매끄러운 함수 문서 원본 보기

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[[해석학 (수학)|해석학]]에서 '''매끄러운 함수'''({{llang|en|smooth function}})는 무한 번 [[미분]]이 가능한 [[함수]]이다. <math>C^\infty</math> 함수로 표기하기도 한다.

만약 함수가 매끄럽고 모든 점에서의 [[테일러 급수]] 값이 함수값과 같을 경우에는 [[해석 함수]]가 된다.

== 함수의 미분가능성 계층 ==
어떤 함수가 <math>k</math>번 미분가능하고 그 미분한 함수가 모두 [[연속]]일 경우, 그 함수를 <math>C^k</math> 함수라고 부른다. 예를 들어, <math>C^0</math>는 연속인 함수를 의미하며, <math>C^1</math>는 '''연속 미분 가능한 함수''', 즉 미분 가능하고 [[도함수]]가 [[연속 함수]]인 함수를 의미한다.

함수가 무한 번 미분가능할 경우 <math>C^\infty</math>로 표기하며, [[해석 함수]]일 경우는 <math>C^\omega</math>로 표기한다.

<math>C^{k}</math> 집합은 <math>C^{k+1}</math> 집합을 [[진부분집합]]으로 가지며, <math>C^{k+1}</math>에 속하지 않는 <math>C^k</math> 함수가 존재한다. 마찬가지로 <math>C^k</math>는 <math>C^\infty</math>를 진부분집합으로, <math>C^\infty</math>는 <math>C^\omega</math>를 진부분집합으로 가진다.

== 예 ==
[[파일:C0 function.svg|섬네일|<math>x\ge0</math>이면 <math>f(x) = x</math>, <math>x<0</math>이면 <math>f(x) = 0</math>. <math>C^0</math>이지만 <math>C^1</math>은 아닌 함수]]

<math>f(x)</math>가 <math>x</math>가 0 이상일 때 <math>f(x) = x</math>, 0보다 작을 때 <math>f(x) = 0</math>일 경우, 이 함수는 연속함수이지만 <math>x=0</math>에서 미분값이 존재하지 않는다. 따라서 이 함수는 <math>C^0</math>이지만 <math>C^1</math>은 아니다.

[[파일:Mollifier illustration.png|섬네일|매끄럽지만 해석적이지는 않은 함수]]

:<math>f(x) = \begin{cases}e^{-1/(1-x^2)} & \mbox{ if } |x| < 1, \\ 0 &\mbox{ otherwise }\end{cases}</math>
인 함수는 무한 번 미분이 가능하므로 매끄러운 함수이다. 하지만 <math>x = \pm 1</math>일 때 해석적이지 않고, 따라서 이 함수는 해석함수는 아니다.

== 성질 ==
유클리드 공간의 [[열린 집합]] <math>U\subset\mathbb R^n</math>에 대하여, <math>\mathcal C^\infty(U;\mathbb R)</math>가 <math>U</math> 위의 매끄러운 실수값 함수들의 집합이라고 하자.

이 공간 위에는 다음과 같은 일련의 [[반노름]]들이 주어진다. 모든 콤팩트 공간 <math>K\subset U</math> 및 [[다중 지표]] <math>\alpha\in\mathbb N^n</math>에 대하여,
:<math>\|f\|_{K,\alpha}=\sup_K|\partial^\alpha f|</math>
따라서, 이 반노름들을 사용하여 <math>\mathcal C^\infty(U;\mathbb R)</math> 위에 [[프레셰 공간]]의 구조를 줄 수 있다.

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Smooth function}}
* {{매스월드|id=SmoothFunction|title=Smooth function}}
* {{매스월드|id=C-InfinityFunction|title=C^infty function}}

[[분류:해석학 (수학)]]
[[분류:대수기하학]]
[[분류:매끄러운 함수| ]]