매티그 공식 문서 원본 보기

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'''매티그 공식'''({{llang|en|Mattig formula}})은 관측 우주론과 [[외부은하천문학|외부은하 천문학]]에서 중요한 공식으로 주어진 천체의 [[원주좌표]](radial coordinate)와 [[적색편이]] 사이의 관계를 제공한다. 이는 사용되는 [[물리 우주론|우주론적 모델]]에 따라 달라지며 적색편이에 따른 [[광도 거리]]를 계산하는 데 사용된다.<ref>[http://ned.ipac.caltech.edu/level5/Peacock/Peacock3_4.html Observations in Cosmology], Cambridge University Press</ref>

여기에서는 [[암흑 에너지]]가 0이라고 가정하므로, 현재의 [[ΛCDM 모형|람다 CDM 모델]] (거리-적색편이 관계를 얻기 위해 수치 적분을 필요로 함)과 같은 현대 우주론 모델에서는 더 이상 적용할 수 없다. 그러나 매티그의 공식은 임의의 물질 밀도에 대한 거리-적색편이 관계에 대한 최초의 분석 공식으로서 상당한 역사적 중요성을 가졌고, 이는 이 관계를 측정하려는 1960년대와 1970년대에 중요한 연구에 박차를 가했다.

== 암흑 에너지가 없는 경우 ==
매티그(W. Mattig)가 1958년 논문에서 유도한 것으로<ref>{{인용|last=Mattig|first=W.|title=Über den Zusammenhang zwischen Rotverschiebung und scheinbarer Helligkeit|journal= [[Astronomische Nachrichten]]| volume=284|issue=3|page=109|date=1958|bibcode=1958AN....284..109M|doi=10.1002/asna.19572840303}}</ref> 이 관계식의 수학적 공식은 다음과 같다.<ref>Bradley M. Peterson, "An Introduction to Active Galactic Nuclei", p. 149</ref>

<math>r_1 = \frac{c}{R_0 H_0} \frac{q_0z+(q_0-1)(-1+\sqrt{1+2q_0z})}{q_0^2(1+z)}</math>

여기서, <math>r_1=\frac{d_p}{R}=\frac{d_c}{R_0}</math> 관찰자로부터 천체의 원주좌표 거리(현재의 [[고유 거리]])이고, <math>d_p</math>는 [[고유 거리]](proper distance), <math>d_c</math>는 [[공변거리|공변 거리]](comoving distance)이다.

:: <math>q_0=\Omega_0/2</math>는 감속 매개변수로 <math>\Omega_0</math>는 현재 우주에 있는 물질의 밀도이다.
:: <math>R_0</math>는 현재의 [[스케일 팩터]]이고 <math>R</math>은 임의 시간의 스케일 팩터이다.
:: <math>H_0</math>는 현재 [[허블-르메트레 법칙|허블 상수]]이고,
:: <math>z</math>는 여느때와 같이 [[적색편이]]이다.

이 방정식은 <math>q_0 > 0</math>일때만 유효하고 <math>q_0 \le 0</math> 일 때는 <math>r_1</math>값은 계산할 수 없는데, 이것은 이 식의 유도시에 우주 상수를 가정하지 않았다는 점에 의한 것이다. 우주 상수가 없으면 <math>q_0</math>는 음수 값을 가질 수 없게 된다.

[[원통좌표계|원주좌표계]]에서 다음 공식을 사용하여 광도 거리를 계산할 수 있다.

: <math>D_L \ = \ R_0r_1(1+z) = \frac{c}{H_0q_0^2} \left[q_0z+(q_0-1)(-1+\sqrt{1+2q_0z})\right]</math>

<math>q_0=0</math>일 때, 우리는 [[테일러 급수]]를 사용하여 광도 거리에 대한 또 다른 표현을 얻는다.

: <math>D_L = \frac{c}{H_0}\left(z+\frac{z^2}{2}\right)</math>

그런데 1977년 테럴(Terrell)은 모든 <math>q_0 \ge 0</math>의 경우에 유효한 공식을 고안했다.<ref>{{인용|last=Terrell|first=James|title=The luminosity distance equation in Friedmann cosmology|journal= Am. J. Phys.|volume=45 |issue=9|pages=869–870|bibcode=1977AmJPh..45..869T|date=1977|doi = 10.1119/1.11065 }}</ref>

: <math>D_L = \frac{c}{H_0}z\left[1+\frac{z(1-q_0)}{1+q_0z+\sqrt{1+2q_0z}}\right]</math>

== 참고 문헌 ==
<references />

[[분류:물리우주론]]
[[분류:관측천문학]]