[x,y,z] = \mu(x,y,z) \in \mathbb R[1]\qquad\forall x,y,z\in\mathfrak g</math>
를 정의할 수 있다.

2-멀티심플렉틱 다양체 <math>G</math>에 대응되는 L₂-대수
:<math>L(G) = \Omega^1_{\operatorname{Ham}}(G)\oplus\Omega^0(G)[1]</math>
를 생각하자. <math>G</math>는 스스로 위에 왼쪽 곱셈으로 [[군의 작용|작용]]하며, 이에 대한 불변 L₂-대수
:<math>L(G)^G = \Omega^1_{\operatorname{Ham}}(G)^G\oplus\Omega^0(G)^G[1]</math>
를 적을 수 있다. 여기서 표준적으로
:<math>\Omega^1_{\operatorname{Ham}}(G)^G \cong \mathfrak g^* \cong \mathfrak g</math>
:<math>\Omega^0(G)^G \cong \mathbb R</math>
이며, 따라서 이는 끈 L₂-대수와 동형이다.

=== 특수 홀로노미 ===
[[홀로노미]]가 리 군 [[G₂]]인 7차원 [[리만 다양체]]는 표준적으로 2차 멀티심플렉틱 다양체를 이룬다.

[[초켈러 다양체]]의 세 심플렉틱 구조 <math>\omega_1,\omega_2,\omega_3</math>이 주어졌을 때
:<math>\omega_1\wedge\omega_1+\omega_2\wedge\omega_2+\omega_3\wedge\omega_3</math>
은 그 위의 3차 멀티심플렉틱 구조를 이룬다.<ref name="Rogers"/>{{rp|Example 2.11}}

=== 공변접다발의 외대수 ===
[[매끄러운 다양체]] <math>M</math>이 주어졌을 때, 그 [[공변접다발]]의 <Math>k</math>차 외대수
:<math>\bigwedge^k\mathrm T^*M</math>
을 생각하자. 그 위에는 표준적인 <math>k</math>차 [[미분 형식]]
:<math>\theta \in \Omega^k\left(\bigwedge^k\mathrm T^*_xM\right)</math>
:<math>\theta|_{(x,p)} = p_{i_1\dotso i_k}\,\mathrm dx^{i_1} \wedge \dotsb \wedge \mathrm dx^{i_k} \qquad\left(x\in M,\;p\in\bigwedge^k\mathrm T^*_xM\right)</math>
이 존재한다. 그 [[외미분]]
:<math>\omega = \mathrm d\theta \in \Omega^{k+1}\left(\bigwedge^k\mathrm T^*_xM\right)</math>
:<math>\omega|_{(x,p)} = \mathrm dp_{i_1\dotso i_k}\,\mathrm dx^{i_1} \wedge \dotsb \wedge \mathrm dx^{i_k} \qquad\left(x\in M,\;p\in\bigwedge^k\mathrm T^*_xM\right)</math>
은 <math>n+\textstyle\binom nk</math>차원 [[매끄러운 다양체]] <math>\textstyle\bigwedge^k\mathrm T^*M</math> 위의 <math>k</math>차 멀티심플렉틱 구조를 정의한다.<ref name="Rogers"/>{{rp|Example 2.10}}

=== 시그마 모형 ===
다음이 주어졌다고 하자.
* <math>m</math>차원 [[매끄러운 다양체]] <math>M</math>
* <math>k</math>차원 [[매끄러운 다양체]] <math>\Sigma</math>
* <math>\Sigma</math> 위의 [[부피 형식]] <math>\omega\in\Omega^k(\Sigma)</math>
그렇다면 벡터 다발
:<math>\mathrm T\Sigma \otimes_{M\times\Sigma} \mathrm T^*M</math>
의 전체 공간의 국소 좌표를
:<math>(x^\mu,\phi^i,\pi^\mu_i)\qquad(x\in\Sigma,\;\phi\in M,\;\pi\in\mathrm T_x\Sigma \otimes \mathrm T^*_xM)</math>
위에 다음과 같은 구조를 생각하자.
:<math>\theta= \pi^\mu_i \mathrm d\phi^i \wedge \frac\partial{\partial x^\mu} \lrcorner \omega</math>
이는 <math>k</math>차 [[미분 형식]]을 이룬다. 그 [[외미분]]
:<math>\mathrm d\theta= \mathrm d\pi^\mu_i \mathrm d\phi^i \wedge \frac\partial{\partial x^\mu} \lrcorner \omega</math>
은 <math>k+1</math>차 미분 형식이며, 만약 <math>k\ge2</math>일 경우 <math>k</math>차 멀티심플렉틱 다양체를 이룬다.
<div class="mw-collapsible mw-collapsed toccolours">
'''증명''':
<div class="mw-collapsible-content">
임의의
:<math>x\in \Sigma</math>
:<math>\phi\in M</math>
:<math>v^\mu\frac\partial{\partial x^\mu}\in \mathrm T_x\Sigma</math>
:<math>\chi^i\frac\partial{\partial\phi^i} \in \mathrm T_\phi M</math>
:<math>\nu^i_\mu\,\mathrm d\pi_i^\mu \in \mathrm T_\phi M \otimes \mathrm T^*_x N</math>
에 대하여,
:<math>
(v,\chi,\nu) \lrcorner \mathrm d\theta
=
\mathrm d\pi^\mu_i \wedge \mathrm d\phi^i \wedge
v^\nu\psi_{\nu\mu}
 - \chi^i \mathrm d\pi^\mu_i \wedge \psi_\mu
+ \nu^\mu_i \mathrm d\phi^i \wedge \psi_\mu
</math>
이다. 여기서 편의상
:<math>\psi_\mu= \frac\partial{\partial x^\nu} \lrcorner \omega</math>
:<math>\psi_{\mu\nu} =  \frac\partial{\partial x^\mu}\lrcorner \frac\partial{\partial x^\nu} \lrcorner \omega</math>
으로 정의하였다. <math>k\ge2</math>일 경우 <math>\psi_{\nu\mu} \ne 0</math>이게 된다. 즉, 이 경우, 위 표현이 0이 될 [[필요 충분 조건]]은 <math>v</math>와 <math>\chi</math>와  <math>\nu</math>가 각각 0인 것이다.
</div></div>

이 구성은 <math>\Sigma\to M</math> [[시그마 모형]]의 공변 위상 공간({{llang|en|covariant phase space}})으로 해석할 수 있다. 이 경우 좌표 <math>\pi^\mu_i</math>는 일반화 운동량에 해당한다.

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{nlab|id=n-plectic geometry}}
* {{nlab|id=n-plectic vector space}}
* {{nlab|id=n-plectic form}}
* {{nlab|id=multisymplectic geometry}}

[[분류:미분기하학]]