매시 곱 문서 원본 보기

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[[대수적 위상수학]]에서 '''매시 곱'''({{llang|en|Massey product}})은 [[코호몰로지]] 곱을 일반화하는 다항 연산이다. 이를 통하여, 코호몰로지의 [[환 (수학)|환]] 구조만으로는 알 수 없는 위상수학적 불변량을 계산할 수 있다.

== 정의 ==
[[미분 등급 대수]] <math>(A,d)</math>의 [[코호몰로지]] <math>H^\bullet(A)</math>의 원소 <math>u\in H^\bullet(A)</math>에 대하여,
:<math>\bar u=(-)^{\deg u+1}u</math>
로 정의하자.
코호몰로지 <math>H^\bullet(A)</math> 위의 '''<math>n</math>항 매시 곱'''
:<math>\langle\overbrace{-,-,\dots,-}^n\rangle\colon(H^\bullet(A))^n\to\mathcal P(H^\bullet(A))</math>
은 <math>n</math>개의 코호몰로지류를 코호몰로지류들의 집합으로 대응시키는 함수이며, 다음과 같다.
:<math>\langle[a_{1,1}],\dots,[a_{n,n}]\rangle=\left\{\sum_{i=1}^{n-1}a_{1,i}a_{i+1,n}\colon
\qquad \forall 1\le i\le k\le n,\;(i,j)\ne(1,n)\colon da_{i,k}=\sum_{j=i}^{k-1}\bar a_{i,j}a_{j+1,k}\right\}</math>
이 등식에서
:<math>\deg a_{i,k}=i-k+\sum_{j=i}^k\deg a_{j,j}</math>
이며, 따라서
:<math>\deg\langle u_1,\dots,u_n\rangle=\sum_{i=1}^n\deg u_n+2-n</math>
이다.

=== 불확정성 ===
일반적으로, 매시 곱은 공집합이거나 두 개 이상의 원소를 가질 수 있는 [[집합]]이다. 3차 매시 곱의 두 원소의 차는 다음과 같은 [[아이디얼]]에 속한다.
:<math>x,y\in\langle[a_1],[a_2],[a_3]\rangle</math>
:<math>x-y\in ([a_1])+([a_3])</math>
즉, 매시 곱을 다음과 같은 [[몫군]] 속의 값으로 정의한다면, 매시 곱은 유일하다.
:<math>x,y\in\langle[a_1],[a_2],[a_3]\rangle</math>
:<math>x-y\in H^{\deg a_1+\deg a_2+\deg a_3}/\left([a_1]H^{\deg a_2+\deg a_3}+H^{\deg a_1+\deg a_2}[a_3]\right)</math>
보다 일반적으로, <math>n</math>차 매시 곱은 다음과 같은 [[몫군]] 속에서 정의된다.
:<math>x,y\in\langle[a_1],[a_2],\dots,[a_n]\rangle</math>
:<math>x-y\in H^{\sum_i\deg a_i}/\left([a_1]H^{\deg a_{2,n}}+H^{\deg a_{1,2}}H^{\deg a_{3,n}}+\cdots+H^{\deg a_{1,n-2}}H^{\deg a_{n-1,n}}+H^{\deg a_{1,n-1}}[a_n]\right)</math>
여기서
:<math>\deg a_{i,j}=i-j+\deg a_i+\deg a_{i+1}+\cdots+\deg a_j</math>
이다.

=== 낮은 차수의 매시 곱 ===
0항 및 1항 매시 곱은 항상 <math>\{0\}</math>이다. 2항 매시 곱은 코호몰로지 곱
:<math>\langle u,v\rangle=\{uv\}</math>
이다.

3항 매시 곱은 최초로 자명하지 않은 매시 곱이며, 다음과 같다. 만약
:<math>uv=vw=0</math>
:<math>ds=\bar uv</math>
:<math>dt=\bar vw</math>
라면,
:<math>\langle[u],[v],[w]\rangle=[\bar sw+\bar ut]</math>
이다.

4항 매시 곱은 다음과 같다.
:<math>[uv]=[vw]=[wx]=0</math>
:<math>dr=\bar uv</math> <!--12-->
:<math>ds=\bar vw</math> <!--23-->
:<math>dt=\bar wx</math> <!--34-->
:<math>[\bar rw+\bar us]=[\bar sx+\bar vt]=0</math>
:<math>dp=\bar us+\bar rw</math> <!--13-->
:<math>dq=\bar vt+\bar sx</math> <!--24-->
:<math>\langle[u],[v],[w],[x]\rangle=[\bar uq+\bar rt+\bar px]</math> <!--14-->

== 응용 ==
[[파일:BorromeanRings.svg|섬네일|오른쪽|매시 곱을 사용하여, 보로메오 고리가 얽혀 있다는 것을 알 수 있다.]]
매시 곱은 [[코호몰로지]]의 곱 연산만으로 알 수 없는 위상수학적 불변량들을 측정한다. 예를 들어, [[연환]]의 일종인 [[보로메오 고리]]({{llang|en|Borromean rings}})는 그 여공간의 [[코호몰로지]]의 곱만으로는 세 개의 고리가 분리될 수 없다는 것을 알지 못하지만, 각 고리에 대응하는 코호몰로지 원소의 3중 매시 곱이 0이 아니므로 세 개의 고리가 얽혀 있다는 사실을 알 수 있다.

== 역사 ==
윌리엄 슈마허 매시({{llang|en|William Schumacher Massey}})가 1958년에 도입하였다.<ref>{{서적 인용|mr=0098366|last=Massey|first= William S. |chapter=Some higher order cohomology operations |날짜= 1958  |제목=Symposium internacional de topología algebraica | pages= 145–154 |publisher=[[멕시코 국립 자치 대학교|Universidad Nacional Autónoma de México]] |zbl=0123.16103|위치=[[멕시코시티|Ciudad de México]]|언어=en}}</ref>

== 각주 ==
{{각주}}
* {{서적 인용|이름=John|성=McCleary|제목=A user’s guide to spectral sequences|판=2판|출판사=Cambridge University Press|날짜=2001|doi=10.1017/CBO9780511626289|mr=1793722|zbl=0959.55001|isbn=978-0-52156141-9|총서=Cambridge Studies in Advanced Mathematics|권=58|언어=en}}
* {{저널 인용|제목=On Massey products|이름=Edward J.|성=O’Neill|날짜=1978|저널=Pacific Journal of Mathematics|zbl=
0397.55009|mr=0482763|권=76|호=1|쪽=123–127|url=http://projecteuclid.org/euclid.pjm/1102807031|언어=en}}
* {{저널 인용|arxiv=1202.3245|제목=Algebra + homotopy = operad|이름=Bruno|성=Vallette|날짜=2012|언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{웹 인용|url=http://ncatlab.org/nlab/show/Massey+product|제목=Massey product|웹사이트=nLab|언어=en|확인날짜=2014-11-12|보존url=https://web.archive.org/web/20141112070258/http://ncatlab.org/nlab/show/Massey+product|보존날짜=2014-11-12|url-status=dead}}

[[분류:호몰로지 이론]]
[[분류:대수적 위상수학]]