매개변수변환법 문서 원본 보기

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'''매개변수변환법'''(媒介變數變換法, {{llang|en|variation of parameters}})은 비제차 [[상미분 방정식]]을 푸는 방법이다.

== 정의 ==
비제차 선형 [[상미분 방정식]]은 다음과 같이 표현될 수 있다.
:<math>y^{\left( n \right)}+a_{n-1}y^{\left( n-1 \right)}+\cdots +a_{1}y'+a_{0}y=r\left( x \right)</math>

위의 식은
:<math>y\left( x \right)=y_{h}\left( x \right)+y_{p}\left( x \right)</math>
와 같은 일반해를 갖게 되는데, 매개변수변환법은 <math>y_{p}\left( x \right)</math>를 구하는 방법이다.

<math>y_{p}\left( x \right)</math>가 특정 형태를 가질 경우에는 [[미정계수법]]으로도 구할 수 있으나 <math>r\left( x \right)</math>가 [[미정계수법]] 표에 소개된 것과 비슷한 형태를 가질 때만 사용할 수 있는 단점이 있다. 이에 비해 매개변수변환법은 더 일반적으로 적용할 수 있는 장점이 있다.

=== 고계 미분 방정식 ===
<math>n</math>이 2보다 큰 고계일 때, <math>y_{p}\left( x \right)</math>를 구하는 방법은 다음과 같다.

:<math>\begin{align}
  & y_{p}\left( x \right)=\sum\limits_{k=1}^{n}{y_{k}\left( x \right)\int_{{}}^{{}}{\frac{W_{k}\left( x \right)}{W\left( x \right)}r\left( x \right)dx}} \\
 & =y_{1}\left( x \right)\int_{{}}^{{}}{\frac{W_{1}}{W\left( x \right)}r\left( x \right)dx+\cdots +y_{n}\left( x \right)\int_{{}}^{{}}{\frac{W_{n}\left( x \right)}{W\left( x \right)}r\left( x \right)dx}}
\end{align}</math>

<math>W</math>는 이 함수들의 [[론스키 행렬식]]이고, <math>W_{j}\left( j=1,\cdots ,n \right)</math>는 <math>W</math>의 ''j''번째 열을 열벡터 <math>\left[ \begin{matrix}
   0 & 0 & \cdots  & 0 & 1  \\
\end{matrix} \right]^{T}</math>로 치환하여 얻어진다.

=== 2계 미분 방정식===
<math>n</math>이 2일 때, <math>y_{p}\left( x \right)</math>를 구하는 방법은 다음과 같다.
:<math>y_{p}\left( x \right)=-y_{1}\int_{{}}^{{}}{\frac{y_{2}r}{W}dx+y_{2}\int_{{}}^{{}}{\frac{y_{1}r}{W}dx}}</math>
여기서 <math>y_{1},y_{2}</math>는 대응하는 제차 상미분 방정식의 해이고, <math>W</math>는 <math>y_{1},y_{2}</math>의 [[론스키 행렬식]]이다.
:<math>W=y_{1}y_{2}'-y_{2}y_{1}'</math>

== 외부 링크 ==
* {{매스월드|id=VariationofParameters|title=Variation of Parameters}}

{{전거 통제}}

[[분류:상미분 방정식]]